大学物理第3章-刚体定轴转动

分形图-----属于混沌学的一种自相似结构刚体力学研究性课题(课外作业）{范例4.4}共轴定滑轮系统的加速度和张力{范例4.9}质点与刚体的碰撞{范例4.10}双人滑冰运动员的拉手和旋转(动画)第三章刚体的定轴转动3-1-1刚体的运动平动刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题刚体在任何力的作用下不发生形变的物体刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.

转动问题：轮子边线上任一点的速度如何求？问题：轮子边线上任一点的速度如何求？A刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+3-1-2刚体对定轴的角动量质元对点的角动量为沿转轴Oz的投影为转动惯量刚体对Z轴的角动量刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。对于质量连续分布的刚体：（面质量分布）（线质量分布）转动惯量特点例1.计算质量为m，长为l的细棒绕一端的转动惯量。解：oxzdxdmxO平行轴定理mRJz平行轴定理若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是Jc例2

均质细圆环的转动惯量。=mr2rmω00J22==rdmrdm例3.一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解：oRr例4.

计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）ro解：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：3-1-3刚体对定轴的转动定律刚体对定轴的角动量定理某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。当J转动惯量是一个恒量时，有或刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动定律例5.一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，求：水平位置的角速度和角加速度。解：coBA

[

例6

]

在图示的装置中求：2

m解：a2mmmmmg1212=++())()mmg(mm22211=++

()mrTmg21122=22+()mmm1mm++g122=2T)(m1mm+++mmm222例题7、分析滑轮受的力矩是由摩擦力产生的T2T1N1f1Ni-1Nifimim1Nnfnm1m2mimn例题8:如图求圆盘从静止开始转动后，它转过的角度和时间的关系。对轮：解：对m:例9.一质量为M＝2kg，半径R=0.1m的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为m=5kg的物体。其初角速度

0＝10rad/s,方向垂直向里。（１）圆盘的角加速度的大小；（２）角速度＝0时，物体上升的高度；（３）当物体回到原来的位置时，圆盘的角速度的大小。mgmMmT

解mgmMmT（２）物体上升的高度为（３）方向垂直向外mgmMmT同类问题拓展例10、如图，两个匀质圆盘同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑轴转动，对转轴的转动惯量为J＝4.5mr2,大小盘都绕有绳子，绳子下端都挂质量为m的重物，求盘的角加速度？

mmr2rT2T1a2a1mgmg3-1-4刚体对定轴的角动量守恒定律刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量守恒定律当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。说明1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。2.几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角动量守恒同类问题拓展—系统角动量守恒角动量定理拓展—进动现象例11

、对一个绕固定水平轴O匀速转动的圆盘，沿如图所示的同一水平直线从相反方向入射两颗质量相同、速率相等的子弹，则子弹射入后，转盘的角速度将如何变化？例12、如图质量为M的匀质强细棒可以在竖直平面内绕通过其中心O的水平轴转动，开始时细棒静止在水平位置。一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的端点。设小球与棒作为弹性碰撞。求碰撞后，小球的回跳速度V以及棒的角速度是多少？llou

例

13质量很小长度为l

的均匀细杆,可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率

垂直落在距点O为

l/4

处,并背离点O

向细杆的端点A

爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?解小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒由角动量定理3-1-5力矩的功力矩对刚体所作的功：力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积3-1-6刚体的定轴转动动能和动能定理zmi第i个质元的动能：整个刚体的转动动能：设在外力矩M的作用下，刚体绕定轴发生角位移d

元功转动定律刚体绕定轴转动的动能定理合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。解

[

例14]

一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：四.定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：刚体重力势能：若A外+A内非=0

则Ek+Ep=常量。ChchiEp=0）θLL22解

[

例

15]

一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：例16

、一个作定轴转动的轮子，除受到轴承的恒定摩擦力矩Mr外，还受到恒定外力矩M=20N.m的作用，轮子对轴的转动惯量J=15Kg.m2,在t=10秒内轮子的角速度由0=0增大到=10rad/s,则Mr=

？例17、一个作定轴转动的轮子，对轴的转动惯量为J，t=0时刻角速度为

0，此后飞轮在阻力矩M的作用下经历制动过程，阻力矩M与角速度平方成正比，比例系数为K>0.从开始制动到=0/3时所经历的时间t=？例18电风扇在开启电源后，经t1时间达到了额定转速，此时相应的角速度为

0

，当关闭电源后，经过t2时间风扇停转．已知风扇转子的转动惯量为J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，求电机的电磁力矩．解例19.一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m，绳下端挂一物体，物体所受重力为G,滑轮的角加速度为β1，若将物体去掉而以与G相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β2

将(A)

不变(B)

变小(C)

变大(D)

无法判断Gβ1β2RR解选（C）FT’GFTGβ1β2RR例20.一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为

o，绕中心o旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为

）or解drRordrR例

、一长为l，质量为M的杆可绕支点o自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。解：角动量守恒：机械能守恒：oalv30°{范例4.8}直杆自然滑倒的规律---研究性课题如图所示，长为2l，质量为m的均匀杆，在光滑水平面上由竖直位置自然倒下，杆的角速度和角加速度以及质心的速度和加速度与角度θ有什么关系？角度与时间有什么关系？杆的角速度和角加速度以及质心的速度和加速度与时间有什么关系？[解析]杆自然滑倒时，受到重力mg和水平面的支持力N。设t时刻质心的坐标为yC=lcosθ，负号表示速度的方向向下。由于没有水平外力，所以质心只有竖直位移。θAO2lyω取水平面为势能零点，由机械能守恒定律可得其中J为杆绕质心的转动惯量：Jc=ml2/3。角速度为θAO2ly当θ=π/2时可得直杆落地角速度质心速度为直杆落地的质心速度为角速度两边平方再对时间t求导数所以角加速度为直杆落地的角加速度为αT=3g/4l。质心加速度为负号表示加速度的方向向下。直杆落地的质心加速度为acT=-3g/4。θAO2ly角速度和质心速度随角度的增加而增加。质心加速度随角度的增加先增后减，中间有一个极大值。但是角加速度随角度的增加先增加，再减少，然后再增加，中间分别有一个极大值和极小值。角度随时间的变化虽然不是直线增加的，但却是单调增加的，所以角速度和角加速度等物理量随时间的变化规律和这些物理量随角度的变化规律是相似的。{范例4.5}均匀圆形物体从斜面滚下时的质心速度一均匀圆形物体，质量为m，半径为R，绕质心的转动惯量为JC。当物体沿高为h(h>>R)的斜面从静止开始向下做无滑动的滚动时，求物体运动到斜面底下的质心速度。[解析]如图所示，物体受到重力G、斜面的支持力N和摩擦力f。取沿斜面向下的方向为正。设斜面倾角为θ，则质心运动方程为根据质心转动定理可列方程由于物体做纯滚动，因而有aCαfmgNCh解方程组得斜面长度为s=h/sinθ，物体滚下斜面时质心的速度为圆形物体的转动惯量越大，滚到斜面低下的质心速度就越小。aCαfmgNCh[讨论]1.圆环绕质心的转动惯量为JC=mR2，质心速度为2.圆柱体绕质心的转动惯量为JC=mR