2025届高考数学二轮复习第一篇考点一高频小知识点考查角度2程序框图平面向量与线性规划突破训练文

PAGEPAGE1考查角度2程序框图、平面对量与线性规划分类透析一程序框图例1(1)(2025届江西省临川一中高三模拟)如图,给出的是计算1+13+15+…+113的值的一个程序框图,则图中执行框中的①处和推断框中的②处应填的语句是(A.n=n+1,i>7 B.n=n+2,i>6C.n=n+2,i>7 D.n=n+2,i>8(2)(2025届江南十校高三冲刺联考)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为().A.-18 B.18 C.-116解析(1)视察分母,可知①处应填的语句是“n=n+2”.视察循环次数,可知②处应填的语句是“i>7”.(2)由程序框图知S=cosπ7cos2π=2sin=sin=2sin=sin4=-sin8π7答案(1)C(2)B方法技巧解决程序框图问题时,肯定要留意以下几点:(1)不要混淆处理框和输入框;(2)留意区分程序框图是条件结构还是循环结构;(3)留意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4)处理循环结构的问题时,肯定要正确限制循环次数;(5)要留意各个框的依次;(6)在给出程序框图求输出结果的试题中,只要依据程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.分类透析二平面对量例2(1)(2024年四川省绵阳市高三三模)在△ABC中,设AB=c,BC=a,CA=b,若c·(c+a-b)<0,则△ABC是().A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.无法确定其形态(2)(2025届河南省联考)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为().A.1127 B.311 C.611解析(1)因为c·(c+a-b)=AB·(AB+BC-CA)=2AB·AC=2|AB|·|AC|cosA<0,所以cosA<0,所以A为钝角,故△ABC是钝角三角形.(2)由BD=2DC,得AD=13AB+所以AD·AE=13AB+23AC·(λAC-AB)=λ3AB·AC+又因为AB·AC=3×2×cos60°=3,AB2=9,AC2所以AD·AE=λ+83λ-3-2=113λ-5=-4,解得λ=3答案(1)C(2)B方法技巧推断三角形形态一般通过最大角的大小进行,最大角为锐角则三角形为锐角三角形,最大角为钝角则三角形为钝角三角形,最大角为直角则三角形为直角三角形.留意向量夹角与三角形内角的关系.分类透析三线性规划例3(2025届安徽省淮南高三二模)若x,y满意约束条件x≥0,x+y-3A.3 B.4 C.5 D.解析由x,y满意约束条件x≥由z=x+2y,得y=-12x+z要使z最大,则直线y=-12x+z2在由图可知,当直线y=-12x+z2过点A联立x=2y,∴z=x+2y的最大值为2+2×1=4.答案B方法技巧与二元一次不等式(组)所表示区域有关问题的解决方法:(1)求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域,在含有参数的问题中留意对参数的取值范围进行探讨;(2)在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中,首先把不含参数的平面区域确定好,然后用数形结合的方法依据参数的不同取值状况画图视察区域的形态,依据求解要求确定问题的答案.1.(2024年全国Ⅱ卷,文8改编)执行如图所示的程序框图,若输出S的值为55,则推断框内应填入().A.n≥9 B.n≥10 C.n≥11 D.n≥12解析程序运行中变量值依次为S=-1,n=2;S=3,n=3;S=-6,n=4;S=10,n=5;S=-15,n=6;S=21,n=7;S=-28,n=8;S=36,n=9;S=-45,n=10;S=55,n=11,此时应结束循环,条件应为n≥11.故选C.答案C2.(2024年全国Ⅲ卷,文8改编)执行如图所示的程序框图,为使输出S的值大于11,则输入的正整数n的最小值为().A.4 B.5 C.6 D.解析该程序框图的功能是若输入n,则输出S=1+1+2+…+(n-1)=n2-n+22.要使故选C.答案C3.(2024年全国Ⅰ卷,文8改编)设D为△ABC所在平面内一点,BC=4CD,则().A.AD=-13AB+43AC B.ADC.AD=15AB+45AC D.AD=解析AD=AB+BD=AB+54BC=AB+54(AC-AB)=-14答案B4.(2024年全国Ⅲ卷,文13改编)已知向量a=(3,4),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a-b),则λ=.解析由已知得2a-b=(4,10),由c∥(2a-b)可得4λ=10,所以λ=答案55.(2024年全国Ⅰ卷,文14改编)若x,y满意约束条件x+2y-5≥0,解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线y=-x+z经过点A(5,4)时,直线的纵截距z最大,所以zmax=5+4=9.答案91.(2024年湖南省联考)假如向量a=(k,1),b=(4,k)共线且方向相反,那么实数k的值为().A.±2 B.2 C.-2 D.解析因为向量a=(k,1),b=(4,k),所以a=λb,所以(k,1)=λ(4,k),所以k=4λ,1=λk,所以1=4λ2.因为两向量共线且方向相反,所以λ=-12所以k=-2,故选C.答案C2.(2024年北京市石景山区高三一模)设x,y满意约束条件x+y≤2A.x≥1 B.y≤1C.x-y+2≥0 D.x-3y-6≤0解析作出约束条件所表示的平面区域,如图所示.由x+y=2,2x-3y=9,解得由点B坐标可解除A,B选项;由点C坐标可解除D选项.设目标函数z=x-y,则y=x+(-z),当直线y=x+(-z)过点B时,z取得最小值,最小值zmin=-2,所以x-y+2≥0恒成立,故选C.答案C3.(2024年陕西省咸阳市高考5月信息卷)已知实数x,y满意x+y-4≥0,A.1 B.12 C.13 D解析作出不等式组对应的平面区域如图,z的几何意义是区域内的点到定点P(-1,1)的斜率,由图象知当直线过B(1,3)时,直线斜率最大,此时直线斜率为1,则z=y-故选A.答案A4.(2024年福建省龙岩市高三质检)如图所示,M是△ABC边AB的中点,若CM=a,CA=b,则CB=().A.a-2b B.a+2bC.2a-b D解析CB=CM+MB=CM+AM=CM+(CM-CA)=2CM-CA=2a答案C5.(2025届四川省成都市第七中学高三模拟)运行下列程序框图,若输出的结果为43,则推断框中应填入的条件可能是().A.z≤42 B.z≤45 C.z≤50 D.z≤52解析依次运行程序可得①z=2×0+1=1,满意条件,接着运行,x=1,y=1;②z=2×1+1=3,满意条件,接着运行,x=1,y=3;③z=2×1+3=5,满意条件,接着运行,x=3,y=5;④z=2×3+5=11,满意条件,接着运行,x=5,y=11;⑤z=2×5+11=21,满意条件,接着运行,x=11,y=21;⑥z=2×11+21=43,不满意条件,输出43.结合选项可得选项A满意题意.故选A.答案A6.(2025届黑龙江省哈尔滨师大附中高三模拟)非零向量a,b满意|a-b|=|a|,a·(a-b)=0,则a-b与b夹角的大小为().A.135° B.120° C.60° D.45°解析因为a·(a-b)=0,所以a2-a·b=0.由|a|=|a-b|,可得a2=a2-2a·b+b整理可得b2=2a·b,所以|b|=2设a-b与b的夹角为θ,则cosθ=(a-b)·b|因为θ∈[0°,180°],所以θ=135°,故选A.答案A7.(2025届山西省高三质检)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出s的值为().A.16 B.8 C.4 D.解析起先条件i=2,k=1,s=1,i<8,起先循环,s=1×(1×2)=2,i=2+2=4,k=1+1=2,i<8,接着循环,s=12×(2×4)=4,i=6,k=3,i<接着循环,s=13×(4×6)=8,i=8,k=循环停止,输出s=8.故选B.答案B8.(2025届山东省肥城市高三适应考试)实数对(x,y)满意不等式组x-y-2≤0,x+2y-5A.-∞,-1B.-C.-1D.(-∞,-1]解析如图所示,不等式组所表示的区域为△ABC及其内部,其中A(1,2),B(4,2),C(3,1).设z=F(x,y)=kx-y,将直线l:z=kx-y进行平移,可得直线在y轴上的截距为-z,因此直线在y轴上截距最小时目标函数z达到最大值.∵当且仅当l经过点C(3,1)时,目标函数z达到最大值,∴直线l的斜率应介于直线AC斜率与直线BC斜率之间.∵kAC=1-23-1=-12,∴k的取值范围是-1答案B9.(2024年北京市石景山区一模)已知平面对量a,b满意|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值为().A.1 B.32 C.2 D.解析因为|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,所以a·b=|a|·|b|cos120°=3×2×-12=-因为(a+mb)⊥a,所以(a+mb)·a=a2+ma·b=32-3m解得m=3,故选D.答案D10.(福建省厦门市2025届二模)如图所示的程序框图是为了计算S=11×2+13×4+15×A.n>19 B.n≥19C.n<19 D.n≤19解析由程序框图可知,推断框中,若填n≥19,则输出11×2+13×若填n<19或n≤19,则输出S=11∴应填n>19,故选A.答案A11.(2025届湖北部分重点中学高三冲刺)已知D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,M是线段DE上的一动点(不包含D、E两点),且满意AM=αAB+βAC,则1α+2β的最小值为(A.42 B.8 C.6-42 D.6+4解析由于M是线段DE上的一动点(不包含D,E两点),且满意AM=αAB+βAC=2αAD+2βAE,所以α,β>0且2α+2β=1,所以1α+2β=1α+2β(2α+2β)=6+2β当且仅当α=2-12,故1α+2β的最小值为6+42答案D12.(2024河南二模)已知向量a=(4,m),b=(1,3),且a⊥b,则m=.

解析因为a⊥b,所以a·b=0,所以4×1+m×3=0,解得m=-43答案-413.(2024年山东高考冲刺模拟)在△ABC中,CA⊥CB,CA=CB=1,D为AB的中点,将向量CD绕点C按逆时针方向旋转90°得向量CM,则向量CM在向量CA方向上的投影为.

解析如图,以CA,CB为x轴,y轴,建立