高一下学期期末考模拟卷（中等）- 《温故知新》2025-2026学年高一数学下学期复习课（人教A版2029必修第二册）（解析版）

高一下学期期末考模拟卷（中等）考试内容：必修第二册考试时间：150分钟单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2025·青海海东）已知向量，，若与垂直，则（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【解析】向量，，则，又与垂直，则，解得，，所以.故选：A2．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）记的内角的对边分别为.若的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知，，即，由正弦定理，，其中是外接圆半径，由于，两边约分后可得.故选：A3．（24-25高一下·广东广州·期中）若复数z满足（其中是虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得故选：C4．（24-25高一下·山西·期中）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（

）A．12 B．24 C．32 D．48【答案】D【解析】如图，是正四棱锥的高，所以，是斜高，由可得，所以，在中，，，所以，所以，所以，所以．故选：D5．（2025北京）通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（

）

A．B．估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36C．估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33D．估计夜间提供急诊时长的众数为14【答案】C【解析】对于A，由频率分布直方图的性质，可得，解得，所以A正确；对于B，估计夜间提供急诊时长的平均数为，所以B正确；对于C，第三四分位数为第75百分位数，因为，所以第三四分位数一定位于内，由，则估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为14，所以C错误；对于D，估计夜间提供急诊时长的众数为，所以D正确.故选：C.6．（24-25高一下·山西·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（

）A．不等边三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰钝角三角形【答案】C【解析】由正弦定理得，所以，又，所以．由，得，可化为，所以，所以，所以，所以是等腰直角三角形．故选：C.7．（2025·湖南）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】D【解析】由题意得：事件“”的情况有：共12种，所以．事件“为奇数”的情况有：共18种，所以；事件“”的情况有：共10种，所以；事件“”的情况有：共6种，所以.对于A，因，则与不独立，故A错误；对于B，因，则与不独立，故B错误；对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误；对于D，，则与相互独立，故D正确.故选：D.8．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（

）A．直线与NM是异面直线 B．C．平面 D．直线CP，，AM相交于一点【答案】C【解析】连接，点，，均在平面上，点不在平面上，所以与是异面直线，A正确．连接，因为，所以，B正确．平面，平面平面，因为CM与不平行，所以CM不平行于平面，C错误．连接，由，知共面，且平面平面，如图1，因为，所以.如图2，因为，所以，则两点重合，所以，，相交于一点，D正确．故选：C二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（24-25高一下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（

）A．已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底B．已知，，则在上的投影向量的坐标是C．若两非零向量，满足，则D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形【答案】BC【解析】对于A，因为，所以与不可以作为平面内所有向量的一个基底，故A错误；对于B，在上的投影向量的坐标为，故B正确；对于C，因为，所以，化简得，又，是非零向量，所以，故C正确；对于D，因为，，，所以，，所以，所以，所以不是锐角三角形，故D错误.故选：BC.10．（23-24高一下·广东东莞·期中）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（

）A．共有18个顶点 B．共有32条棱C．表面积为 D．体积为【答案】CD【解析】由图知该多面体有24个顶点，36条棱，AB错误；该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，则该多面体的表面积为，C正确；正八面体可分为两个全等的正四面体，其棱长为，过作平面于，连接，如下图：

由平面，且平面，得，正方形中，由边长为，则对角线长为，则，在中，，则，正八面体的体积为，切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为，所以该阿基米德多面体的体积为，D正确．故选：CD11．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（

）A．B．若的周长为，内切圆半径为，则C．若，，则有两解D．若，则外接圆的面积为【答案】ABC【解析】在中，由及正弦定理得，则，整理得，即，而，则，则，而，，解得，因此，A正确；对于B，若的周长为6，内切圆半径为，由，得，B正确；对于C，当时，满足，有两解，此时，即，有两解，C正确；对于D，由，得外接圆半径，此圆面积为，D错误.故选：ABC三、填空题(每题5分，4题共20分)12．（24-25高一下·江西·阶段练习）2025年，从春晚扭秋歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把高科技玩出了新花样儿.为紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自于不同公司的概率为.【答案】/0.6【解析】设从甲公司购买的3台记为，从乙公司购买的2台记为，从中任取2台的情况为共10种，其中这2台来自于不同公司的情况分别为，共6种，故概率.故答案为：13．（23-24高一下·广东东莞·期中）东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为米．（结果保留2位小数，参考数据：，）

【答案】50.76【解析】在中，由，，得，而，由正弦定理得，在中，，，所以塔高CD为约为50.76米.故答案为：50.7614．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为.【答案】【解析】因为，，且，则，利用正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，且，则，又因为，可得的外接圆半径为，可知点在优弧上运动（不包括端点），过外接圆圆心作，当点与点重合时，在方向上的投影最小，此时，，.根据数量积的几何意义可知：的最小值为.故答案为：.四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）15．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）已知，，分别是的内角，，的对边，且.(1)求;(2)若,且的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，，由正弦定理得:，则，即，即，由正弦定理得，即;（2）由，,得，则，得，由余弦定理得，即，整理得，即，解得，则，

所以的周长为.16（2025·云南昭通·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）.(1)求a的值；(2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）；(3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）.【答案】(1)(2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60(3)第70的分位数为75.83【解析】（1）由，解得.（2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x，因为，，故中位数位于内，则有，解得.所以中位数为67.69.这次数学考试的平均成绩为.（3）成绩小于70分所占的比例为，成绩小于80分所占的比例为，所以第70的分位数在内，所以第70的分位数为.17．（24-25重庆·阶段练习）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响.(1)分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率；(2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率；(3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，）【答案】(1)乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为；(2)；(3)23次.【解析】（1）记甲投篮一次命中为事件，乙投篮一次命中为事件，丙投篮一次命中为事件，依题意，，，则，，解得，所以乙投篮一次命中的概率为，丙投篮一次命中的概率为.（2）记甲、乙、丙各投篮一次恰有两人命中为事件，则，则，所以甲、乙、丙各投篮一次恰有一人命中的概率.（3）设乙投篮次，则至少有一命击中的概率为，由，得，两边取常用对数得，因此，则，所以乙至少要投篮次.18．（24-25高一下·天津津南·期中）如图，在三棱柱中，平面ABC，，D是BC的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)求直线AC与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】（1）在三棱柱中，连接交于O，连接OD，则O是的中点，又是的中点，，而平面，OD平面，所以平面.（2）由，是的中点，得，由平面，得平面，又AD平面，则，又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面，所以平面平面（3）在平面内过C作CE于E，连AE，由（2）知，平面平面，平面平面，则平面，是AC与平面所成的角，在直角中，令，则，，在直角中，，所以直线与平面所成角的正弦值为.19．（24-25高一下·浙