北京市西城区2014届高三一模试卷（数学文）【2014西城一模】

北京市西城区2014届高三一模试卷（数学文）【2014西城一模】一、选择题要求：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(2)=0，则f(x)的图像与x轴的交点个数是（）A.1B.2C.3D.42.在平面直角坐标系中，若点P(2,1)关于直线y=x的对称点为P'，则P'的坐标是（）A.(2,1)B.(1,2)C.(-2,-1)D.(-1,-2)3.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1+a2+a3=12，a4+a5+a6=36，则a1+a6的值为（）A.18B.24C.30D.364.已知函数y=2^x+1，其图像上任意一点P(x,y)到原点的距离为d，则d的最小值是（）A.1B.2C.3D.45.在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则△ABC的外接圆半径r与边长a的关系是（）A.r=√3aB.r=2aC.r=a/√3D.r=a6.已知数列{an}满足an+1=2an，且a1=1，则数列{an}的通项公式是（）A.an=2n-1B.an=2^n-1C.an=2^nD.an=2^(n-1)7.在平面直角坐标系中，若直线l与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，且OA=OB=1，则直线l的方程是（）A.x+y=1B.x-y=1C.x+y=-1D.x-y=-18.已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=27，则q的值为（）A.1B.3C.9D.279.在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，则sinC的值为（）A.√3/2B.√3/4C.1/2D.1/410.已知函数y=x^2-4x+4，其图像的顶点坐标是（）A.(1,1)B.(2,0)C.(0,1)D.(0,4)二、填空题要求：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=54，则d的值为____。2.已知函数y=3^x，其图像上任意一点P(x,y)到原点的距离为d，则d的最大值是____。3.在平面直角坐标系中，若点P(2,1)关于直线y=x的对称点为P'，则P'的坐标是____。4.已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=27，则q的值为____。5.在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，则cosC的值为____。6.已知函数y=2^x+1，其图像的顶点坐标是____。7.在平面直角坐标系中，若直线l与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，且OA=OB=1，则直线l的方程是____。8.已知数列{an}满足an+1=2an，且a1=1，则数列{an}的通项公式是____。9.在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则△ABC的外接圆半径r与边长a的关系是____。10.已知函数y=x^2-4x+4，其图像与x轴的交点个数是____。三、解答题要求：本大题共4小题，共100分。1.（20分）已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f(x)的图像与x轴的交点个数。2.（20分）在平面直角坐标系中，若点P(2,1)关于直线y=x的对称点为P'，求P'的坐标。3.（20分）已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=27，求q的值。4.（40分）在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，求sinC和cosC的值。四、解答题要求：本大题共4小题，共100分。4.（20分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=3an-1+2，a1=1，求Sn的表达式。五、解答题要求：本大题共4小题，共100分。5.（20分）在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，点B(-2,3)，求直线AB的斜率和截距。六、解答题要求：本大题共4小题，共100分。6.（20分）已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，若f(1)=3，f(-1)=1，且f(x)的图像开口向上，求a、b、c的值。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1，f(-1)=1，f(1)=-1，f(2)=0，因此f(x)在x=-1、x=1和x=2处与x轴相交，共3个交点。2.B解析：点P(2,1)关于直线y=x的对称点P'的横坐标为1，纵坐标为2，所以P'的坐标为(1,2)。3.A解析：由等差数列的性质，a1+a6=a1+5d，a1+a2+a3=3a1+3d=12，a4+a5+a6=3a1+9d=36，解得a1=3，d=3，所以a1+a6=3+15=18。4.B解析：d=OP=√(x^2+y^2)，代入y=2^x+1得d=√(x^2+(2^x+1)^2)，当x=0时，d取得最小值2。5.A解析：由正弦定理，a/sinA=2r，所以r=a/√3。6.C解析：由递推关系an+1=2an，得an=2^(n-1)。7.A解析：直线l过点A(1,0)和B(0,1)，所以l的方程为x+y=1。8.B解析：由等比数列的性质，a1+a2+a3=a1+q+q^2，a4+a5+a6=a1+q^3+q^4，解得q=3。9.A解析：由正弦定理，sinC=sin(180°-A-B)=sin(180°-30°-75°)=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6/4。10.B解析：函数y=x^2-4x+4可以写成(y-2)^2=x，顶点坐标为(2,0)。二、填空题1.3解析：由等差数列的性质，a1+a6=a1+5d，a1+a2+a3=3a1+3d=12，a4+a5+a6=3a1+9d=36，解得d=3，所以a1+a6=3+15=18。2.2解析：d=OP=√(x^2+y^2)，代入y=3^x得d=√(x^2+(3^x)^2)，当x=0时，d取得最大值2。3.(1,2)解析：点P(2,1)关于直线y=x的对称点P'的横坐标为1，纵坐标为2，所以P'的坐标为(1,2)。4.3解析：由等比数列的性质，a1+a2+a3=a1+q+q^2，a4+a5+a6=a1+q^3+q^4，解得q=3。5.√3/4解析：由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，由正弦定理，c=2r*sinC，代入余弦定理得cosC=(a^2+b^2-4r^2*sin^2C)/(2ab)，化简得cosC=(a^2+b^2)/(2ab)-2*sin^2C，由正弦定理，sinC=c/2r，代入得cosC=(a^2+b^2)/(2ab)-sin^2C，由勾股定理，sin^2C+(a^2+b^2)/(2ab)^2=1，解得sinC=√3/4。6.(2,0)解析：函数y=x^2-4x+4可以写成(y-2)^2=x，顶点坐标为(2,0)。7.x+y=1解析：直线l过点A(1,0)和B(0,1)，所以l的方程为x+y=1。8.an=2^(n-1)解析：由递推关系an+1=2an，得an=2^(n-1)。9.r=a/√3解析：由正弦定理，a/sinA=2r，所以r=a/√3。10.1解析：函数y=x^2-4x+4可以写成(y-2)^2=x，顶点坐标为(2,0)，所以与x轴的交点个数为1。三、解答题1.（20分）解：f(x)=x^3-3x+1，f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1，f(-1)=1，f(1)=-1，f(2)=0，因此f(x)在x=-1、x=1和x=2处与x轴相交，共3个交点。2.（20分）解：点P(2,1)关于直线y=x的对称点P'的横坐标为1，纵坐标为2，所以P'的坐标为(1,2)。3.（20分）解：由等比数列的性质，a1+a2+a3=a1+q+q^2，a4+a5+a6=a1+q^3+q^4，解得q=3。4.（40分）解：由等差数列的性质，an=a1+(n-1)d，代入an=3an-1+2得a1+(n-1)d=3(a1+(n-2)d)+2，化简得d=3d，所以d=0，即数列{an}是常数数列，所以Sn=na1=n。四、解答题4.（20分）解：由递推关系an=3an-1+2，得a2=3a1+2，a3=3a2+2=9a1+8，以此类推，得an=3^(n-1)a1+2(3^(n-2)+3^(n-3)+...+1)，由等比数列求和公式，得an=3^(n-1)a1+2*(3^(n-1)-1)/(3-1)，所以Sn=a1*(1-3^n)/(1-3)+2*(3^n-1)/(2)，化简