2024-2025学年高中数学复习课二推理与证明教案含解析北师大版选修1-2

PAGEPAGE1复习课(二)推理与证明eq\a\vs4\al([对应学生用书P43])合情推理近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新实力．eq\a\vs4\al([考点精要])1．归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤[典例](1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P­ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.(2)视察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，……，据此规律，第n个等式可为_________________________________．[解析](1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).(2)等式的左边的通项为eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，前n项和为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；右边的每个式子的第一项为eq\f(1,n＋1)，共有n项，故为eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n).[答案](1)eq\f(1,27)(2)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)[类题通法](1)用归纳推理可从详细事例中发觉一般规律，但应留意，仅依据一系列有限的特别事例，所得出的一般结论不确定牢靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思索，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相像甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．eq\a\vs4\al([题组训练])1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，其次个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋12．若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，则Sm－n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn，(m，n∈N*，m≠n)，则Tm－n＝1综合法与分析法(1)综合法与分析法是高考重点考查内容，一般以某一学问点作为载体，考查由分析法获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程．(2)理解综合法与分析法的概念及区分，驾驭两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便娴熟运用两种方法解题．eq\a\vs4\al([考点精要])(1)综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法．(2)分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来运用，用分析法证明数学问题时，要留意书写格式的规范性，经常用“要证(欲证)……”“即要证……”“只需证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．[典例]设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.[证明]法一：综合法因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2eq\r(ab)，eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，ab≤eq\f(1,4)，所以eq\f(1,ab)≥4，又eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥4，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8(当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立)．法二：分析法因为a>0，b>0，a＋b＝1，要证eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.只要证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq\f(a＋b,ab)≥8，只要证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(1,a)))≥8，即证eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.也就是证eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)≥4.即证eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，由基本不等式可知，当a>0，b>0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立，所以原不等式成立．[类题通法]综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是干脆证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法简洁探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清楚，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．eq\a\vs4\al([题组训练])1．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c).证明：要证eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c)，只需证(eq\r(d)＋eq\r(a))2＜(eq\r(b)＋eq\r(c))2，即a＋d＋2eq\r(ad)＜b＋c＋2eq\r(bc)，因a＋d＝b＋c，只需证eq\r(ad)＜eq\r(bc)，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c)成立．2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对随意的a，b∈R有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)证明：f(0)＝1；(2)证明：对随意的x∈R，恒有f(x)>0.证明：(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.(2)由已知当x>0时，f(x)>1，由(1)得f(0)＝1，故当x≥0时，f(x)>0成立．当x<0时，－x>0，所以f(－x)>1，而f(x－x)＝f(x)f(－x)，所以f(x)＝eq\f(1,f－x)，可得0<f(x)<1.综上，对随意的x∈R，恒有f(x)>0成立.反证法(1)反证法是证明问题的一种方法，在高考中很少单独考查，常用来证明解答题中的一问．(2)反证法是间接证明的一种基本方法，运用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出冲突．eq\a\vs4\al([考点精要])1．运用反证法应留意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出冲突结果，其推理过程是错误的．2．一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简洁、更详细、更明确；(2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的确定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用干脆证明比较困难，往往用反证法．[典例](1)否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数(2)已知：ac≥2(b＋d)．求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．[解析](1)自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D(2)证明：假设两方程都没有实数根．则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知冲突，故原命题成立．[类题通法]反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题确定成立来进行证明的，在运用反证法时，必需在假设中排列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．eq\a\vs4\al([题组训练])1．已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝2x2－2x＋eq\f(1,2)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋3≥3，两者冲突，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．证明：假设方程f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＋c＝0，∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数冲突；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数冲突．综上可知方程f(x)＝0无整数根．1．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的大前提是()A．增函数的定义B．函数y＝x3满意增函数的定义C．若x1<x2，则f(x1)<f(x2)D．若x1>x2，则f(x1)>f(x2)解析：选A依据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特别的推理，所以函数y＝x3是增函数的大前提应是增函数的定义．2．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．an＝3n－2 B．an＝n2C．an＝3n－1 D．an＝4n－3解析：选B求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.3．在平面直角坐标系内，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ca)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．ax＋by＋cz＝1解析：选A类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是()A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，解除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，解除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，解除C选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则eq\f(AG,GD)＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则eq\f(AO,OM)＝()A．1 B．2C．3

D．4解析：选C如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)⇒r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3.7．视察下图，可推断出“x”处应当填的数字是________．解析：由前两个图形发觉：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.答案：1838.如图，圆环可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×eq\f(R＋r,2).所以圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×eq\f(R＋r,2)为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，若将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．解析：平面区域M的面积为πr2，由类比学问可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r的圆为底面，以圆心为O、半径为d的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.答案：2π2r2d9．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，依据这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是.解析：分别视察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，所以S7＝2×72－7＝91.答案：9110．已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x＋y|≤|1＋xy|.证明：要证|x＋y|≤|1＋xy|，即证(x＋y)2≤(1＋xy)2，即证x2＋y2≤1＋x2y2，即证(x2－1)(1－y2)≤0，因为|x|≤1，|y|≤1，所以x2－1≤0,1－y2≥0，所以(x2－1)(1－y2)≤0，不等式得证．11．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2).通过视察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：__________________________＝eq\f(3,2)，(*)并给出(*)式的证明．解：一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).证明如下：左边＝eq\f(1,2)(1－cos2α)＋eq\f(1,2)[1－cos(2α＋120°)]＋eq\f(1,2)[1－cos(2α＋240°)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[c