2024年高考数学考点分析与突破性讲练专题04函数基本性质理

PAGEPAGE1专题04函数基本性质考纲要求：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义；会运用基本初等函数的图像分析函数的性质。概念驾驭和解题上留意点：函数单调性是函数在其定义域上某区间上的局部性质，而函数奇偶性是函数在其定义域上的整体性质；求函数单调性，应先求定义域，在定义域上求单调区间；如有多个单调增（减）区间应分别写，不能用“∪”联结；易错警示：若函数在区间a,b上单调，则函数在此区间的随意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除留意各段的单调性外，还要留意连接点的取值；函数奇偶性常用结论：（1）、若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.（2）、假如函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(x).（3）、奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.（4）、y=f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)=-f(x+a)；f(x+a)是偶函数，则f(-x+a)=f(x+a)三、高考考题题例分析例1.（2024课标Ⅱ，10）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A． B． C． D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．例2.（2024课标Ⅱ，11）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满意f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50例3（2024天津，13）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．【答案】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．例4.【2024天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（）（A） （B） （C） （D）【答案】C【考点】指数、对数、函数的单调性例5【2024年高考北京理数】已知，，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】：A：由，得，即，A不正确；B：由及正弦函数的单调性，可知不肯定成立；C：由，，得，故，C正确；D：由，得，不肯定大于1，故不肯定成立，故选C.考点：函数单调性调性。 例6．【2024高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，；当时，；当时，.则f(6)=（）（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.函数基本性质练习（时间90分钟，满分100分）一、选择题（每题5分，共60分）1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝3－x B．y=xC．y＝log3x D．y＝－eq\f(1,x)B解析：由题知，只有y＝3－x与y＝x3的定义域为R，且只有y＝x在R2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是()A．[1,2] B．[－1,0]C．[0,2] D．[2，＋∞)A解析：f(x)＝|x－2|x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x＜2.))其图象如图，由图象可知函数的单调递减区间是[1,2]．3．已知函数f(x)＝|x-a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)D.解析：因为函数f(x)在(－∞，－1)上是单调函数，所以a≥1.4．下列函数中，值域为[0,1]的是()A．y＝x2 B．y＝cosC．y＝eq\f(1,x2＋1) D．y＝eq\r(1－x2)D解析：A中，x2≥0；B中，－1≤cosx≤1；C中，0＜eq\f(1,x2＋1)≤1；D中，0≤eq\r(1－x2)≤1，故选D.5．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝()A．－8 B．－7C．78 D．6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)对x∈R恒成立，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))＝()A．eq\f(1,2) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．1B解析：由题意得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)＝eq\r(2)，故选B.7．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a＜b＜0)上的值域为[－4,5]，则在区间[－b，－a]上()A．有最大值5 B．有最小值－5C．有最大值－4 D．有最小值－4B解析：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－4≤－f(x)≤5，∴－5≤f(x)≤4，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－5，f(x)max＝4，故选B.8．已知f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)＞f(3)，则x的取值范围是()A．11000,1 B．C．11000,1000 D．(0,1)∪(1C解析：由偶函数的定义可知，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，故不等式f(lgx)＞f(3)可化为|lgx|＜3，即－3＜lgx＜3，解得11000＜x＜10009．定义在[－2,2]上的函数f(x)满意(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为()A．[－1,2) B．[0,2)C．[0,1) D．[－1,1)10．已知函数f(x)x2+4x,x≥0x2-4x,x<0,若f(－a)＋f(aA．[－1,0) B．[0,1]C．[－1,1] D．[－2,2]C解析：因为函数f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.11．已知f(x)＝atanx＋beq\r(3,x)＋6，若f(lg3)＝2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．10 D．12C解析：因为f(x)＋f(－x)＝12，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝f(－lg3)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝12－f(lg3)＝10，故选C.12．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(8)＝eq\f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围为()A．(－1,4) B．(－2,0)C．(－1,0) D．(－1,2)A解析：[∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(8)＝f(8－9)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，∴eq\f(2a－3,a＋1)＜1，即eq\f(a－4,a＋1)＜0，解得－1＜a＜4.二、填空题（每题5分，共20分）13．函数f(x)＝log2(x2－4)的单调递减区间为________．14．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于随意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________.1解析：由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0.∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(2)－f(3)＝1.15．函数y＝2x+kx-3与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k(－∞，－6)解析：由于y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y＝2x+kx-3＝2x-3+6+kx-3＝2＋6+kx-3在(3，＋∞)上也是增函数，则有6＋k16．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝13x则f(1)，g(0)，gg(0)＞f(1)＞g(－1)三、解答题（每题10分，共20分）17．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,27]上的最小值.[解](1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则eq\f(x1,x2)>1，当x>1时，f(x)<0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(27)．由feq\b\lc\