第3讲 空间几何体中平行于垂直 -《温故知新》2025-2026学年高一数学下学期复习课（人教A版2029必修第二册）（原卷版）

第3讲空间几何体中的平行与垂直考点一线面平行的证明【例1-1】（24-25山西）如图，多面体中，，底面是矩形，为的中点，证明：平面【例1-2】（2025·四川达州）如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，求证：平面【例1-3】（24-25邢台）如图，在正四棱锥中，，是的中点，点在线段上，且，点在线段上（不与点重合），与交于点，证明：平面【例1-4】（2025湖南）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面．【例1-5】（2025江苏）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形.若分别是棱的中点，证明：平面；【变式】1．（24-25山东威海）如图，在以为顶点的多面体中，M为的中点，证明：平面

2．（24-25高一下·河南·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，，求证：平面BMN3（2025·安徽黄山）如图，四棱锥中，，，，点在棱上，当时，求证：平面考点二面面平行的证明【例2】（2025·河南）如图，在四棱锥中，，，，，若，，求证：平面平面【变式】1．（24-25安徽）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，，证明：平面平面2．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证：平面平面3．（24-25高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面．考点三线与平面平行的性质定理的应用【例3-1】（2025·北京延庆）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F，求证：【例3-2】（2025·新疆）如图，和都垂直于平面，且，是线段上一点，若平面，证明是的中点【例3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度．【变式】1（2025·山东淄博）如图，在四棱锥中，，，点在上，且，点在线段上，且平面，证明：为线段的中点2.（24-25江西）如图所示的几何体是由直三棱柱（侧棱垂直于底面）被一个不平行于底面的平面所截得的，已知，，是线段上的一点，平面，求的长3.．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面，求证：为线段中点4（2025高三·全国·专题练习）已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：．考点四线面垂直的证明【例4】（2025江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点.(1)求证：平面；(2)求证：.【变式】1．（24-25上海）棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，证明：平面2．（2025·湖南长沙）如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且，求证：平面

3．（24-25河南焦作）如图，在三棱台中，平面，，，，点D为中点，点E在上，且，证明：平面考点五线线垂直【例5】（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且，证明：【变式】1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知平面平面，平面，于点．(1)判断与的关系；(2)求证：．2．（2025·山西太原）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形，求证：

3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证：(1)平面；(2).考点六面面垂直【例6】（2025·河北衡水）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合，证明：平面平面

【变式】1．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证：(1)直线平面；(2)平面平面．2．（24-25上海虹口）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，求证：平面平面3.．（2025·上海长宁）如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点，求证：平面平面4．（2025·河北保定）在四棱锥中，底面是菱形，，若，证明：平面平面考点七平行垂直中的动点问题【例7-1】（浙江省A9协作体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且．(1)求正四棱锥的体积；(2)若为的中点，证明：平面；(3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由．【例7-2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由【变式】1．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图，四棱锥中，底面为正方形，点是棱上一点不包括端点，点是棱的中点．(1)当为棱的中点时，判断四边形是什么图形？(2)是否存在一点，使得面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．2．（2025北京）如图，在等腰直角三角形中，，，为的中点，分别为边上一点，满足．将分别沿着翻折成，满足在平面的同一侧，面面．(1)证明：共面；(2)在线段上是否存在一点（异于端点），满足平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；3．（2024·山西·模拟预测）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点.

(1)证明：平面；(2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直请证明；如果不垂直，请说明理由.4．（2025湖北）如图，正三棱柱中，，点为的中点.(1)证明：平面平面(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.考点八平行、垂直判断于性质定理的辨析【例8-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【例8-2】（2024·山东济南·二模）已知正方体分别是的中点，则（

）A．平面B．平面C．平面D．平面【变式】1．（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若m，n是异面直线，，，，，则2．（24-25高一下·重庆·期中）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3.（2025·天津）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4.（2025·甘肃兰州）已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则单选题1．（2025·四川达州）相交直线都在平面内，直线在平面内，则“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2025·天津河北）若，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则3．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（

）A． B． C． D．4．（2025·福建厦门）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（

）A． B． C． D．5．（24-25上海浦东新·阶段练习）如下四个正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的共有（

）个

A．1 B．2 C．3 D．4多选题6．（24-25高一下·浙江·期中）已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（

）A．平面B．四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则C．平面与平面的交线记为，则直线平面D．平面与平面的交线记为，则直线平面7．（2025·浙江温州）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（

）A． B．C．平面 D．平面8．（24-25高一下·浙江·期中）已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（

）A．平面B．四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则C．平面与平面的交线记为，则直线平面D．平面与平面的交线记为，则直线平面9．（2025·浙江温州）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（

）A． B．C．平面 D．平面解答题10．（2025·贵州毕节）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，求证：平面ACE11．（24-25安徽）四棱锥中，，，，为的中点，证明：平面12．（24-25河南洛阳）如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点，证明：平面

13．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点，求证：平面14．（24-25上海·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，分别是上的一点，且，，求证:平面

15．（24-25河南·阶段练习）在几何体中，为等边三角形，底面为等腰梯形，为的中点，记平面和平面的交线为，证明：直线平面16．（2025·浙江）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，M，N为别为棱PB，CD的中点，证明：平面

17．（2025·上海松江）已知梯形中，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点，求证：平面18．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)平面与侧棱相交于点，求的值．19．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．证明：；20．（24-25黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：；21．（24-25上海·阶段练习）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点．(1)若平面，求长度；(2)证明：平面；22．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．证明：平面平面.23．（2025湖南）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，(1)设分别为的中点，求证：平面；(2)求证：平面；24．（24-25河南许昌·期中）如图，棱长1的正方体．

(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面平面．25．（2025河北）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，.证明：平面平面.26．（2025·上海）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且.(1)求证：平面；(2)求证：平面；27．（2026四川）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点．(1)证明：平面．(2)证明：平面平面．27（24-25宁夏·期中）如图，直四棱柱中，.(1)求证：平面平面；(2)若，平面平面，判断的形状并证明.28．（24-25四川内江·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，为侧棱上的点，且．(1)证明：：(2)已知点是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面．29．（2025苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点．(1)求证：平面；(2)若为的中点，求证：平面．30．（2024全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．求证：平面平面；31．（2025江西）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，.证明：平面平面；

32．（24-25江苏南通·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点分别在上，且．(1)证明：平面；(2)若平面，求．33．（2025安徽）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，等边所在的平面垂