2024年高考数学一轮复习专题11.2推理练习含解析

PAGEPAGE111.2推理【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：依据两个(或两类)对象之间在某些方面的相像或相同，推演出它们在其他方面也相像或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特别到特别的推理．(3)合情推理合情推理是依据已有的事实、正确的结论、试验和实践的结果，以及个人的阅历和直觉等推想某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．二．演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特别性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特别的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特别对象；③结论——揭示了一般原理与特别对象的内在联系．【修炼套路】【修炼套路】为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一归纳推理【例1】（1）视察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，依据以上式子可以猜想：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20192)<________.（2）分形理论是当今世界非常风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相像的形体称为分形．分形是一种具有自相像特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相像分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相像，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，依据如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为________．【答案】（1）4037（2）364【解析】（1）由题意得，不等式右边分数的分母是左边最终一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2019，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a2018＝3＋(2018－1)×2＝4037.（2）由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364.【套路总结】【套路总结】归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．视察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的推理．视察每个式子的特点，留意是纵向看，找到规律后可解．(3)与图形改变有关的推理．合理利用特别图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【举一反三】1．已知，，，…，依此规律，若，则的值分别是（）A．79 B．81 C．100 D．98【答案】D【解析】由，，，…，依此规律，，则，可得，，故，故选：D．2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个宏大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的全部数字之和为，若去除全部为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（）A．2060 B．2038 C．4084 D．4108【答案】C【解析】n次二项式系数对应杨辉三角形的第行，例如，系数分别为1,2,1，对应杨辉三角形的第3行，令，就可以求出该行的系数之和，第1行为，第2行为，第3行为，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列.则杨辉三角形的前n项和为若去除全部的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,…,可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，可得当，去除两端“1”可得，则此数列前55项和为，所以第56项为第13行去除1的第一个数,所以该数列前56项和为，故选C.考向二类比推理【例2】(1)已知{an}为等差数列，a1010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.若{bn}为等比数列，b1010＝5，则{bn}类似的结论是________________．（2）设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c).类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝________.【答案】（1）b1b2b3…b2019＝52019（2）eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)【解析】（1）在等差数列{an}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019，则S＝a2019＋a2018＋a2017＋…＋a1，∴2S＝(a1＋a2019)＋(a2＋a2018)＋(a3＋a2017)＋…＋(a2019＋a1)＝2019(a1＋a2019)＝2019×2a1010＝10×2019，∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.在等比数列{bn}中，令T＝b1b2b3…b2019，则T＝b2019b2018b2017…b1，∴T2＝(b1b2019)(b2b2018)(b3b2017)…(b2019b1)＝(beq\o\al(2,1010))2019，∴T＝b1b2b3…b2019＝(b1010)2019＝52019.（2）由类比推理可知r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).【举一反三】1．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，类比这些等式，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b均为正数)，则a＋b＝________.【答案】41【解析】视察等式eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，第n个应当是eq\r(n＋1＋\f(n＋1,n＋12－1))＝(n＋1)eq\r(\f(n＋1,n＋12－1))，则第5个等式中a＝6，b＝a2－1＝35，a＋b＝41.2．平面内直角三角形两直角边长分别为，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，，，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点究竟面的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在这三条侧棱两两垂直的三棱锥中设三条棱长分别为，又因为三个侧面的面积分别为，，，，，则：，类比推理可得底面积为：若三棱锥顶点究竟面的距离为，可知三棱锥体积：本题正确选项：考向三演绎推理【例3】（1）正切函数是奇函数，是正切函数，因此是奇函数，以上推理（）A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．以上均不正确（2）今年六一儿童节，阿曾和爸爸，妈妈，妹妹小丽来到游乐园玩.一家四口走到一个抽奖台前各抽一次奖，抽奖前，爸爸，妈妈，阿曾，小丽对抽奖台结果进行了预料，预料结果如下：妈妈说：“小丽能中奖”；爸爸说：“我或妈妈能中奖”；阿曾说：“我或妈妈能中奖”；小丽说：“爸爸不能中奖”.抽奖揭晓后，一家四口只有一位家庭成员猜中，且只有一位家庭成员的预料结果是正确的，则中奖的是（）A．妈妈 B．爸爸 C．阿曾 D．小丽【答案】（1）C（2）B【解析】（1）大前提：正切函数是奇函数，正确；小前提：是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：是奇函数，该函数为偶函数，故错误；结合三段论可得小前提不正确故答案选C（2）由四人的预料可得下表：中奖人预料结果爸爸妈妈阿曾小丽爸爸✔✖✖✖妈妈✔✖✔✔阿曾✖✖✔✔小丽✖✔✖✔1）若爸爸中奖，仅有爸爸预料正确，符合题意2）若妈妈中奖，爸爸、阿曾、小丽预料均正确，不符合题意3）若阿曾中奖，阿曾、小丽预料均正确，不符合题意4）若小丽中奖，妈妈、小丽预料均正确，不符合题意故只有当爸爸中奖时，仅有爸爸一人预料正确．故选：B．【举一反三】1.某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今日算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知今日是星期________．【答案】四【解析】因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今日不是周三；因为B车昨天限行，所以今日不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今日不是周二和周六，所以今日是周四．【运用套路】【运用套路】纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．已知从2起先的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于第行、第列的数记为，如.若，则（）A．20 B．21 C．29 D．30【答案】A【解析】由题意可得第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，…第n行有n个偶数，则前n行共有个偶数，248在从2起先的偶数中排在第128位,可得，，可得前15行共有个数，最终一个数为240，所以248在第16行，第4列，所以.2．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（）是在年发觉这一规律的．我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个宏大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除全部为的项．依次构成数列，则此数列前项和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】去除全部为的项后，由图可知前行共有个数，当时，，即前行共有个数，另第行的和为，所以前行的和为，第项的最终的两个数为，，故此数列前项和为，故选：C．3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（）A．369 B．321 C．45 D．41【答案】A【解析】依据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列依据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于依据等差数列的求和公式：故选：A4．传闻古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们探讨过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的依次组成一个新数列，可以推想：是数列中的第（）A．5049项 B．5054项 C．5050项 D．5055项【答案】A【解析】因为，，，，归纳可得，从而，，，，依次可知，当时，由此可知，被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，下证该结论成立.设，则，无论是奇数还是偶数，都是偶数且是5的倍数，故为正整数且是的倍数，当且仅当，时，是5的倍数，从而可知每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除.由于是第2024个可被5整除的数，故它出现在数列按五个一段分组的第1010组的第4个数字，故是数列中的第个数，故选A.5．如图:图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含的单位正方形的个数是()A． B． C． D．【答案】C【解析】设第个图包含个互不重叠的单位正方形，图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，，，，，由此类推可得：经检验满意条件。故答案选C6．在中，若，，，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若、、两两相互垂直，，，，则四面体的外接球半径（）A． B． C． D．【答案】A【解析】四面体中，三条棱、、两两相互垂直，则可以把该四面体补成长方体，，，是一个顶点处的三条棱长.所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径.故选A.7．下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特别的推理；④类比推理是由特别到一般的推理；⑤类比推理是由特别到特别的推理。A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤；【答案】C【解析】所谓归纳推理，就是从个别性学问推出一般性结论的推理．故①对②错；又所谓演绎推理是由一般到特别的推理．故③对；类比推理是依据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选：C．8．设的周长为，的面积为，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的表面积分别为，内切球半径为，体积为，则等于()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为的周长为，的面积为，内切圆半径为，则；类比可得：四面体的表面积分别为，内切球半径为，体积为，则.故选C9．设的周长为，的面积为，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的表面积分别为，内切球半径为，体积为，则等于()A． B． C． D．【答案】B【解析】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，所以四面体的体积等于以球心为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积和，又由四面体的表面积为，所以四面体的体积为，故选B．10．的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，四面体的体积为，则(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】设四面体的内切球的球心为，则球心到四面体的距离都是，所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积和，则四面体的体积为，所以，故选C．11．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点,因为函数满意，所以是函数的极值点”，结论以上推理A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误【答案】A【解析】对于可导函数f（x），假如f'（x0）＝0，且满意当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f（x），假如f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，∴大前提错误，故选：A．12．下列说法中运用了类比推理的是（）A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面对上的概率为0.5B．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.从而推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为C．由数列的前5项猜出该数列的通项公式D．数学中由周期函数的定义推断某函数是否为周期函数【答案】B【解析】选项A:是归纳推理；选项B：是类比推理；选项C:是归纳推理；选项D:是演绎推理.13．甲、乙、丙、丁四个人参与某项竞赛，四人在成果公布前做出如下预料：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙揣测的是对的.成果公布后表明，四人中有两人的预料与结果相符，另外两人的预料与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是A．甲和丁 B．甲和丙C．乙和丙 D．乙和丁【答案】D【解析】乙、丁的预料要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预料成立，则甲、丙的预料不成立，可知冲突，故乙、丁的预料不成立，从而获奖的是乙和丁，故选D.14．已知2和3都是无理数，试证：2+3也是无理数．某同学运用演绎推理证明如下：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2+A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都可能【答案】A【解析】大前提：无理数与无理数之和是无理数，错误；小前提：2和3都是无理数，正确；结论2+3也是无理数也正确，故只有大前提错误，故选：16．设等边的边长为，是内的随意一点，且到三边、、的距离分别为、、，则有为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体的棱长为3，是正四面体内的随意一点，且到四个面、、、的距离分别为、、、，则有为定值______．【答案】【解析】设底面三角形的中心为，则，故棱锥的高.∴正四面体的体积.又，∴.故答案为：．17．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则__________．【答案】【解析】令，则两边平方得，得即，解得：或（舍去）本题正确结果：18．若数列为等差数列，定义，则数列也为等差数列.类比上述性质，若数列为等比数列，定义数列______，则数列也为等比数列.【答案】【解析】因为为等差数列，从而，所以，，所以为等差数列，而当为等比数列时，，故，若，则，此时（为的公比），所以为等比数列，填.19．某人在一周当中的周一到周五这五天中选择三天值班，且由于家庭缘由，还需满意以下条件:①若周三值班，则周二不值班；②若周四值班，则周一不值班；③周二和周四至少有—天值班.若要支配周三值班，则另两天是_______.【答案】周四、周五【解析】因为周三值班，由①③知周四要值班，再由②知周一不能值班，所以周五就必需值班.20．二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V＝12πr3，则其四维测度W＝________.【答案】3πr4【解析】二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；视察发觉S′＝l，三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，视察发觉V′＝S，∴四维空间中“特级球”的三维测度V＝12πr3，猜想其四维测度W，则W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4.21．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按依次以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由