2025秋初中数学九年级上册（沪科版 安徽专用）上课课件 22.3 相似三角形的性质

22.3相似三角形的性质1.掌握相似三角形中相应线段的比等于相似比.2.掌握相似三角形的周长比等于相似比.3.掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.4.进一步体会利用类比的思想研究相似图形与全等图形的方法，解决简单的实际问题.5.探究经历“试验、猜想、证明”的过程，感受几何命题的合理性，并通过证明确认命题正确，培养学生发现问题、解决问题的能力.类比全等三角形的研究方法，来研究相似三角形的性质

全等三角形相似三角形图形性质CABA'B'C'CABA'B'C'形状相同，大小相同，完全重合整体：角：对应角相等形状相同，大小不一定不同，不一定能重合整体：角：对应角相等线段：对应边相等对应边上的高线、中线相等对应角的角平分线相等线段：对应边成比例，都等于相似比对应边上的高线之比等于相似比吗？对应角的角平分线之比等于相似比吗？对应边上的中线之比等于相似比吗？在相似三角形中，对应边上的高线之比等于相似比吗？思路点拨：构造包含高线在内的相似三角形.A'B'C'D'ABCD

已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的高.求证：合作探究在相似三角形中，对应边上的高线之比等于相似比吗？证明：∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B′．又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴∠ADB=∠

A′D′B′．∴△ABD∽△A′B′D′．∴

．反思：证明过程反复依赖于相似三角形的判定与性质，强化对相似三角形判定与性质的综合应用.A'B'C'D'ABCD归纳总结相似三角形对应高的比等于相似比.符号语言：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比是k且AD⊥BC，A′D′⊥B′C′．∴．相似三角形对应中线的比和对应角平分线的比呢？合作探究

已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的中线.求证：A'B'C'D'ABCD证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B，

又∵AD，AD′分别为对应边BC，B′C′的中线，∴△ABD∽△A′B′D′.三角形对应中线的比等于相似比合作探究

已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的角平分线.求证：A'B'C'D'ABCD证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B，∠B′A′C′=∠BAC.又∵AD，A′D′分别为对应角的平分线，∴∠BAD=∠△B′A′D′.∴△ABD∽△A′B′D′.三角形对应角平分线的比等于相似比都等于相似比.相似三角形的性质定理1A'B'C'ABCD'DFF'EE'符号语言相似三角形对应高的比、对应中线的比∵△ABC∽△

A′B′C′，相似比是k，且AD、A′D′是对应边的高线，BF、B′F′是对应边的中线，CE、C′E′是对应角的角平分线，∴和对应角平分线的比归纳总结做一做两个相似三角形相似比是2∶5，其中一个三角形的一条高线为10，那么另一个三角形对应的高线长度是

.4或25分析：相似三角形的对应线段的比等于相似比.解：设另一个三角形的对应的高线长度是h，则解得，h=4或h=25.或

所以另一个三角形对应的高线长度是4或者是25.不确定是哪个三角形A'B'C'ABC思考相似三角形周长的比和面积的比分别与相似比有什么关系？已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，求两个三角形的周长比.解：∵

△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比是k，由等比性质，得即△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比k.

A'B'C'D'ABCD思考相似三角形周长的比和面积的比分别与相似比有什么关系？已知∶如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，求两个三角形的面积比.解：∵

△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比是k，根据三角形面积公式，得即两三角形的面积比等于相似比的平方k2.

∴其对应高的比等于相似比，即

归纳总结相似三角形的性质定理2相似三角形周长的比等于相似比.A'B'C'D'ABCD相似三角形的性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方.做一做已知两个相似三角形的一对对应边分别为32cm，12cm.求这两个三角形的周长比和面积比.相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.解：∵

两个三角形相似，且一对对应边分别为32cm，12cm，∴两个三角形的相似比为32∶12=

8∶3.∵相似三角形的周长比等于相似比，∴两个三角形的周长比是8∶3.∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴两个三角形的面积比是64∶9.典型例题例1如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在AB，AC上.求这个矩形零件的边长.ABCD80cm60cmSRPQ因为“两边之比为2∶1”，所以“矩形的长∶矩形的宽=2∶1”.要求的是矩形零件的边长，不妨设其宽为xcm，则长为2xcm.矩形的一条长边为PQ，可以试着找一下与之相关的相似三角形进行求解.例2如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在AB，AC上.求这个矩形零件的边长.ABCD80cm60cmSRPQ解：如图，矩形PQRS为加工后的矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为xcm，则PQ为2xcm.∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC.解这个方程，得x=24，2x=48.答：这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm.用相似三角形的性质定理1解决问题①找到对应的相似图形，并确定其相似比；②根据相似图形确定对应线段；③根据相似三角形的性质定理1计算.归纳总结典型例题例3如图，△ABC的面积为25，直线DE平行于BC分别交AB，AC于点D，E.如果△ADE的面积是9，求的值.ABCDE相似三角形面积的比等于相似比的平方.△ABC和△ADE和相似吗？如果两三角形相似，易得两三角形的相似比再结合等比的性质，易得AD与DB的比值解题关键典型例题例3如图，△ABC的面积为25，直线DE平行于BC分别交AB，AC于点D，E.如果△ADE的面积是9，求的值.ABCDE解：∵

DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.由等比性质，得典型例题例4如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为.求△DEF的边EF上的高和面积．ABCDEF用相似三角形的性质解决问题①找到对应的相似图形，并确定其相似比；②根据相似图形确定对应线段；③根据相似三角形的性质计算.①由“AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D”得△ABC∽△DEF，且相似比为AB∶DE=2∶1；②对应边有“AB与DE，AC与DF，BC与EF”；③计算.典型例题例4如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为.求△DEF的边EF上的高和面积．ABCDEF解：∵AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，∴△ABC∽△DEF，且其相似比为AB∶DE=2∶1.∴BC与EF是一对对应边.又有△ABC的边BC上的高为6，∴△DEF的边EF上的高为3.又有△ABC的面积为，∴△DEF的面积为.(1)如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角平分线的比等于多少？______。(2)相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，对应角平分线的比为______。3∶50.40.4(3)若两个三角形对应边之比为4∶3，则它们的对应高之比为________，对应中线之比为________。4∶34∶31.填空：2.已知：△ABC∽△

A′B′C′，BC=3.6cm，B′C′=6cm，AE是△ABC的一条中线，

AE=2.4cm，求△

A′B′C′中对应中线A′E′的长.解：∵

△ABC∽△

A′B′C′，且BC=3.6cm，B′C′=6cm，∴其相似比为3.6∶6=3∶5.根据相似三角形的性质，得解得A′E′=4.所以△

A′B′C′中对应中线A′E′的长4cm.3.两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：设较短的角平分线的长为xcm，它们的相似比为6∶8=3∶4.根据相似三角形的性质，得则较长的长为(42–x)cm.解这个方程，得x=18，42–x=24.答：这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.4.已知△ABC∽△A′B′C′，其相似比为3∶4.(1)△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为_______；(2)△A′B′C′的面积为64cm²，则△ABC的面积为______.32cm36cm²5.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，求：(1)△DEF的周长与△ABC的周长之比；(2)△DEF的面积与△ABC的面积之比.ABCFED△ABC和△DEF和相似吗？如果两三角形相似，易得两三角形的相似比解题关键相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的