数字信号处理实践与应用-MATLAB话数字信号处理（第2版） 课件 案例二十一 - 频率采样采出FIR滤波器

案例二十一——频率采样采出FIR滤波器内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤纯频率取样设计FIR数字滤波器频率取样基础上增加过渡点设计FIR数字滤波器思考题总结报告要求案例设置目的通过严格按照频率取样步骤设计FIR滤波器，深刻理解频率取样法的设计思想及设计方法，理解添加过渡点对滤波器指标的影响。相关基础理论设所希望得到的滤波器的理想频率响应为Hd(ej

)，在

取0～2π的范围内对Hd(ej

)等间隔取样N个点，且第一个取样点在

=0rad处，得到的频域离散取样记为H(k)，即（21.1）根据频域离散采样点H(k)可以确定待设计滤波器的系统函数H(z)或频率响应H(ej

)，即（21.2）（21.3）根据时域采样及恢复理论可知，这样得到的H(ej

)至少在N个取样点上与Hd(ej

)是完全一致的，即（21.4）H(ej

)在其他点上是否与Hd(ej

)一致，要取决于对Hd(ej

)进行频率采样得到H(k)的过程是否满足频率采样定理。如果Hd(ej

)对应的单位脉冲响应hd(n)是无穷长序列，或者说序列长度至少大于取样点数N，则频域采样必然产生失真，且采样的点数越少失真越大，H(ej

)在采样点以外其他点上与Hd(ej

)的一致性也就越差，或者说H(ej

)

对Hd(ej

)

的逼近度越差。相关基础理论为简单而有效地提高H(ej

)对Hd(ej

)的逼近程度，最常用的是在Hd(ej

)不连续点附近添加幅度过渡的采样点，这样虽然加宽了过滤带，但缓和了边界频率附近样点幅度的跃变程度，因而将有效地减少起伏振荡，提高阻带的最小衰减。增加过渡带采样点的个数m与阻带衰减

st的经验数据参见表21.1。若增加的过渡点个数为m，则过渡带宽度近似为2(m+1)π/N。通常滤波器设计指标中会直接或间接地给出过渡带宽Bt的要求，通过增加过渡点方式产生的过渡带也应符合指标要求，即

（21.5）当需要设计满足线性相位的FIR滤波器时，还必须注意采样值H(k)的幅度和相位一定要遵循线性相位滤波器四种不同的约束关系。对于两类四种情况的线性相位FIR滤波器而言，其频率响应都具有如下形式：（21.6）式中Hg(

)是幅频特性函数，是

的是函数；

(

)=－α

+β，α=(N―1)/2，β等于－π/2或0。m123

st44～54dB65～75dB85～95dB相关基础理论对H(ej

)在[0,2π)之间进行N个等间隔取样，且第一个采样点在

=0处，则有（21.7）式中Hg(k)是Hg(

)的N个离散采样值；

(k)是

(

)的N个离散采样值。对于第一类线性相位FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)满足偶对称，即h(n)=h(N―n―1)，对应的相频特性函数和幅频特性函数应满足：（21.8）（21.9）（21.10）此时，对相频特性函数和幅频特性函数采样得到的离散采样值应满足：（21.11）（21.12）（21.13）相关基础理论对于第二类线性相位FIR滤波器，h(n)满足奇对称特性，即h(n)=－h(N―n―1)，对应的相频特性函数和幅频特性函数应满足：（21.14）（21.15）（21.16）相频特性函数和幅频特性函数对应的离散采样值应满足：（21.17）（21.18）（21.19）相关基础理论综上，频率取样法设计线性相位FIR滤波器（Frequency-SampledFIRFilterDesign--SFD）的步骤归纳如下。SFDStep1：根据阻带最小衰减

st，参照表21.1所示经验数据，确定需增加的过渡带采样点个数m。SFDStep2：由过渡带宽Bt根据式（21.5）确定频域采样点数N（即滤波器的长度）。SFDStep3：构造希望逼近的第一类线性相位理想滤波器频率响应函数（21.20）其中Hd(ω)在通带内取常数1，在阻带内取常数0。SFDStep4：对Hd(ej

)进行频域采样，得（21.21）（21.22）并依据经验或累试的方法设置过渡带内样点的值，即修改式（21.22）中落入过渡带内的值。相关基础理论SFDStep5：对H(k)进行Ｎ点IDFT，得到第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应（21.23）SFDStep6：检验设计结果。计算h(n)的离散时间傅里叶变换，并验证其幅频响应是否满足阻带衰减指标。若不满足，则调整过渡带采样值，重复SFDStep5，直到满足指标。情境任务及步骤在频率取样法设计线性相位FIR数字滤波器时，通常设理想低通滤波器的幅频特性函数定义为（21.24）一、纯频率取样设计FIR数字滤波器以逼近理想低通滤波器为例，用纯频率取样设计法设计FIR数字滤波器。（1）取N=15，写出

(

)在N=15的具体表达式，由式（21.6）和式（21.24）确定H(ej

)，并逐点确定Hg(

)和

(

)在

=2kπ/N处的值，k=0,1,…,14，得到Hg(k)及

(k)。（2）根据式（21.7）确定滤波器频率响应的离散采样值H1(k)。（3）根据式（21.23）确定滤波器的单位脉冲响应h1(n)。（4）验证设计结果。①调用freqz函数确定h1(n)

的频率响应H1(ej

)。②

创建图形窗口Figure1，在同一幅图中用不同颜色的线分别画出H1(ej

)

的幅频响应和Hg(

)。情境任务及步骤二、频率取样基础上增加过渡点设计FIR数字滤波器1．频率取样基础上增加1个过渡点再设计（1）复制情境一中已确定的Hg(k)及

(k)。（2）只修改Hg(k)而

(k)不变。根据式（21.12）、式（21.13）、式（21.15）或式（21.16）选择Hg(4)

及与其对称的样点，，并将Hg(4)及与其对称的采样点的值由0改为0.85。（3）

(k)

和修改后的Hg(k)

根据式（21.17）组合得到H2(k)。（4）根据式（21.23）确定滤波器的单位脉冲响应h2(n)。（5）验证设计结果。调用freqz函数在图形窗口Figure1中，以holdon的方式作图表示h2(n)

的频率响应H2