高中一年级数学《古典概型(2)》

古典概型(2)

高一年级数学主讲人：

学校：

一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（简称为等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．课前复习古典概型的两个特征：有限性——样本空间中所包含的样本点个数有限；等可能性——只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等．假设样本空间含有n个样本点，事件A包含有m个样本点，古典概型的概率公式古典概型中的概率也具有前面我们所说的概率的性质：（1）0≤P(A)

≤1；

（2）即；

（3）若事件A与B互斥，则．

例3从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．例题讲解解按照题意，取产品的过程可以用树形图直观表示．因此样本空间可记为

Ω={(a1,a2)，(a1,b)，(a2,a1)，

(a2,b)，(b,a1)，(b,a2)

}

，共包含6个样本点．用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则

A={(a1,b)，

(a2,b)，

(b,a1)，(b,a2)

}，A包含的样本点个数为4，所以．如果把例3中的条件“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”其余不变，则所求事件发生的概率是否有所变化？改变条件后，此时树形图将有所变化，且样本空间应记为

Ω={(a1,a1)

，

(a1,a2)，(a1,b)，(a2,a1)

，

(a2,a2)，

(a2,b)，(b,a1)，(b,a2)，(b,b)

}，共包含9个样本点．而事件A={(a1,b)，(a2,b)，(b,a1)，(b,a2)

}，A包含的样本点个数为4，所以．例4甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，假设两人都随机出拳，求：(1)平局的概率；（2)甲贏的概率；(3)甲不输的概率．解因为甲有3种不同的出拳方法，乙同样也有3种不同的出法，因此一次出拳共有3×3=9种不同的可能．因为都是随机出拳，所以可以看成古典概型，而且样本空间中共包含9个样本点，样本空间可以用图直观表示．因为锤子贏剪刀，剪刀嬴布，布赢锤子，因此若记事件A为“平局”，B为“甲贏”．则：(1)事件A包含3个样本点（图中的Δ），因此；因为锤子贏剪刀，剪刀嬴布，布赢锤子，因此若记事件A为“平局”，B为“甲贏”．则：(2)事件B包含3个样本点（图中的※），因此；因为锤子贏剪刀，剪刀嬴布，布赢锤子，因此若记事件A为“平局”，B为“甲贏”．则：(3)因为A+B表示“甲不输”，且A，

B互斥，因此所求概率为例5先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，求．解用数对(x,y)来表示拋掷结果，则样本空间可记为Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}，而且样本空间可如图直观表示．样本空间中，共包含36个样本点．A包含6个样本点（即图中橙色框中的点），A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)}，因此，由对立事件概率之间的关系可知．

类似地，可以看出，图中绿色框中的点可以代表事件B，因此B包含11个样本点，从而

．不难知道，

AB={(4,3),(3,4)}

,

因此．例6人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的．生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因(记为B)，另一种是隐性基因（记为b);基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb)，而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮（也就是说“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是bb”）；如果不发生基因突变的话，成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，但父母亲提供基因时都是随机的．有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，不考虑基因突变，求他们的孩子是单眼皮的概率．解我们用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因.由图所示的树形图可知，样本空间中共含有4个样本点，即Ω={BB,Bb,bB,bb},孩子要是单眼皮，成对的基因只能是bb，因此所求概率为．例6中，若我们考虑的样本空间为Ω={BB,Bb,bb}

,那么事件“他们的孩子是单眼皮”只包含Ω中的一个样本点bb，但由此并不能得出该事件发生的概率为，因为样本空间Ω={BB,Bb,bb}中的各个基本事件不具有等可能性．因此，用古典概型求概率时，要选择合适的方式表示样本点及样本空间，以使得基本事件具有等可能性，并且使所考察的事件能表示为样本空间的子集．1）抛硬币模型抛一枚硬币，基本事件空间有2个基本事件；抛两枚硬币，基本事件空间有4个基本事件；抛三枚硬币，基本事件空间有8个基本事件．2）掷骰子模型抛一个骰子，基本事件空间有6个基本事件；抛两个骰子，基本事件空间有36个基本事件．

本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：

（1