机器人仿真、控制与应用 课件 第六章：操作臂动力学

第六章：操作臂动力学6.2动力学分析的基本方法——拉格朗日法拉格朗日法的基础是系统能量对系统变量及时间的微分。拉格朗日函数：

K

是系统动能，P

是系统势能。拉格朗日法针对直线运动和旋转运动，分别有：

其中Fi是产生线运动的所有外力之和；Ti是产生转动的所有外力矩之和，xi和θi是系统变量。

6.1机器人动力学的概念为使机器人连杆加速，驱动器必须有足够大的力和力矩来驱动机器人连杆和关节，以使它们能以期望的加速度和速度运动，最终达到期望的位置。动力学分析用来计算关节力矩与惯量、位置、速度和加速度等的关系，并以这些方程为依据，结合机器人的外部载荷，确定驱动器所需提供的力矩如果已知各关节的力矩，希望求解机器人各关节的运动状态（位置、速度、加速度），称之为机器人的正向动力学。已知机器人各关节的期望运动轨迹，希望求出各关节所需的驱动力矩，则称为机器人的逆向动力学。6.2动力学分析的基本方法——拉格朗日法采用拉格朗日法求解系统的动力学方程的一般步骤：选择合适的系统变量；推导系统的能量方程（系统的动能和势能）；建立拉格朗日函数；对拉格朗日函数求导。

6.2动力学分析的基本方法——拉格朗日法例6.1：分别用牛顿力学法和拉格朗日法推导图9中单自由度系统的动力学方程（忽略轮子的质量和转动惯量）。

6.2动力学分析的基本方法——拉格朗日法例6.1：1）牛顿力学法：根据小车在x方向的受力分析，其力学的平衡方程为：所以系统的动力学方程为：6.2动力学分析的基本方法——拉格朗日法例6.1：1）拉格朗日法：首先计算小车的动能和势能：所以有：所以：6.2动力学分析的基本方法——拉格朗日法例6.2：用拉格朗日法推导图中两自由度系统的动力学方程（忽略轮子的质量和转动惯量）6.2动力学分析的基本方法——拉格朗日法例6.2：对于一个两自由度系统，需要两个系统变量才能完备的描述系统的运动。取小车相对于其平衡位置的位移x和摆的角度θ为系统变量。1）首先计算系统的动能，包括车的动能K1和摆的动能K2。注意到摆的速度是小车的速度与摆相对于车的速度之和：6.2动力学分析的基本方法——拉格朗日法例6.2：于是有：2）计算系统的的势能，包括弹簧的弹性势能P1和摆的位势能P2，以θ=0°处为零势能线，有：6.2动力学分析的基本方法——拉格朗日法例6.2：3）拉格朗日函数为：

所以，对于变量x：6.2动力学分析的基本方法——拉格朗日法例6.2：对于变量θ：将两个运动方程写成矩阵的形式为：6.3单连杆机械人动力学分析以最简单的单连杆机器人为例，推导其动力学方程。如图所示，连杆的长度l，为匀质杆，其质量为m，关节的驱动力矩为T，θ为关节角，以顺时针为负，逆时针为正（图中姿态下θ>0）。6.3单连杆机械人动力学分析1）求连杆的动能：2）求连杆的势能：

以全局参考系0的x轴为零势能线，连杆的势能为：6.4二连杆机械人动力学分析平面二连杆机械手臂如图所示，连杆1长度l1，连杆2长度l2，均为匀质杆，其质量分别为m1和m2，转动惯量分别是I1和I2，关节1、2的驱动力矩分别为T1和T2，忽略关节摩擦的影响。坐标系0为全局参考坐标系，固定在基座上，坐标系1、坐标系2为关节坐标系，分别固结在连杆1和连杆2上并随它们一起运动。θ1和θ2为关节角，以顺时针为负，逆时针为正（图中姿态下θ1>0，θ2＜0）。6.4二连杆机械人动力学分析1）求总的动能：6.4二连杆机械人动力学分析2）求总的势能：

以全局参考系0的x轴为零势能线，系统总势能为：3）求拉格朗日函数：6.4二连杆机械人动力学分析4）基于拉格朗日函数列写动力学方程：6.4二连杆机械人动力学分析4）基于拉格朗日函数列写动力学方程：6.4二连杆机械人动力学分析写成矩阵的形式为：6.6单连杆机器人ADAMS/Simulink动力学仿真分析

期望单连杆机器人关节在2s内由0°转动45°，初始和终止的角速度均为0。采用三次多项式轨迹规划方法，可以得到期望的关节转角、角速度和角加速度函数为：要求计算实现该轨迹所需的关节转矩。该问题是已知机器人关节的运动轨迹，反求关节所需的驱动力矩，是机器人的逆向动力学问题。6.5机器人动力学方程的一般形式

式中：惯量矩阵科氏力离心力矩阵重力矩阵6.6单连杆机器人ADAMS/Simulink动力学仿真分析

创建系统变量和输入对象

6.6单连杆机器人ADAMS/Simulink动力学仿真分析

修正关节转矩变量表达式关节的转矩与连杆绕旋转轴的转动惯量有关，连杆是三维实体，其绕过质心的三个轴线的转动惯量可由下式计算：

6.6单连杆机器人ADAMS/Simulink动力学仿真分析

修正关节转矩变量表达式根据平行移轴定理，我们就可以计算出连杆绕关节轴线的转动惯量：

1.7777*(VARVAL(ddTHETA1_r)/180*PI)+1/2*5.19635*9.80*1*COS(VARVAL(THETA1_r)/180*PI)6.6单连杆机器人ADAMS/Simulink动力学仿真分析

关节角度、角速度和角加速度曲线关节转矩曲线6.6单连杆机器人ADAMS/Simulink动力学仿真分析

期望角度轨迹与实际角度轨迹对比6.7基于递归牛顿—欧拉法的动力学方程

递归的牛顿—欧拉法（RecursiveNewton-EulerMethod）是一种高效的动力学计算方法，尤其适用于串联多刚体系统，牛顿方程和用于转动情况的欧拉方程一起，描述了机器人驱动力矩、负载