《小学数学教学论》课件-第八章-1

1（二）有助于发展学生的空间观念发展学生的空间观念是《全日制义务教育数学课程标准》中的一个重要目标，也是“图形与几何”教学的核心目标之一。在三维图形与二维图形的转化过程中学生要经历对图形的想象、重组和构建的过程，在将数学或生活语言所描述的情景绘制成实际情景的过程中，学生的空间观念将得到发展。2（三）有助于培养良好的思维习惯3二、“图形与几何”的教学内容和编排（一）图形与几何历史简介几何学起源于埃及尼罗河泛滥后土地重新测量的需要；4古埃及地理位置

埃及是古代文明的发祥地之一。“埃及是尼罗河赐予的礼物”，尼罗河由南向北纵贯埃及，在红海、利比亚沙漠和撒哈拉沙漠之间滋润出一条狭长的绿洲，在这里产生了古埃及文明。5几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρία”，由“γέα”（土地）和“μετρεĭν”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。英语「geometry」几何「geo」代表的是土地，「metrein」指的是測量。6中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。7利瑪竇利瑪竇

(MatteoRicci;1552

1610)意大利傳教士1606年與徐光啟合作翻譯《幾何原本》前6卷。8徐光啟徐光启（1562?1633）嘉靖41年?崇祯6年字子先，号玄扈，上海徐家汇人。1606年与利玛窦合作翻译《几何原本》前6卷。首先引进「几何」一词。9在人们获得了直线、圆等形的概念以后，而进一步利用笔直的木棍作出直线，利用树杈作出圆形的时候，他们已经基本上掌握了这些图形的性质。在西安半坡遗址中，发现圆、正方形的房屋地基（图8-），并在出土的陶器碎片上发现了大量的几何图形（图8-）。1011古代埃及的数学吉萨金字塔(公元前2600年)（刚果，1978）1213（2）中国数学的起源与早期发展汉像砖伏羲女娲执规矩图14女娲伏羲执规矩图黄帝时代隶首作数15中国考古文物上的几何图案16测量几何量必须有一个单位，即“量具”。最早的量具是很粗糙的，那时候最简单、最方便的量具莫过于人体的某一部分。我国古代常用“步”作为长度单位。在西方，也有类似的例子。例如，英文中呎的原意足（foot），码（yard）则来源于腰围（gyrgand）之长等。17几何符号的出现简化了复杂的数学理论，使得数学理论的应用成为可能。18第一学段的主要内容是：认识简单几何体和平面图形，感受平移、旋转、对称现象，学习描述物体相对位置的一些方法，进行简单的测量活动，建立初步的空间观念。第二学段的主要内容是：了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，发展空间观念。（二）小学“图形与几何”教学内容19事实上，小学“图形与几何”的教学内容经历了从偏重求积计算发展到增加图形的概念和性质、从偏重知识传授转变到重视空间观念的培养的变化过程。20（三）“图形与几何”的教学内容的编排特点“图形与几何”的教学内容不是严格按照知识的逻辑顺序呈现，而以图形的认识为主线，根据儿童的生理和心理特征，按图形内容的逻辑关系来构建内容体系。采用“问题情境—建立模型—解释、应用于拓展、反思”的基本模式展现内容，而不是“公理定义—定理性质—例题—习题”的结构形式。211.“图形的认识”教学内容的编排特点“图形的认识”的编排顺序是：感知立体图形—辨认平面图形—角和直角—长方形、正方形的认识—锐角和钝角—认识线段、射线和直线—角—相交和平行一认识平行四边形和梯形—三角形—长方体和正方体—圆—圆柱和圆锥。22一年级设置了认识三维立体图形（如长方体、正方体、圆柱体、球体）的教学内容；二至四年级编排了认识二维平面图形（角、线段、直线、射线、长方形、正方形、三角形、四边形）的教学内容；而五、六年级的教学内容既包括长方体、正方体、圆柱、圆锥等三维几何体的特征性质也包括二维平面图形圆的认识。23教学内容的呈现大都采用直观几何、实验几何的方式，设置的情境贴近学生的现实生活和日常经验，使学生获得对简单的几何体和平面图形的直观经验，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系。242.“测量”教学内容编排的特点“测量”的教学内容不是单纯的图形面积和体积的计算，而是强调对量的实际意义的理解，让学生在参与测量的过程中，自己选择测量的工具和测量方法，从而进一步掌握有关测量的知识和技能。253.“图形的运动”教学内容编排的特点“图形的运动”教学内容突出了与生活的联系，强调活动经验的积累。

4.“图形与位置”教学内容编排的特点“图形与位置”教学内容的编排采用了辨认方向——确定位置——描述路线的顺序。26

三、“图形与几何”的教学要求（一）关注“图形与几何”知识的形成过程一般地说，在“图形与几何”教学过程中，教师针对图形、测量、位置、变换等原发现过程进行教学加工，设计一个学生可接受、可操作、可实现、可理解的的数学情境，引导学生去揭示或感受知识发生的前提或原因，使其认识和了解数学的概念、公式、例题以及应用产生的背景和发展的过程。271.创设问题情景，展现知识的发现过程创设问题情景，就是要为学生提供恰当的实际问题和知识背景，提出符合学生认知水平的思考问题，经过学生观察、实验、比较，作出猜想，为“图形与几何”知识的形成奠定感性基础。以“角”这一概念的教学为例，首先设置摸纸片的活动，“布袋里有五个硬纸片（图8-），你能从布袋里把某个硬纸片摸出来吗？”通过摸纸片，让学生初步感受角的形状特征。28角——（视频）292.增加实验操作，再现结论的探究过程如一年级小学生在直观认识正方形时，通过自己动手对折正方形纸片，能够认识到正方形“四边相等”这一特征。又如，学生在学习三角形内角和时，通过撕角、拼角把三角形纸片上的三个内角拼成一个平角，证明了三角形的内角和是180°。303.精心设计问题，揭示解决问题的思维过程数学教学的核心是培养学生解决问题的能力，通过问题的解决来启迪和发展学生的思维，在完成“图形与几何”知识学习的同时，培养学生的思维能力。三角形的面积计算（视频）31（二）“图形与几何”的实际背景1.生活实际背景“图形与几何”教学应该从学生的生活经验和己有的知识出发，充分利用现实生活中的实际背景去理解知识；对称（李彬课件）322.生产实践背景结合生产实践和生活实际去教学，探索知识发生、发展的背景，使学生灵活掌握和应用所学的知识，培养他们的创新能力。如计算做一个油箱用多少铁皮应求六个面的面积，计算粉刷游泳池需要求四周和底面的五个面的面积，333.几何发展史背景例如：教学“圆的认识”时介绍一下圆周率的演变发展的过程，特别介绍圆周率的计算过程。34（三）重视直观感性材料的作用1.实物直观2.模型直观3.图像直观35四、小学生几何思维的发展

在20世纪50年代末，范希尔夫妇（PierrevanHiele&DinavanHiele）在格式塔心理学和皮亚杰发生认识论的基础上提出了几何思维水平的理论。从整体上把几何思维分为五个层次，即视角辨认层次、分析层次或描述层次、非形式的演绎层次、形式演绎层次以及严密性层次；并提出了相应的教学策略。3637为了更准确地反映小学生几何思维的发展，应在范·希尔夫妇所说的五个水平上再增加一个新的水平——水平0(前认知)。38介绍小学生几何思维水平的发展阶段。1.水平0：前认知学生能通过整体轮廓辨认图形，但因感觉活动的缺乏，他们可能只注意形状直观特征的某些部分，不能认识到其中的组成部分。392.水平1：视觉对小学生而言，他们能按照外观识别图形，在心理上把这些图形表示为直观图形，例如学生可能会因为“三角形像三明治，长方形像门”区分三角形和长方形。然而，学生不关心图形的几何性质和本质特征，因此不能正确区分正方形和菱形，而认为两种图形是“相等”的。403.水平2：分析学生开始分析图形的组成要素，能借助观察、测量、画图和建模等手段经验地建立图形的性质特征，并依据性质特征识别图形，但不能解释图形的某些性质之间的关联，也不能识别不同类图形之间的关系。例如，无论三角形在形状上有多大的差异，学生都通过三条边和三个角的特征性质，准确地识别各种形态的三角形，但是没有构建边和角的联系，即不能理解三角形内角越大，对应边越长的性质。414.水平3：非形式化演绎学生能形成抽象的定义，开始注意图形与图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，进一步探索图形的内在属性和其包含关系，因而能分层次地将图形进行分类，并使用公式与定义对这些类别进行非形式化的论证。42第二节图形与几何概念与技能教学一、图形的认识（一）空间观念的理解1.空间观念的基本成分《全日制义务教育数学课程标准》对空间观念培养作了如下描述：“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等”。43在学生数学学习中，空间观念主要包含如下基本成分。（1）图形的识别与理解能力（2）图形的分解与组合能力（3）图形的建构与探索能力（4）对图形的运动与变换的欣赏（5）利用几何直观解决问题能力44密铺的例子452.小学生空间观念发展的心理特点（1）直观性小学生的认知水平基本上处于“具体运算阶段”，认识几何图形主要通过动手操作（做一做、拼一拼、搭一搭、画一画等活动），尤其是低年级学生，对图形的感知往往偏重于对象的直观性较强的属性特征，对那些不太明显的属性特征和比较抽象的几何概念的理解比较困难。46（2）描述性小学生往往倾向于用日常用语来描述几何概念，对于精确的、严格的几何概念，往往很难理解。但需要注意，直观具体的日常语言描述几何概念具有两面性。47一方面，当日常用语与科学概念一致时，有助于学生逐步建立空间观念，如对“三角形”的描述，会更多地借用日常经验中的“三角”，或对“正方形”描述为“方块”，并会用这种描述来作为图形的识别图式。另一方面，当日常用语与科学概念不一致时，会影响准确科学的几何概念的形成，从而干扰正确的空间观念的建立。如学生容易受到日常用语“角是尖的”这一概念的干扰，对于平角和周角的认识产生困难，并且学生在实物中往往指着顶点说”角”，影响了“从一点引出两条射线所组成的图形”这一角的概念的形成。48（3）渐进性小学生形成几何概念、理解图形性质以及维数的认识，都需要一个逐步发展的渐进过程。首先，小学生对几何概念的理解不是一步到位的，而是一个渐进的过程，这个过程与小学生空间思维水平发展的阶段性相关。其次，小学生通过观察、操作、实验能够发现几何对象的性质特征，但是对于不同对象的性质特征关系的理解往往比较困难。再次，小学生维数的认识也是渐进的过程，从二维空间发展到三维空间是相当困难的。49（4）标准性虽然标准图形有利于小学生发现图形的性质特征，但是标准图形的呆板、单一，会在学生头脑中形成思维定势，忽视了事物的变化发展，混淆了几何图形的本质特征和非本质特征。因此，在教学中，标准图形和变式图形要结合运用，使用标准图形，唤起学生生活中已有的经验，促进学生对图形本质特征的认识。503.小学生空间观念的培养首先，学生经验是发展空间观念的基础。教学“长方体和正方体的认识”——切土豆其次，空间观念在发展的过程中逐步形成。再次，空间观念的形成需要自主探索与合作交流的氛围。51（二）一般几何图形的认识1.影响小学生认识几何图形的因素（1）原有经验（2）图形的综合性与线性的文字表征相比，几何图形往往带有更多的相关或背景因素。在概念的形成过程中，一个常见的障碍是“把不重要但却是一般的特征看作为概念的重要特征”。由此导致的错误包括：①角必须有一条水平的射线；②直角是指向右边的；52（3）视觉信息的表征小学生最初是以视觉辨认几何图形，而不是用形体特征去分析，因此视觉信息的表征是影响小学生形体概念发展的一个重要因素。研究表明，大多数学生表达视觉信息都有一段困难时期，尤其当任务是由二维工具（如纸和笔）表达三维情景（如由小的砖块搭成的大楼）或反过来，这种维度上的差异会导致视觉上的“失真”，并引起直觉上的误解，如把正方体的上、下、左、右四个面看成是平行四边形。532.一般几何图形认识的教学策略（1）借助直观，逐步抽象，解释几何图形的基本特征（2）运用变式，多方理解，强化几何图形的基本特征（3）重视几何图形分类的价值54（三）特殊几何图形认识1.角的认识（1）角的形成与发展数学中角的概念可以分成以下三个方面来说明：①角是一双定出两个方向间的差量之射线；②角是自同一端点射出的两射线围出的一个平面区域；③角是一射线绕其端点旋转一个程度的量。55小学阶段，角的认识内容包括：初步认识角，了解直角、锐角、钝角、平角和周角，以及了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。56（2）认识角的教学策略①设计层次性活动，建立角的表象找角活动。摸角活动。发明角活动。临摹角活动。57②提供多样化的角，加深对角的理解③理解角的概念要与角的大小、度量、画法、分类紧密结合起来582.平行的认识（1）平行的概念欧几里得：平行线是同一平面内的直线向两个方向无限延长，不论哪个方向都不会相交。①永不相交。②等距离。③在同一平面内，同时垂直于第三条直线的两条直线，此两条直线会互相平行。59（2）平行概念教学的策略①借助学生的生活经验，促进平行意义的理解②增强变式图形练习，强化平行概念的掌握③纵横交错，组建知识体60

（五）识图和作图技能教学1．识图技能小学生识图技能可以分为相互关联的3个二级子项：图形形状、位置关系和度量关系。①对图形形状的识别——直线型（三角形、四边形及多边形等）；曲线型（圆及扇形等）。②对图形位置关系的识别——直线型（平行、相交、垂直等）。③对图形度量的识别——长度、角度、面积、大小关系的辨认等。612.作图技能运算、作图、推理是三种基本的数学活动，因此“能算、会作图和会推理”是三种基本的数学技能。62

二、测量（一）长度测量我国小学“图形与几何”中关于长度测量的教学内容，包括对毫米、厘米、分米、米、千米的认识，以及简单计算，量线段的长度和画线段(限整厘米)。63（二）面积测量在小学阶段，我们主要讨论平面图形的面积。有关面积的概念，在数学教材中一般采用如下几种描述方式：①平面上一个封闭图形所包围部分的大小；②物体的表面或围成的平面图形的大小；③度量平面或曲面上一块区域的大小。64数学家给出的面积概念是：所谓平面多边形的“面积”，是指使每一多边形跟满足下列条件的一个量相对应：①两个全等的多边形有相同的面积，不论它们在空间所占的位置如何；②两多边形(没有任何公共内点)之和的面积，等于这两个多边形的面积之和；③约定边长等于单位长度的正方形作为面积的单位。65（三）体积测量体积是对“物体”大小的量度，凭直觉就能理解。在数学教材中写道：“物体所占空间的大小，叫做物体的体积”，这并不是严格的定义，只是一种解释，对学生理解“体积”其实没有多少帮助。因为什么是“空间”，比体积更难懂，有可能会越说越糊涂。实际上，我们要做是告诉学生，物体运动后体积不变，不重叠的两物体之并的体积是原来两物体的体积之和，A包含B则A的体积比B大等等体积的特征。这是度量物体体积的基本依据。66三、图形的运动目前世界各国几何课程的一个普遍现象是：特别重视变换和对称思想，许多国家从小学一年级开始涉及各种图形变换。67（一）“图形的运动”相关概念1．平移在平面中，将一个图形沿某一方向移动一定的距离得到另一个图形，这样的图形变换称作平移。其基本特征是不改变图形的形状和大小；由平移得到的图形上的所有点与原图上的所有的点不仅是一一对应的关系，而且对应点的连线方向相同、长度也相等，即平移前后图形对应点之间的连线相互平行且相等。因此，确定平移变换需要两个因素：一是方向，二是距离。682．旋转在平面内，将一个图形绕一点沿某个方向转动一个角度，得到另一个图形，这样的图形变换称作旋转。其基本特征是不改变图形的形状和大小；图形旋转前后对应点到旋转中心的距离都相等，各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度。因此，确定旋转变换需要的三个要素：旋