第25课时　矩形、菱形、正方形 学案（含答案） 2025年中考数学一轮专题复习（河北）

第25课时矩形、菱形、正方形考点一矩形的性质与判定❶性质边两组对边分别平行两组对边分别相等角四个角都是①

对角线对角线②

对称性既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴,其对称轴为两组对边的垂直平分线,对称中心为其对角线的交点面积S=③(a,b分别表示矩形的长和宽)

❷判定(1)有一个角是④的平行四边形是矩形.

(2)有三个角都是⑤的四边形是矩形.

(3)对角线⑥的平行四边形是矩形.

①(冀教八下P135变式)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.(1)若AO=1,则OC=,AC=,BD=.

(2)若∠ACB=30°,则∠AOB=,△AOB的形状是三角形.

(3)图中有个等腰三角形,它们分别是 .

②已知四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O.(1)如图1,补充一个条件,可以使平行四边形ABCD为矩形的是(填序号).

①∠BAD=90°;②AC=BD;③AC⊥BD;④OA=OB.(2)如图2,四边形ABCD为平行四边形,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,若BE=BD.求证:平行四边形ABCD为矩形.图1图2考点二菱形的性质与判定❶性质边四条边都⑦

两组对边分别平行角两组对角分别相等对角线对角线互相垂直且⑧

每一条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴,其对称轴为对角线所在直线,对称中心为两条对角线的交点面积S=⑨(m,n分别表示两条对角线的长)

❷判定(1)有一组⑩相等的平行四边形是菱形.

(2)条边相等的四边形是菱形.

(3)对角线的平行四边形是菱形.

③(人教八下P60变式)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.(1)若∠ABC=86°,则∠BAD=,∠ABD=,∠AOB=.

(2)若AC=6,BD=8,则①AO=,BO=,AB=;

②四边形ABCD的周长为,面积为;

③点A到边BC的距离为.

④如图,在▱ABCD中,E,F分别是边CD,BC上的点,连接BE,DF,BE与DF交于点P,BE=DF.添加下列条件之一使▱ABCD成为菱形:①CE=CF;②BE⊥CD,DF⊥BC.(1)你添加的条件是(填序号),并证明.

(2)在(1)的条件下,若∠A=45°,△BFP的周长为4,求菱形的边长.考点三正方形的性质与判定❶性质边四条边都

两组对边分别平行角四个角都是

对角线对角线互相且相等

每一条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形,又是中心对称图形,有4条对称轴,对称轴为两条对角线所在直线及两组对边的垂直平分线,对称中心为两条对角线的交点面积S=(a表示正方形的边长)

❷判定(1)有一个角是的菱形是正方形.

(2)有一组相等的矩形是正方形.

(3)对角线的菱形是正方形.

(4)对角线互相的矩形是正方形.

平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关系:❸平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系⑤如图1,已知四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O.(1)若AB=BC,要使平行四边形ABCD为正方形,则可添加的条件为.

(2)若∠ABC=90°,要使平行四边形ABCD为正方形,则可添加的条件为.

(3)如图2,若OA=OB,OA⊥OB,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,连接AE分别交BD,CD于点F,G.①下列结论中,不正确的是 ()A.BD⊥DEB.G是CD的中点C.S△BDE=S正方形ABCDD.EA平分∠BED②若S△DFG=2,求四边形ABCD的面积.图1图2考点四中点四边形❶定义:依次连接任意一个四边形四边的中点所得的四边形.❷特殊四边形的中点四边形特殊四边形平行四边形菱形矩形正方形中点四边形❸一般四边形的中点四边形(1)任意四边形的中点四边形一定是.

(2)对角线相等的四边形的中点四边形是.

(3)对角线垂直的四边形的中点四边形是.

⑥(人教八下P68变式)如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点,连接AC,BD,回答问题:(1)对角线AC,BD满足条件时,四边形EFGH是矩形.

(2)对角线AC,BD满足条件时,四边形EFGH是菱形.

(3)对角线AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.

如图1,四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,(1)若增加下列条件中的一个,可使四边形ABCD为矩形,则这个条件可以是(填序号).

①∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°;②四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD;③OA=OB=OC=OD;④AB∥CD,AB=CD,∠ABC=90°;⑤AC=BD,∠ABC=90°.(2)若四边形ABCD为矩形,回答下列问题.①若OB=1,则OD=,AC=;

②若AB=3,AC=6,则AD=,△AOB是三角形;

图1图2③如图2,CE⊥BD于点E,若AD=4,CD=2,则cos∠OCE=;

④已知AB=4,AD=6.a.如图3,点P是BC上一点,则PA+PD的最小值为;

b.如图4,点M,N分别在射线CD,DA上,且∠DNC=∠BMC,BM与CN交于点Q,连接AQ,则AQ的最小值是.

图3图4(1)①③④解析:根据三个角都是90°的四边形是矩形,可知①正确;根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形,可知③正确;∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,故④正确.(2)①12②33等边③45④a.10解析:①∵四边形ABCD为矩形,∴OB=OD=1,AC=BD=2.②∵在Rt△ABC中,AB=3,AC=6,∴根据勾股定理,得BC=62-32∴AD=BC=33.∵OA=OB=12AC=∴OA=OB=AB=3,∴△AOB是等边三角形.③∵矩形ABCD中,AD=4,CD=2,∴BC=AD=4,∠BCD=90°,∴在Rt△BCD中,根据勾股定理可得,BD=CD2+BC2∴在Rt△BCD中,根据面积相等得,CE=4×225=∴cos∠OCE=CEOC=455图1④a.如图1,作点A关于BC的对称点A',连接A'D交BC于点P,连接AP.∴AP=A'P.∵AB=4,AD=6,∴A'B=4,∴AA'=8,在Rt△AA'D中,根据勾股定理,得A'D=82+∴A'P+DP=A'D=10,故PA+PD的最小值为10.b.∵∠DNC=∠BMC,四边形ABCD为矩形,∴∠ADC=∠BCM.∴△CDN∽△BCM,∴∠NCD=∠MBC,∵∠NCD+∠DNC=90°,∴∠NCD+∠BMC=90°,即CN⊥BM,∴∠BQC=90°.如图2,点Q在以BC中点O为圆心,OB为半径的圆上运动,当A,Q,O三点共线时,AQ最短.图2∵OB=12BC=3,AB=∠ABC=90°,∴OA=OB2∴AQ=OA-OQ=5-3=2.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.(1)若∠ABC=40°,则∠CAD=.

(2)若AC=6,BD=8.①菱形ABCD的周长为;

②AD,BC之间的距离为;

③如图,点E是AB的中点,点F是AC上一动点,a.OE=;

b.请找出当EF+BF取最小值时,点F的位置,简述解题思路;c.当点F是OC的中点时,求EF的长.(1)70°解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∠CAD=∠CAB=12∠BAD,∴∠BAD+∠ABC=180°∵∠ABC=40°,则∠BAD=180°-∠ABC=140°,∴∠CAD=12∠BAD=70°(2)①20②245③a.解析:①菱形ABCD中,AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,∠AOB=若AC=6,BD=8,则OA=OC=12AC=OB=OD=12BD=在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=OA2+OB2=32+42=5,∴AB=BC=CD=AD=5,∴AB+BC+CD+AD=5+5+②设AD,BC之间的距离为h,则由S菱形ABCD=BC·h=12AC·BD,得h=AC·BD2BC=6×82×5=245③a.∵在Rt△AOB中,点E是斜边AB的中点,∴OE=12AB=52图1b.解:取AD的中点E',连接BE',则点F在BE'与AC的交点处时,EF+BF的值最小,即当EF+BF取最小值时,点F的位置如图1所示.此时AFFC=AE'BC=12,即点F位于线段AC解题思路如下:∵AC所在直线是菱形ABCD的一条对称轴,点E、点E'分别是AB,AD的中点,∴点E'与点E关于直线AC对称,∴AC上任意一点到点E与点E'的距离都相等,即有EF=E'F.由“两点之间,线段最短”可知:点F在BE'与AC的交点处时,E'F+BF的值最小,从而EF+BF的值最小,即当EF+BF取最小值时,点F的位置如图1所示.此时AFFC=AE'BC=12,即点F位于线段AC图2c.解:当点F是OC的中点时,OF=12OC=3过点E作EM⊥AC于点M,如图2,则EM∥BD,∠EMF=90°,∴△AEM∽△ABO,∴AMAO=EMBO=AEAB.∵点E∴AE=12AB,∴AMAO=EMBO=AEAB=12,即AM3=EM4=12,解得AM=32,EM=2,∴在Rt△EFM中,由勾股定理,得EF=EM2+FM即EF的长为13.如图,四边形ABCD的对角线交于点O,OA=OB=OC=OD,AB=AD,E是对角线BD上一点,连接AE,CE,并延长CE交AD于点F.(1)求证:四边形ABCD是正方形.(2)求证:△ABE≌△CBE.(3)若∠AEC=140°,求∠DFE的度数.(4)若OA=2,求四边形ABCD的面积.(1)证明:∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵OA+OC=OB+OD,即AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,∵AB=AD,∴四边形ABCD是正方形.(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABC=∠ADC=90°,∠ABE=∠CBE=∠ADB=12×90°=45°在△ABE和△CBE中,AB∴△ABE≌△CBE(SAS).(3)∵△ABE≌△CBE,∴∠AEB=∠CEB.又∵∠AEC=140°,∴∠CEB=70°.∵∠DEC+∠CEB=180°,∴∠DEC=180°-∠CEB=110°.∵∠DFE+∠ADB=∠DEC,∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°.(4)∵OA=2,四边形ABCD是正方形,∴OB=OA=OC=OD=2,∴AC=BD=4,∴S四边形ABCD=4×42=8命题点一矩形的性质与判定❶(2022·河北)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n≠ ()A.2 B.3 C.4 D.5❷(2024·河北)在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 ()A.点A B.点B C.点C D.点D❸(2010·河北)如图,矩形ABCD的顶点A,B在数轴上,CD=6,点A对应的数为-1,则点B所对应的数为.

命题点二菱形的性质与判定❹(2024·河北)如图,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1= ()A.30° B.25° C.20° D.15°❺(2023·河北)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:AC⊥BD.以下是排乱的证明过程:①又∵BO=DO,②∴AO⊥BD,即AC⊥BD.③∵四边形ABCD是菱形,④∴AB=AD.证明步骤正确的顺序是 ()A.③→②→①→④ B.③→④→①→②C.①→②→④→③ D.①→④→③→②❻(2022·河北)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:△ABD≌△ACE.(2)求∠ACE的度数.(3)求证:四边形ABFE是菱形.命题点三正方形的性质与判定❼(2023·河北)关于▱ABCD的叙述,正确的是 ()A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形❽(2023·河北)如图是边长为10cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是 () A B C D❾(2024·河北)用一根长为acm的铁丝,首尾相接围成一个正方形.现要将它按如图所示的方式向外等距扩1cm,得到新的正方形,则这根铁丝需增加 ()A.4cm B.8cm C.(a+4)cm D.(a+8)cm❿(2024·河北)对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n.图1甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13.乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14.丙:如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的22倍时就可移转过去;结果取n=13图2图3图4下列正确的是 ()A.甲的思路错,他的n值对B.乙的思路和他的n值都对C.甲和丙的n值都对D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对

【详解答案】教材考点·深度梳理①直角(或90°)②互相平分且相等③ab④直角(或90°)⑤直角(或90°)⑥相等⑦相等⑧平分⑨12mn⑩邻边四互相垂直相等直角(或90°)垂直平分a2直角(或90°)邻边相等垂直平行四边形矩形菱形正方形平行四边形菱形矩形对应练习1.(1)122(2)60°等边(3)4△AOB,△AOD,△COD和△BOC2.解:(1)①②④(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CE.∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC=BE.∵BE=BD.∴AC=BD,∴平行四边形ABCD为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形).3.(1)94°43°90°(2)①345②2024③24解析:(2)①∵菱形ABCD中,AC=6,BD=8,∴AO=12AC=12×6=3,BO=12BD=在Rt△AOB中,根据勾股定理可得,AB=AO2②菱形ABCD的周长=4AB=4×5=20,面积为=12AC·BD=12③设点A到边BC的距离为x,根据面积法可得,BC·x=24,解得x=2454.解:(1)②证明:∵BE⊥CD,DF⊥BC,∴∠CFD=∠CEB=90°.在△CFD和△CEB中,∠∴△CFD≌△CEB(AAS),∴CD=CB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.(2)如图,连接CP,由(1)知△CFD≌△CEB,∴CF=CE.在Rt△CEP和Rt△CFP,CP∴Rt△CEP≌Rt△CFP(HL),∴PE=PF.∵在菱形ABCD中,∠A=45°,∴∠BCD=45°.∵∠CFD=∠CEB=90°,∴∠BFP=∠DEP=90°,∴∠CBE=∠BPF=∠BCD=45°,∴BE=CE,BF=PF.∵△BFP的周长为4,∴BP+PF+BF=BP+PE+BF=BE+BF=CE+BF=CF+BF=BC=4.即菱形的边长为4.5.解:(1)∠ABC=90°(答案不唯一)解析:正方形是特殊的平行四边形,四条边都相等,且四个角也都为直角,所以在AB=BC的条件下,增加条件∠ABC=90°,可以使得平行四边形ABCD是正方形.(2)AB=BC(答案不唯一)解析:由(1)中的分析可知,添加条件AB=BC可以使得平行四边形ABCD是正方形.(3)①D解析:A项,∵AC∥DE,∠COB=90°,∴∠BDE=90°,∴BD⊥DE成立,故A项正确;B项,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,AB=CD,∵AC∥DE,∴四边形ACED为平行四边形,∴AD=CE,∴BC=CE,∵C是BE的中点,CG∥AB,∴G是AE的中点,∴CG是△ABE的中位线,∴G是CD的中点成立,故B项正确;C项,如果令正方形的边长为a,∴S正方形ABCD=a2,S△BDE=12×2a×a=a2D项,∵DG=GC,∴GC一定大于△DGE的DE边上的高,∴不符合角平分线的定理,故D项错误.故选D.②设DC=a,则DG=GC=a2∵OA=OB,∴BD=AC.又∵BD⊥AC,∴四边形ABCD是正方形.∴∠ADB=∠BDC=45°.∵AB∥CD,∴△ABF∽△GDF,∴ABGD∵AB=2DG,∴AF=2FG.∵△ADF与△DFG同高,且S△DFG=2,∴S△ADG=6,∴12×a×a∴a2=24,∴S正方形ABCD=a2=24.6.(1)AC⊥BD(2)AC=BD(3)AC⊥BD且AC=BD解析:∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点,∴EF∥AC,EF=12AC,FG∥BD,FG=12BD,HG∥AC,HG=12AC,EH∥BD,EH∴EF∥HG,EF=HG,FG∥EH,FG=EH.∴四边形EFGH是平行四边形.(1)要使四边形EFGH是矩形,则需EF⊥FG,只需AC⊥BD.(2)要使四边形EFGH是菱形,则需EF=FG,只需AC=BD.(3)要使四边形EFGH是正方形,则需AC⊥BD且AC=BD.河北中考·真题体验1.A解析:如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n可以为3,4,5,故n≠2.故选A.2.B解析:设A(a,b),AB=m,AD=n,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=n,AB=CD=m,∴D(a,b+n),B(a+m,b),C(a+m,b+n),∵ba+m<ba<b+∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选B.3.5解析:∵四边形ABCD是矩形,且矩