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文档简介

勾股定理的逆定理R·八年级数学下册活动一:故事引入,自主探究探究点1勾股定理的逆定理

类似古埃及人画直角的故事,我们准备三根绳子来模仿操作,看看能否得到和古埃及人相同的结果.

(1)让一根绳子的一端与0刻度线重合,分别在3cm,7cm,12cm处做标记,得到长度分别为3cm,4cm,5cm的三段,然后以这三段为边围成一个三角形,量量看是不是直角三角形.是直角三角形

(2)

类似(1)的操作,以2.5cm,6cm,6.5cm和4cm,7.5cm,8.5cm的三段为边分别围成一个三角形,量量看是不是直角三角形.

(3)结合上面的操作,想想学过的勾股定理,猜想一个三角形的三边满足什么关系时,这个三角形就是直角三角形,用命题形式表述.如果三角形的三边长

a,b,c

满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.3cm,4cm,5cm2.5cm,6cm,6.5cm4cm,7.5cm,8.5cm下面命题的题设、结论分别是什么?命题2

如果三角形的三边长

a,b,c满足

a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.探究点2互逆命题和互逆定理命题1

如果直角三角形两直角边长分别为

a,b,斜边长为

c,那么

a2+b2=c2.题设结论题设结论题设A结论B①题设B结论A②原命题逆命题互逆命题

我们把像这样,题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.

我们把像这样,题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.ABCabc①

如图①,已知:在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,并且

a2+b2=c2,怎么证明△ABC

是直角三角形呢?

如图②,画一个Rt△A′B′C′中,使B′C′=a,A′C′=b,∠C′=90°.△ABC

与△A′B′C′全等吗?可以说明△ABC是直角三角形吗?A′B′C′ab②互逆定理根据勾股定理,A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2.∴A′B′

=c.在△ABC和△A′B′C′中,BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′,∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形.ABCabcA′B′C′ab①②

如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.定理:内错角相等,两直线平行;逆定理:两直线平行,内错角相等;互为逆定理归纳总结

勾股定理是正确的,其逆命题也是正确的,是不是说明原命题成立,其逆命题一定成立呢?有没有反例说明?

不一定.比如命题“对顶角相等”成立,而它的逆命题“如果两个角相等,那么这两个角是对顶角”却不成立.例1判断由线段

a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.解:(1)因为152+82=225+64=289,172=289,即152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.(2)因为132+142=169+196=365,152=225,即132+142≠152,根据勾股定理,这个三角形不是直角三角形.

像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.1.判断由线段

a,b,c

组成的三角形是不是直角三角形:

(1)a=7,b=24,c=25;∵a2+b2=72+242=49+576=625,c2=252=625,∴a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.【选自教材P34】(2)a=40,b=50,c=60;∵a2+b2=402+502=1600+2500=4100,c2=602=3600,∴a2+b2≠c2.∴这个三角形不是直角三角形.【对应训练】2.有下列4组数:

①5,12,13;

②1,2,4;

③32,42,52;

④0.3,0.4,0.5.其中,勾股数有(

A

A.1组B.2组C.3组

D.4组3.说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗?(1)两条直线平行,内错角相等;(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等;其逆命题为“内错角相等,两直线平行”;这个命题成立.其逆命题为“如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等”;这个命

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