第53讲 椭圆的定义和性质-2024-2025届高考数学二轮复习经典结论微专题

第53讲椭圆的定义和性质-2024-2025届高考数学二轮复习经典结论微专题一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），则该椭圆的离心率为：A.$\frac{a}{b}$B.$\frac{b}{a}$C.$\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}$D.$\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2}}$2.设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点分别为$A$、$B$，则$|OA|$与$|OB|$的比值为：A.$\frac{1}{2}$B.2C.$\frac{b}{a}$D.$\frac{a}{b}$二、填空题要求：请直接写出答案。3.已知椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，则该椭圆的焦点坐标为________。4.椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的一个顶点为$(0,1)$，则该椭圆的另一个顶点坐标为________。三、解答题要求：写出解题步骤和最终答案。5.（1）若椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的离心率为$\frac{3}{5}$，求椭圆的焦点坐标；（2）已知椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$的右焦点为$F$，$P$为椭圆上一点，且$\angleFPA=60^\circ$，求$PF$的长度。6.（1）设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为$F$，$P$为椭圆上一点，若$|PF|=2a$，求$\sin\anglePAF$的值；（2）已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$的一个顶点为$(0,1)$，点$P$在椭圆上，且$\anglePAB=30^\circ$，其中$A$为椭圆的左顶点，$B$为椭圆的右顶点，求$|PB|$的长度。四、解答题要求：写出解题步骤和最终答案。7.（1）证明：对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其长轴的长度为$2a$，短轴的长度为$2b$；（2）已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，求证：该椭圆的焦距$c$满足$c^2=a^2-b^2$。五、解答题要求：写出解题步骤和最终答案。8.（1）设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个焦点分别为$F_1$、$F_2$，$P$为椭圆上一点，且$|PF_1|=|PF_2|$，求证：$P$为椭圆的短轴的端点；（2）已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，点$P$在椭圆上，且$|PF_1|=6$，求$|PF_2|$的值。六、解答题要求：写出解题步骤和最终答案。9.（1）求椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的准线方程；（2）已知椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$，求证：该椭圆的准线与$x$轴的交点坐标为$(\pm3,0)$。本次试卷答案如下：一、选择题1.C解析：椭圆的离心率定义为$\varepsilon=\frac{c}{a}$，其中$c$是焦距，$a$是半长轴。由椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，焦距$c=\sqrt{a^2-b^2}$，所以离心率$\varepsilon=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}$。2.D解析：椭圆的顶点坐标为$(\pma,0)$，所以$|OA|=a$，$|OB|=a$，因此$|OA|$与$|OB|$的比值为$\frac{a}{a}=1$。二、填空题3.$(-3,0)$，$(3,0)$解析：椭圆的焦点坐标为$(\pmc,0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。对于椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，$a^2=9$，$b^2=4$，所以$c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，焦点坐标为$(-\sqrt{5},0)$和$(\sqrt{5},0)$。4.$(0,-1)$解析：椭圆的顶点坐标为$(\pma,0)$和$(0,\pmb)$。对于椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，$a^2=16$，$b^2=4$，所以$a=4$，$b=2$，顶点坐标为$(\pm4,0)$和$(0,\pm2)$，所以另一个顶点坐标为$(0,-1)$。三、解答题5.（1）$F_1(-\sqrt{16},0)=(-4,0)$，$F_2(\sqrt{16},0)=(4,0)$解析：由离心率公式$\varepsilon=\frac{c}{a}$，得$c=\varepsilona=\frac{3}{5}\times5=3$。焦点坐标为$(\pmc,0)$，所以焦点为$(-3,0)$和$(3,0)$。（2）$PF=6$解析：由椭圆的定义，$|PF_1|+|PF_2|=2a$，因为$|PF_1|=6$，所以$|PF_2|=2a-|PF_1|=10-6=4$。6.（1）$\sin\anglePAF=\frac{b}{a}$解析：由椭圆的定义，$|PF_1|+|PF_2|=2a$，所以$|PF_1|=2a-|PF_2|$。在$\trianglePAF_1$中，由余弦定理得$\cos\anglePAF_1=\frac{|PF_1|^2+|AF_1|^2-|PF|^2}{2|PF_1|\cdot|AF_1|}$。因为$|AF_1|=a$，$|PF|=2a$，代入得$\cos\anglePAF_1=\frac{4a^2-4a^2}{2a^2}=0$，所以$\sin\anglePAF_1=1$。同理可得$\sin\anglePAF_2=1$，所以$\sin\anglePAF=\frac{b}{a}$。（2）$|PB|=2$解析：由椭圆的定义，$|PF_1|+|PF_2|=2a$，因为$|PF_1|=6$，所以$|PF_2|=2a-|PF_1|=10-6=4$。在$\trianglePAB$中，由余弦定理得$\cos\anglePAB=\frac{|PB|^2+|AB|^2-|PA|^2}{2|PB|\cdot|AB|}$。因为$|AB|=2a=8$，$|PA|=2a-|PF_1|=10-6=4$，代入得$\cos\anglePAB=\frac{4+64-16}{2\times2\times8}=1$，所以$\sin\anglePAB=0$。同理可得$\sin\anglePBA=0$，所以$\sin\anglePAB=\sin\anglePBA$，因此$|PB|=|AB|=2$。四、解答题7.（1）证明：由椭圆的定义，对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，长轴的长度为$2a$，短轴的长度为$2b$。解析：由椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，可知$x^2$和$y^2$的系数分别为$\frac{1}{a^2}$和$\frac{1}{b^2}$。因此，当$x^2=a^2$时，$y^2=0$，即点$(a,0)$在椭圆上，同理可得点$(-a,0)$也在椭圆上。所以椭圆的长轴长度为$2a$。同理可证短轴长度为$2b$。（2）证明：由椭圆的性质，$c^2=a^2-b^2$。解析：由椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，可知$c=\sqrt{a^2-b^2}$。因为$c$是焦点到中心的距离，所以$c^2=a^2-b^2$。五、解答题8.（1）证明：对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，$P$为椭圆上一点，且$|PF_1|=|PF_2|$，$P$为椭圆的短轴的端点。解析：由椭圆的定义，$|PF_1|+|PF_2|=2a$，因为$|PF_1|=|PF_2|$，所以$|PF_1|=|PF_2|=a$。在$\trianglePF_1F_2$中，由勾股定理得$|F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2=2a^2$，所以$|F_1F_2|=\sqrt{2}a$。因为$|F_1F_2|=2c$，所以$c=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。由于$|PF_1|=|PF_2|=a$，所以$P$为椭圆的短轴的端点。（2）$|PF_2|=3$解析：由椭圆的定义，$|PF_1|+|PF_2|=2a$，因为$|PF_1|=6$，所以$|PF_2|=2a-|PF_1|=10-6=4$。在$\trianglePAB$中，由余弦定理得$\cos\anglePAB=\frac{|PB|^2+|AB|^2-|PA|^2}{2|PB|\cdot|AB|}$。因为$|AB|=2a=10$，$|PA|=2a-|PF_1|=10-6=4$，代入得$\cos\anglePAB=\frac{4+100-16}{2\times4\times10}=1$，所以$\sin\anglePAB=0$。同理可得$\sin\anglePBA=0$，所以$\sin\anglePAB=\sin\anglePBA$，因此$|PB|=|AB|=10$。所以$|PF_2|=|AB|-|PB|=10-3=7$。六、解答题9.（1）准线方程为$x=\pm\frac{a^2}{c}$解析：椭圆的准线方程为$x=\pm\frac{a^2}{c}$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。由椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，可知当$x=a$时，$y=0$，即点$(a,0)$在椭圆上。同理可得点$(-a,0)$也在椭圆上。因此，准线方程为$x=\pm\frac{a^2}{c}$。（2）证明：准线与$x$轴的交点坐标为$(\pm3,0)$。解析：由椭圆的准线方程$x=\pm\frac{a^2}{c}$，得$c=\frac{a^2}{x}$。因为椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入得$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^