2026年高考物理大一轮复习讲义 第二章 第9课时 专题强化：动态平衡和临界、极值问题

第9课时专题强化：动态平衡和临界、极值问题目标要求1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题。考点一动态平衡问题动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题一个力(F1)恒定，另一个力(F2)方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sinθ，如图乙。例1(2024·山东泰安市新泰市校考)半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN。在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑的均匀小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的纵截面图。现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止。则在此过程中，下列说法中正确的是()A.MN对Q的弹力逐渐减小B.地面对P的摩擦力逐渐增大C.P、Q间的弹力先减小后增大D.Q所受的合力逐渐增大答案B解析对Q受力分析，F1表示P对Q的弹力，F2表示MN对Q的弹力，F2的方向水平向左保持不变，F1的方向顺时针旋转，如图所示由平行四边形的边长变化可知，F1与F2都逐渐增大，故A、C错误；对P、Q整体受力分析，由平衡条件得，Ff＝F2，由于F2不断增大，故Ff不断增大，故B正确；由于挡板MN缓慢移动，Q处于平衡状态，所受合力为零，故D错误。2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与△ACO几何三角形相似，则对应边比值相等。基本矢量图，如图所示基本关系式：mgH例2(2025·山东烟台市龙口市校考)如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有小滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用轻质钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力()A.大小不变 B.逐渐增大C.先增大后减小 D.先减小后增大答案A解析以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，G、FN的合力F合与F大小相等、方向相反。根据三角形相似得GAC＝F合AB＝F∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。例3(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>π2)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中()A.MN上的张力逐渐增大B.MN上的张力先增大后减小C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先增大后减小答案AD解析法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误。法二：正弦定理根据正弦定理mgsinθ3＝F1sinθ1＝F2sinθ2，mg与sinθ3保持不变，sinθ1变大，分析动态平衡问题的流程受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形考点二平衡中的临界、极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。(2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。2.极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。3.解题方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。(2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。例4如图所示，在质量为m的物块甲上系着两条细绳，其中长30cm的细绳另一端连着轻质圆环，圆环套在水平棒上可以滑动，圆环与棒间的动摩擦因数μ＝0.75。另一细绳跨过光滑轻质定滑轮与重力为G的物块乙相连，定滑轮固定在距离圆环50cm的地方，系统处于静止状态，OA与棒的夹角为θ，两绳夹角为φ。当G＝6N时，圆环恰好开始滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：(1)OA绳与棒间的夹角θ；(2)物块甲的质量m。答案(1)53°(2)1kg解析(1)当圆环恰好要开始滑动时，设此时水平棒对圆环的支持力大小为FN，细绳对圆环的拉力大小为FT，对圆环受力分析，如图甲所示，根据平衡条件有μFN＝FTcosθ①FN＝FTsinθ②联立①②解得tanθ＝1μ＝43，即(2)由题意，根据几何关系可知φ＝90°如图乙所示，以O为坐标原点建立xOy直角坐标系，对物块甲受力分析，根据平衡条件有Gcosθ＋FTsinθ－mg＝0③FTcosθ－Gsinθ＝0④联立③④解得m＝1kg。例5(2025·山东烟台市开学考)如图所示，质量m＝5.2kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10m/s2。求所需拉力F的最小值。答案226N解析方法一三角函数法设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcosθ＝μ(mg－Fsinθ)，整理得F＝μmgcosθ＋μsinθ＝μmg1＋μ2sin(β＋θ)(其中sinβ＝11＋μ2)方法二利用“摩擦角”法设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为α，则tanα＝FfFN＝再设FN与Ff的合力为F'。如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值即Fmin＝mgsinα②由①②得Fmin＝226N。在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tanα＝FfFN＝μ，则Fmin＝mgsinα，此时θ课时精练(分值：100分)1~7题每小题7分，共49分1.(2024·山东卷·2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于()A.12 B.33 C.2答案B解析根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有mgsin30°≤μmgcos30°可得μ≥tan30°=3故选B。2.(2025·山东菏泽市期中)如图所示，内壁光滑的半圆形轨道竖直固定放置，A为最低点，B为右侧最高点。现用力F将小球从A点沿轨道缓慢拉至B点，且保持力F的方向与竖直方向的夹角始终为45°。关于该过程，下列说法正确的是()A.力F先增大后减小B.力F一直增大C.轨道对小球的支持力先增大后减小D.轨道对小球的支持力一直增大答案B解析对小球进行受力分析如图所示，轨道对小球的支持力由竖直向上变为水平向左，整个过程中由动态平衡的图解法可知，支持力先减小后增大，力F一直增大。故选B。3.如图所示，橡皮筋一端连接在天花板上，另一端连接在滑轮上，与竖直方向夹角为θ；绕过滑轮的轻绳一端悬挂一重物，另一端施加水平力F，重物保持静止，现保持F大小不变，使其在竖直面内沿逆时针方向缓慢转过60°，不计滑轮质量及一切摩擦，橡皮筋始终在弹性限度内，此过程中，下列说法正确的是()A.θ变小，橡皮筋长度变短B.θ变小，橡皮筋长度变长C.θ变大，橡皮筋长度变短D.θ变大，橡皮筋长度变长答案C解析力F转动过程中，滑轮两边绳间的夹角变大，两边绳上拉力的合力减小，根据力的平衡可知，橡皮筋的弹力变小，长度变短，橡皮筋与竖直方向的夹角等于滑轮两边绳夹角的一半，因此θ变大，故选C。4.(2024·山东淄博市校考)如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将一瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。已知檩条与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是()A.瓦片共受到4个力的作用B.檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上C.缓慢减小檩条的倾斜角度θ时，瓦片与檩条间的摩擦力变大D.缓慢增大檩条间的距离d时，两根檩条对瓦片的弹力都增大答案D解析瓦片受重力、两根檩条的支持力和摩擦力，共5个力，A错误；檩条对瓦片作用力应为支持力与摩擦力的合力，方向竖直向上，B错误；摩擦力等于mgsinθ，减小檩条的倾斜角度θ时，摩擦力减小，C错误；檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于mgcosθ，当增大檩条间的距离d时，两弹力的夹角增大，则两弹力增大，D正确。5.(2024·山东济宁市期末)如图所示，用一轻绳将光滑小球P系于粗糙竖直墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一矩形物块Q，整体处于静止状态。略微改变绳子的长度，P、Q仍然均处于静止状态，则下列相关说法正确的是()A.P、Q两物体都受3个力作用B.若绳子缓慢变短，墙壁对Q的支持力将减小C.若绳子缓慢变短，绳子的拉力将变大D.若绳子缓慢变短，Q受到的静摩擦力将增大答案C解析由于小球P光滑，P、Q之间没有摩擦力作用，则小球P受到重力、Q的支持力和绳子拉力，共3个力作用；物块Q受到重力、P的压力、粗糙墙壁的支持力和摩擦力，共4个力作用，故A错误；若绳子缓慢变短，绳子与竖直方向的夹角θ变大，以小球P为研究对象，根据受力平衡可得FTcosθ=mPg，FTsinθ=FNQ，可得FT=mPgcosθ，FNQ=mPgtanθ，可知绳子的拉力将变大，Q对P的支持力变大；以物块Q为研究对象，根据受力平衡可得FN墙=FNP=FNQ，Ff=mQg，可知墙壁对Q的支持力将变大，Q受到的静摩擦力不变，故C正确，6.如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中()A.绳子的拉力逐渐增大B.该健身者所受合力逐渐减小C.该健身者对地面的压力逐渐减小D.该健身者对地面的摩擦力逐渐增大答案D解析由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有FTsinθ+FN=Mg，又有FT=mg，可得FN=Mg-mgsinθ，在水平方向，则有FTcosθ=Ff，当从B缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确。7.(2025·山东济宁市开学考)一轻质杆两端分别固定有质量均为m的小球A、B，两小球由细线OE、FC悬挂于水平天花板及竖直墙壁上，如图所示。OE和FC的拉力分别用F1和F2表示，初始时，F1与竖直方向的夹角θ=30°，F2水平，重力加速度为g。现保持A球位置不变，将细线FC的C端缓慢上移至FC与水平方向成α=60°角的位置的过程中，下列说法正确的是()A.F1一直减小且减小了mgB.F2一直减小且减小了mgC.F2先减小后增大，其最小值为12D.轻杆的弹力一直减小，其最小值为33答案D解析取两小球及轻杆整体为研究对象，整体受重力2mg、细线OE的拉力F1及细线FC的拉力F2作用处于平衡状态。此三力满足图甲所示关系，当C端缓慢上移时，由图知细线OE的拉力一直减小，最初其大小为F1=2mgcos30°=433mg，移动后其大小为F1'=2mg2cos30°=233mg，减小了233mg，故A错误；由图甲知细线FC的拉力先减小后增大，其最小值为F2min=2mgsin30°=mg，故B、C错误；取A球为研究对象，其所受重力、细线OE的拉力F1及轻杆的弹力F满足图乙所示关系，因为末态时OE的拉力大小为233mg=8~11题每小题10分，共40分8.(多选)(2024·山东聊城市校考)如图，一斜面粗糙的斜面体置于粗糙地面上，斜面顶端装有一光滑轻质定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，M与滑轮间细绳与斜面平行，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M与斜面体始终保持静止，则在此过程中()A.水平拉力的大小可能保持不变B.M所受细绳的拉力大小一定一直增大C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增大D.斜面体所受地面的摩擦力一定增大答案BD解析方法一图解法对N进行受力分析，因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力FT是一对平衡力，在力的矢量三角形中(如图甲所示)可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsinθ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNg<mMgsinθ，则M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大，选项C错误；对整体受力分析，可知斜面所受地面摩擦力等于水平拉力F，一定增大，选项D正确。方法二解析法以物块N为研究对象，受到重力G、水平拉力F和细绳的拉力FT，设细绳与竖直方向的夹角为α，如图乙所示，根据平衡条件可得F=Gtanα，FT=Gcosα，随着α的增大，F和FT都增大，故A错误，B正确；对于M，受重力GM、支持力FN、绳的拉力FT以及斜面可能对它的摩擦力Ff，如果开始摩擦力方向沿斜面向上，如图丙所示，则有FT+Ff=GMsinθ，当FT不断增大的时候，Ff减小；当FT>GMsinθ时，有FT=GMsinθ+Ff，随着FT的增大，Ff将增大，所以沿斜面的摩擦力Ff可能先减小后增大，C错误；对整体受力分析，可知斜面体所受地面摩擦力等于水平拉力F，一定增大，选项9.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点。设杆对重环的弹力大小为FN，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中()A.F逐渐增大，FN逐渐增大B.F逐渐增大，FN先减小后增大C.F先减小后增大，FN逐渐增大D.F先减小后增大，FN先减小后增大答案B解析由题意知，轻绳对重环的拉力和杆对环的弹力的合力与重力等大反向，受力分析并构建力的矢量三角形如图所示，由图可知，在拉力到达竖直方向前，与竖直方向的夹角越来越小，拉力F增大，FN减小，拉力经过竖直方向后，与竖直方向夹角又逐渐变大，拉力F继续增大，FN也增大，B正确。10.小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的最大拉力为0.6mg，g为重力加速度，石墩与水平地面间的动摩擦因数为33，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是(A.无论θ取何值，小李都不可能拖动石墩B.小李能拖动石墩，且当θ=π3C.小李能拖动石墩，且当θ=π6D.小李能拖动石墩，且当θ=π4答案C解析对石墩进行受力分析如图所示Fcosθ=μFNFN+Fsinθ=mg解得2F(32cosθ+12sinθ)即F=mg2sin(π3+θ)，可解得，当θ=π6时，F最小为0.5mg11.(多选)(2025·山东菏泽市段考)如图所示，一倾角θ=30°的斜面体固定于水平地面上，一质量m=1.0kg的小物块恰好能够静止于斜面上。若给物块施加一平行于斜面且与斜面内的水平虚线成α=60°角的推力F，在推力F由0逐渐增大的过程中，小物块始终保持静止，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是()A.小物块与斜面之间的动摩擦因数为3B.小物块所受的静摩擦力逐渐减小C.小物块所