高中人教A版 (2019)3.2 双曲线测试题

高中人教A版(2019)3.2双曲线测试题一、选择题要求：本部分共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的焦点坐标为F1（-c，0）和F2（c，0），若双曲线的实轴长为2a，则双曲线的离心率为（）A.c/aB.a/cC.c/a+1D.c/a-12.双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，若双曲线的离心率为e，则a、b、c之间的关系为（）A.c^2=a^2+b^2B.c^2=a^2-b^2C.c^2=b^2+a^2D.c^2=b^2-a^23.双曲线的渐近线方程为y=±kx，其中k为常数，若双曲线的离心率为e，则k的取值范围为（）A.-e<k<eB.-e≤k≤eC.k>eD.k<-e4.双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，若a=2，c=3，则双曲线的方程为（）A.x^2/4-y^2/5=1B.x^2/4-y^2/5=-1C.x^2/5-y^2/4=1D.x^2/5-y^2/4=-15.双曲线的离心率为e，若e=2，则双曲线的渐近线斜率的取值范围为（）A.-2<k<2B.-2≤k≤2C.k>2D.k<-26.双曲线的焦点坐标为F1（-c，0）和F2（c，0），若双曲线的实轴长为2a，则双曲线的实半轴长b的取值范围为（）A.b>0B.b≥0C.b<0D.b≤07.双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，若双曲线的离心率为e，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=±(b/a)xB.y=±(a/b)xC.y=±(a+b)/c*xD.y=±(a-b)/c*x8.双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，若a=1，c=2，则双曲线的方程为（）A.x^2-y^2=1B.x^2-y^2=-1C.y^2-x^2=1D.y^2-x^2=-19.双曲线的渐近线方程为y=±kx，其中k为常数，若双曲线的离心率为e，则k的取值范围为（）A.-e<k<eB.-e≤k≤eC.k>eD.k<-e10.双曲线的焦点坐标为F1（-c，0）和F2（c，0），若双曲线的实轴长为2a，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A.e>1B.e≥1C.0<e<1D.0≤e≤1二、填空题要求：本部分共5小题，每小题4分，共20分。请将正确答案填入题中的横线上。1.双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a、b、c之间的关系为______。2.双曲线的渐近线方程为y=±kx，其中k为常数，若双曲线的离心率为e，则k的取值范围为______。3.双曲线的焦点坐标为F1（-c，0）和F2（c，0），若双曲线的实轴长为2a，则双曲线的实半轴长b的取值范围为______。4.双曲线的离心率为e，若e=2，则双曲线的渐近线斜率的取值范围为______。5.双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，若a=2，c=3，则双曲线的方程为______。三、解答题要求：本部分共5小题，共40分。请将解答过程和答案填写在答题纸上相应的位置。1.（10分）已知双曲线的标准方程为x^2/4-y^2/9=1，求该双曲线的离心率e和实轴长2a。2.（10分）已知双曲线的渐近线方程为y=±(3/4)x，求该双曲线的标准方程。3.（10分）已知双曲线的焦点坐标为F1（-5，0）和F2（5，0），求该双曲线的离心率e和实轴长2a。4.（10分）已知双曲线的渐近线方程为y=±(1/2)x，求该双曲线的焦点坐标。5.（10分）已知双曲线的实轴长为6，焦距为8，求该双曲线的标准方程。四、应用题要求：本部分共5小题，每小题8分，共40分。请根据题目要求，写出解题过程和答案。1.已知双曲线的渐近线方程为y=±(2/3)x，且双曲线经过点P（1，1），求该双曲线的标准方程。2.一辆汽车以60km/h的速度行驶在双曲线形铁轨上，其运动轨迹方程为x^2/16-y^2/9=1。求汽车从点A（-4，0）出发，到达点B（4，0）所需的时间。3.在双曲线x^2/4-y^2/9=1上，取点M（2，3），求过点M的切线方程。4.一枚火箭在双曲线x^2/36-y^2/64=1上运动，其初始位置为（-6，0）。求火箭在y轴正半轴上的最高点坐标。5.在双曲线x^2/9-y^2/25=1上，若点P（x，y）到两焦点的距离之和为20，求点P的轨迹方程。五、证明题要求：本部分共5小题，每小题10分，共50分。请根据题目要求，写出证明过程和结论。1.证明：双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。2.证明：双曲线的离心率e的取值范围为e>1。3.证明：双曲线的实轴长2a与焦距2c之间的关系为c^2=a^2+b^2。4.证明：双曲线的焦点坐标为F1（-c，0）和F2（c，0），实轴长为2a，则双曲线的渐近线斜率的取值范围为k≤±b/a。5.证明：双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，若a=3，c=5，则双曲线的方程为x^2/9-y^2/16=1。六、综合题要求：本部分共5小题，每小题12分，共60分。请根据题目要求，写出解题过程和答案。1.一条双曲线的渐近线方程为y=±(3/2)x，且双曲线经过点A（1，-2）。求该双曲线的标准方程。2.已知双曲线的焦点坐标为F1（-2，0）和F2（2，0），若双曲线的离心率为e，求双曲线的实轴长2a和焦距2c。3.一枚卫星在双曲线x^2/64-y^2/16=1上运动，其初始位置为（-8，0）。求卫星在y轴负半轴上的最低点坐标。4.一条双曲线的渐近线方程为y=±(1/4)x，且双曲线的实轴长为6。求该双曲线的离心率e和焦点坐标。5.一辆汽车在双曲线形铁轨上行驶，其运动轨迹方程为x^2/25-y^2/9=1。若汽车从点C（-5，0）出发，到达点D（5，0）所需的时间为10秒，求汽车的速度。本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：双曲线的离心率e定义为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为实轴半长。故选A。2.A解析：双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，根据双曲线的定义，有c^2=a^2+b^2。故选A。3.A解析：双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x，其中k=b/a，离心率e=c/a，所以k的取值范围为-b/a<k<b/a，即-e<k<e。故选A。4.A解析：双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，由a=2，c=3，代入双曲线的标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，得x^2/4-y^2/5=1。故选A。5.A解析：双曲线的离心率e=2，由e=c/a，得k=b/a，所以k的取值范围为-2<k<2。故选A。6.A解析：双曲线的实轴长为2a，焦点到中心的距离为c，所以实半轴长b的取值范围为b>0。故选A。7.A解析：双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，离心率e=c/a，所以渐近线方程为y=±(b/a)x。故选A。8.A解析：双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，由a=1，c=2，代入双曲线的标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，得x^2-y^2=1。故选A。9.A解析：双曲线的渐近线方程为y=±kx，其中k=b/a，离心率e=c/a，所以k的取值范围为-e<k<e。故选A。10.A解析：双曲线的焦点坐标为F1（-c，0）和F2（c，0），实轴长为2a，离心率e=c/a，所以e的取值范围为e>1。故选A。二、填空题1.c^2=a^2+b^2解析：根据双曲线的定义，有c^2=a^2+b^2。2.-e<k<e解析：双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x，其中k=b/a，离心率e=c/a，所以k的取值范围为-e<k<e。3.b>0解析：双曲线的实轴长为2a，焦点到中心的距离为c，所以实半轴长b的取值范围为b>0。4.-2<k<2解析：双曲线的离心率e=2，由e=c/a，得k=b/a，所以k的取值范围为-2<k<2。5.x^2/4-y^2/5=1解析：双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，由a=2，c=3，代入双曲线的标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，得x^2/4-y^2/5=1。三、解答题1.（10分）e=√(a^2+b^2)/a=√(9+4)/2=√13/2，2a=2√4=4。2.（10分）由y=±(3/4)x，得b/a=3/4，代入c^2=a^2+b^2，得c^2=a^2+(3/4)a^2=(7/4)a^2，又e=c/a，得e=√(7/4)=√7/2，所以双曲线的标准方程为x^2/4-y^2/(3/2)^2=1。3.（10分）e=c/a=5/2，2a=2√(25-5^2)/5=2√(25-25)/5=0，所以双曲线的标准方程为x^2/25-y^2/25=1。4.（10分）由y=±(1/2)x，得b/a=1/2，代入c^2=a^2+b^2，得c^2=a^2+(1/2)a^2=(3/2)a^2，又e=c/a，得e=√(3/2)=√6/2，所以焦点坐标为F1（-√6/2，0）和F2（√6/2，0）。5.（10分）由a=3，c=5，得b^2=c^2-a^2=25-9=16，所以双曲线的标准方程为x^2/9-y^2/16=1。四、应用题1.（8分）由y=±(2/3)x，得b/a=2/3，代入c^2=a^2+b^2，得c^2=a^2+(2/3)a^2=(5/3)a^2，又e=c/a，得e=√(5/3)=√15/3，所以双曲线的标准方程为x^2/9-y^2/(4/3)^2=1。2.（8分）由x^2/16-y^2/9=1，得x=4√(1+y^2/9)，所以汽车行驶的距离为s=∫[4√(1+y^2/9)]，代入A（-4，0）和B（4，0），得s=8√(1+1/9)=8√(10/9)=8√10/3，所以所需时间为t=s/v=(8√10/3)/60=√10/45小时。3.（8分）由y=3x，代入x^2/4-y^2/9=1，得x^2/4-9x^2/9=1，解得x=±√3/3，所以过点M的切线方程为y-3=3(x±√3/3)。4.（8分）由x^2/36-y^2/64=1，得x=6√(1+y^2/64)，所以火箭在y轴正半轴上的最高点坐标为(0，8)。5.（8分）由x^2/9-y^2/25=1，得x=3√(1+y^2/25)，所以点P到两焦点的距离之和为2a=6，所以y^2/25=1-(x/3)^2=1-(x^2/9)，代入x=3√(1+y^2/25)，得y^2/25=1-(9/25)，解得y=±4√6/5，所以点P的轨迹方程为y^2/25-x^2/9=16/25。五、证明题1.（10分）由双曲线的定义，有c^2=a^2+b^2，又e=c/a，所以b^2=c^2-a^2=(c/a)^2*a^2-a^2=b^2/a^2*a^2-a^2=b^2，所以y=±(b/a)x。2.（10分）由双曲线的定义，有c^2=a^2+b^2，又e=c/a，所以e^2=c^2/a^2=(a^2+b^2)/a^2=1+b^2/a^2>1，所以e>1。3.（10分）由双曲线的定义，有c^2=a^2+b^2，又e=c/a，所以c^2=e^2*a^2，所以e^2*a^2=a^2+b^2，所以c^2=a^2+b^2。4.（10分）由双曲线的定义，有c^2=a^2+b^2，又e=c/a，所以b^2=c^2-a^2=(c/a)^2*a^2-a^2=b^2/a^2*a^2-a^2=b^2，所以y=±(b/a)x，所以k=b/a，所以k≤±b/a。5.（10分）由双曲线的定义，有c^2=a^2+b^2，又e=c/a，所以e^2=c^2/a^2=(a^2+b^2)/a^2=1+b^2/a^2，又a=3，c=5，所以b^2=c^2-a^2=25-9=16，所以双曲线的方程为x^2/9-y^2/16=1。六、综合题1.（12分）由y=±(3/2)x，得b/