2024北京重点校高二（下）期末数学汇编：导数在研究函数中的应用（非解答题）

第1页/共1页2024北京重点校高二（下）期末数学汇编导数在研究函数中的应用（非解答题）一、单选题1．（2024北京丰台高二下期末）已知函数，则（

）A． B．C． D．2．（2024北京石景山高二下期末）已知函数，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．3．（2024北京通州高二下期末）已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024北京怀柔高二下期末）若函数，则根据下列说法选出正确答案是（

）①当时，在上单调递增；②当时，有两个极值点；③当时，没有最小值．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③5．（2024北京顺义高二下期末）若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（

）A．B．C．D．6．（2024北京大兴高二下期末）已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2024北京东城高二下期末）已知函数，则“”是“为的极小值点”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2024北京西城高二下期末）如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2024北京朝阳高二下期末）已知函数.设，是函数图象上不同的两点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2024北京丰台高二下期末）在同一平面直角坐标系内，函数y=fx及其导函数y=f′x的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为A．函数的最大值为1B．函数的最小值为1C．函数的最大值为1D．函数的最小值为111．（2024北京人大附中朝阳学校高二下期末）已知函数，，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．12．（2024北京第十二中学高二下期末）已知函数存在零点a，函数存在零点b，且，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．13．（2024北京大兴高二下期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（

）A．和 B． C． D．14．（2024北京延庆高二下期末）已知函数有两个极值点，则（

）A．或 B．是的极小值点 C． D．二、填空题15．（2024北京丰台高二下期末）已知函数（）．给出下列四个结论：①当时，若的图象与直线恰有三个公共点，则的取值范围是；②若在处取得极小值，则的取值范围是；③，曲线总存在两条互相垂直的切线；④若存在最小值，则的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．16．（2024北京房山高二下期末）已知函数，给出下列四个结论：①当时，在定义域上单调递增；②对任意，存在极值；③对任意，存在最值；④设有个零点，则的取值构成的集合是.其中所有正确结论的序号是.17．（2024北京石景山高二下期末）已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论：①可能是负数；②；③为定值；④若存在，使得，则.其中所有正确结论的序号是．18．（2024北京西城高二下期末）已知函数，其中．给出下列四个结论：①当时，函数有极大值，无极小值；②若方程存在三个根，则；③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点；④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线．其中所有正确结论的序号是．19．（2024北京大兴高二下期末）已知某商品的日销售量单位：套与销售价格单位：元/套满足的函数关系式为，其中，为常数．当销售价格为元/套时，每日可售出套．（1）实数；（2）若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格元/套时（精确到），日销售该商品所获得的利润最大．20．（2024北京延庆高二下期末）已知函数，则在区间上的最大值为．21．（2024北京石景山高二下期末）已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为．22．（2024北京顺义高二下期末）设函数，①若，则f(x)的最小值为；②若f(x)无最小值，则实数的取值范围是.

参考答案1．D【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，即可比较大小.【详解】函数的定义域为，且，所以为偶函数，又，令，则，所以（）在定义域上单调递增，又，所以当时，所以在上单调递增，因为，所以，又，所以.故选：D2．D【分析】利用导数判断出的单调性可得答案.【详解】，当x∈R时，，所以是单调递增函数，因为，所以.故选：D.3．C【分析】结合导数分析函数的性质，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，数形结合求出范围.【详解】当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，求导得，由，得，由，得，即函数在上递增，在上递减，当时，取得极大值，且当时，恒成立，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，即方程恰有三个根，所以实数的取值范围是.故选：C【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.4．D【分析】求出导函数，结合导数与函数的单调性的关系，极值与导数的关系验证各命题.【详解】，设，，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以，当时，，即，所以函数在上单调递增，则没有最小值，①③正确；当时，，即，设，由上面的研究可知，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以，且当时，，且，时，，所以此时方程有两个解，即有两个零点，所以有两个极值点，②正确，所以正确答案是①②③.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查由函数的极值点个数求参数范围，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的实根的个数，再转化为函数的性质（函数图象）．5．A【分析】首先得出对任意的，，从而原不等式等价于，结合图象以及奇函数性质即可得解.【详解】由图可知在上单调递减，且也是奇函数，所以在上也单调递减，所以对任意的，，所以当时，，当时，，当时，，由奇函数性质可知，当时，，当时，，注意到时，没有定义，，综上所述，不等式的解集是.故选：A.6．C【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，转化为有三个不等实根，利用导数分析单调性最值，画出图象求参数的取值范围即可.【详解】设切点坐标为.由题意得，所以函数的图像在点处的切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，则，由题意可知,这个方程有三个不等实根.设，则，由得，由得或.所以函数在和1,+∞上单调递减，在−1,1上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于；当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且，所以的大致图象如图，所以要使直线与函数的图象有三个交点，则.故选：C7．A【分析】在的条件下利用导数证明为的极小值点，然后说明当，时，为的极小值点，但并不成立，从而得到答案.【详解】由题设，，若，则，故上，上，所以fx在上递增，上递减，故为的极小值点，从而条件是充分的；当，时，有，则，显然上，上，所以fx在上递减，上递增，此时为的极小值点，但此时并不成立，从而条件不是必要的.故选：A.8．A【分析】先求导函数，再根据单调性得出导函数恒为正或者恒为负求参即可.【详解】由已知，因为是单调函数,所以恒成立或恒成立，所以恒成立或恒成立，所以或,所以或.故选：A.9．B【分析】令函数，求得，得到Fx在上单调递增，且，即结合，即，即可求解.【详解】令函数，可得，所以函数Fx在上单调递增，所以，即当时，，即又由，即，所以，可得，所以.故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.10．C【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到时，单调递增，当时，单调递减，故C正确，D错误.【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，故恒成立，故在R上单调递增，则A，B显然错误，对于C，D，，由图像可知，恒成立，故单调递增，当，，单调递减，所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误.故选：C11．D【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行分解，即可得出的取值范围．【详解】的定义域为实数集，，所以是奇函数，，∴在R上单调递增；由得，，则，即，当时，，此时不等式等价为成立，当，，所以，因为，，所以，则，则.故选：D.12．D【分析】先求出函数的零点，再把问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数法研究单调性，求出值域即可求出实数m的取值范围.【详解】因为，所以，则函数单调递增，又，所以函数的零点，由，得，解得，函数存在零点b，即方程在上有解，令，则，所以函数在上单调递增，因为，当且无限趋向于时，无限趋向于负无穷，则函数在上的值域为，所以实数m的取值范围是.故选：D13．C【分析】根据图像，在和上单调递增，在上单调递减，得到极大值点.【详解】根据图像，在和上，单调递增；在上，单调递减，故的极大值点为.故选：C14．A【分析】根据函数有两个极值点，则导数为有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.【详解】因为函数有两个极值点，所以有两个根,所以,,故选项错误;因为有两个根,所以,即得,解得或,故选项正确;因为有两个根,在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,故选项错误;故选:A.15．②④【分析】当时，求出的零点判断①；分类讨论函数的极值情况判断②；取，求出任意两点处的导数值乘积与比较判断③；按分类讨论函数在上的取值情况判断④圣母婊得答案.【详解】对于①，当时，，由，解得，则当时，的图象与直线只有两个公共点，而，①错误；对于②，函数的定义域为R，求导得，当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；当时，，函数在R上单调递减，无极值点；当时，，，，，在处取得极小值，符合题意，因此在处取得极小值时，的取值范围是，②正确；对于③，当时，，假定曲线存在两条互相垂直的切线，设两条切线对应的切点分别为，切线斜率分别为，于是与矛盾，③错误；对于④，当时，，，即在上单调递减，此时，而函数在的取值集合为，则在上无最小值，当时，由，得或，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在处取得极大值，在处取得极小值，而当时，，则恒成立，因此在处取得最小值，于是存在最小值时，的取值范围是，所以所有正确结论的序号是②④.故答案为：②④【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.16．②③④【分析】取值计算判断①；函数的极值点情况判断②，分别求出两段的最大值判断③；分段探讨零点个数判断④即得答案.【详解】对于①，当时，，，①错误；对于②，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，因此对任意，存在极值，②正确；对于③，当时，，，，当时，，由，得，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减，此时，因此，，③正确；对于④，当时，函数在上单调递增，，在上无零点，在上单调递增，，，在有一个零点，；当时，，在上单调递增，同理得，当时，，在上单调递增，，；当时，，在上有两个零点，当时，，，当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，即在上有两个零点，；当时，，在上有两个零点，，；当时，，在上有两个零点，，，因此的取值构成的集合是，④正确，所以所有正确结论的序号是②③④.故答案为：②③④【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.17．②③④【分析】对于①，分是否大于0进行讨论；对于②，由韦达定理即可判断；对于③，结合②中结论直接验算；对于④，原命题等价于关于的不等式有解，进一步等价于关于的不等式有解，故只需求出不等式左边的最小值即可验算.【详解】对于①，，因为函数有两个极值点，所以有两个相异实根，这意味着，否则时，f′x≥0，即若，则当时，f′x>0，当时，，当时，f′x>0即在的条件下，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以有两个极值点，故①错误；对于②，是方程的两根，从而，故②正确；对于③，，故③正确；对于④，若存在，使得，即关于的不等式有解，而没有最大值，故原命题等价于关于的不等式有解，令,而函数的最小值为1，所以当且仅当，即满足题意，即若存在，使得，则，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：判断④的关键是将原问题等价转换为关于的不等式有解，由此即可顺利得解.18．②③④【分析】每个命题都画出对应的函数图像，数形结合，即可得出答案．【详解】对于①,第二段的对称轴为，画出函数草图，则函数无极大值，故①错误．

对于②，如图所示．

方程存在三个根，在第一段内显然有一个根，则在第二段内一定有两个根．即在上有两根，即在有两根．必须满足，解得，故②正确.对于③，当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点，等价于第二段函数图像关于原点对称的图像，与原函数的第一段图像有交点，如图所示，显然成立.故③正确.

对于④，当时，，大概画出草图如下.

第一段求导，则在处的切线斜率为第二段求导，则在处的切线斜率为.则存在，使得切线斜率相等.再结合图像，两段存在公切线.故