电力系统分析(第2版)课件：电力系统潮流的计算机算法

电力系统潮流的计算机算法4.1电力网的数学模型4.3牛顿—拉夫逊法潮流计算4.2功率方程及节点分类4.4P-Q分解法潮流计算4.5潮流计算MATLAB程序实现4.1电力网的数学模型用计算机进行潮流计算的步骤：对潮流计算方法的要求：计算速度快，内存需要小，适应性好，简单。建立电力网的数学模型确定求解数学模型的方法制定计算流程图；编制计算程序；上机调试及运算。高斯-赛德尔法牛顿—拉夫逊法P-Q分解法～电力网4.1电力网的数学模型电力网的数学模型：指描述电力系统的运行状态、变量和网络参数之间的相互关系，并能反映网络性能的数学方程式，即电力网络方程。电力系统潮流计算其本质为电路计算，其特点是网络结构参数已知，节点功率（不是电流）已知，待求的是节点电压和支路功率。非线性元件非线性元件电力网输电线路变压器电容器、电抗器等静止线性元件线性网络发电机：电压源或电流源网络元件：恒定参数负荷：恒定阻抗对线性网络的分析，普遍采用节点法。用代数方程描述：1.节点导纳矩阵的节点电压方程

一、节点电压方程说明：节点注入电流为各节点电源电流与负荷电流之和，且规定流入节点为正，流出节点为负。4.1电力网的数学模型根据电路知识，n个独立节点的网络，节点电压方程：或YB

—节点导纳矩阵；UB—节点电压列向量；IB—节点注入电流列向量。4.1电力网的数学模型节点导纳矩阵Yii——节点i的自导纳Yij——节点i、j间的互导纳YB阵的第i列元素等于在节点i加单位电压，其余节点全部接地时，在各节点产生的注入电流值。YB

矩阵元素的物理意义:自导纳Yii:可见：自导纳Yii等于连到i节点的各支路导纳之和，即节点i的对地导纳

+_如对节点2：4.1电力网的数学模型对于任一非孤立节点，Yii≠0

+_互导纳Yji：4.1电力网的数学模型可见：互导纳Yji等于i、j节点之间支路导纳的负值，即当节点i与节点j之间无之路连接时，

显然有对称矩阵稀疏矩阵4.1电力网的数学模型节点导纳矩阵的特点各行非对角非零元素的个数等于与该行相对应节点所连的不接地支路数。方阵：阶数等于除参考节点外的节点数n；对称矩阵：Yij=Yji；稀疏矩阵：节点数越多，稀疏性越强；对角优势：对角元素总大于非对角元素。自导纳：Yii

等于与节点i所连支路导纳的之和;互导纳：Yji

等于连接节点j、i支路导纳的负值。易于形成和修改：可用直接法形成YB

矩阵，且网络变化时修改较方便。

2.节点阻抗矩阵的节点电压方程将左乘得：节点阻抗矩阵4.1电力网的数学模型ZB

矩阵元素的物理意义:ZB阵的第i列元素等于在节点i注入单位电流，其它节点全部开路(注入电流为零)时，在各节点产生的电压值。自阻抗Zii：等于在i节点注入单位电流，其它节点的注入电流为零时，节点i的电压值，即Zii实际上是从节点i向整个网络看进去对地等值阻抗。互阻抗Zji：等于在i节点注入单位电流，其它节点的注入电流为零时，节点j的电压值，即注意：由于网络中各节点之间总是有相互电磁联系的，因此当节点i注入单位电流，而其它节点开路时，所有节点电压都不为零，即且有对称矩阵4.1电力网的数学模型满矩阵ZB

矩阵的求取方法：由YB

矩阵求取逆阵；支路追加法。ZB

矩阵的特点：n阶方阵；对称矩阵；满矩阵；网络变化时，修改比较麻烦。二、节点导纳矩阵的形成YB矩的其阶数等于电力网络中阵除参考点以外的节点数；YB的对角元(Yii)等于节点i所连接支路导纳的和；YB的非对角元(Yij)等于连接节点i、j支路导纳的负值；YB是对称阵，因此一般只求上三角或下三角部分元素；网络中的变压器可采用“理想变压器”，用π型等值电路。4.1电力网的数学模型

注意：在实际程序中，往往直接计算变压器支路对节点导纳矩阵的影响，即当新接入非标准变比的变压器支路i、j时，对原来的节点导纳矩阵进行修正。直接法是手工形成节点导纳矩阵的方法！变压器的π型等值电路增加i、j之间的互导纳：Yii增加一个改变量：Yij增加一个改变量：4.1电力网的数学模型即当新接入非标准变比的变压器支路i、j时，对原来的节点导纳矩阵进行修正：

三、节点导纳矩阵的修改变压器变比的改变线路(变压器)的投入或切除YB矩阵随之改变对大型电网，重新形成YB需要花费很长时间！问题：特点：节点导纳矩阵的元素只与节点所连接支路导纳有关。一个支路参数的改变，只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因此仅需对原有的矩阵作某些修改，不必重新形成。电力网4.1电力网的数学模型从原有网络中引出一条支路，同时增加一个新的节点j:在原有网络节点i和j之间增加一条支路：4.1电力网络方程矩阵增加一阶;原有节点i自导纳增量：新增节点j自导纳：新增节点i和j之间的互导纳：矩阵的阶数不变；节点i和节点j的自导纳增量：节点i和j之间的互导纳增量：在原有网络节点i和j之间切除一条导纳为yij的支路：原有网络i和j之间的导纳由yij改变为：相当于增加一条导纳为-yij的支路相当于在节点i和j之间切除导纳为yij的支路，并增加导纳为的支路。4.1电力网的数学模型原有节点i和j之间的变压器变比由K

变为:相当于在节点i和j之间切除一变比为K的变压器并增加一变比为的变压器支路节点i的自导纳增量：节点i和j之间的互导纳增量：节点j的自导纳增量：4.1电力网的数学模型用π型等值电路

【例4-1】求下图所示网络的节点导纳矩阵。4.1电力网的数学模型解：

以节点2为例，导纳矩阵中各元素为4.1电力网的数学模型（2）节点3、5之间的变压器变比由变为时：只需修改与节点3、5有关的自导纳和互导纳，修改量为因此，修改后的节点导纳矩阵中其余的元素都保持原值不变。4.2功率方程及节点分类思考：若导纳矩阵YB已知，是否可以直接用进行潮流计算？不行！工程上已知的不是节点电压和电流，而是各节点的功率（复功率）。GG12等值电源功率等值负荷功率（a）简单系统（b）简单系统的等值网络GG12y10y20y12

一、功率方程和变量、节点的分类1.功率方程（c）注入功率和注入电流——12y10y20y12由而或写成功率方程4.2功率方程及节点分类若，，则功率方程为直角坐标形式的功率方程若，则功率方程为极坐标形式的功率方程其中，为i、j节点电压的相角差。4.2功率方程及节点分类

以上两种形式表示的功率方程中都包含了六个变量：2.变量的分类节点发电机发出的功率PGi

、

QGi；负荷功率PLi

、

QLi

；母线节点电压ei

、

fi

或Ui

、δi

。不可控变量（扰动变量）：负荷功率PLi

、

QLi

取决于用户，是不可控的，在潮流计算中根据负荷预测当作已知量，即可控变量：发电机发出的功率PGi

、

QGi

可由运行人员根据需要来决定和改变，为可控变量，即4.2功率方程及节点分类

对n个节点的电力系统，每个节点都有4个运行变量（Pi

、Qi

、Ui

、δi

或Pi

、Qi

、ei

、fi)，因此全系统共有4n个变量。功率方程只有2n个，所以每个节点的4个变量中，一般给定两个，求解另外两个。4.2功率方程及其迭代解法状态变量：母线节点电压的大小和相位（Ui和δi）是受控制变量的因变量，其中母线电压的幅值Ui主要受QGi

的控制，母线电压的相角δi主要受PGi

的控制，故称为系统的状态变量，即或3.节点的分类对变量进行分类后，只要已知给定的扰动变量和控制变量，就可以根据功率方程求出状态变量。必须指出：这三类节点的划分并不是绝对不变的。当PV节点的无功功率出力达到其可调无功功率出力的上限或下限时，就不能再使电压保持在设定值，此时PV节点将转化成PQ节点。PQ节点：已知节点注入功率Pi和Qi，待求节点电压幅值Ui和相角δi

。系统中大部分节点都属于这一类型（负荷节点、发固定功率的发电机节点）。PV节点：已知Pi和Ui

，待求Qi和角δi。这类节点必须有足够的可调无功电源以维持给定的节点电压幅值（又称电压控制点）。系统中这一类节点的数目很少，甚至可有可无。平衡节点（Vδ节点）：已知Ui和δi

，待求Pi和Qi

。平衡节点在潮流计算结束后担当功率平衡的任务，一般将平衡节点和电压基准节点合选成一个节点，通常取。这类节点必不可少，且只设一个。4.2功率方程及节点分类电压数值的约束：为保证供电电压质量，各节点电压都应满足：4.潮流计算的约束条件发电机输出功率的约束：发电设备都有最小功率和额定功率的限制，运行中电源发出的功率应满足：电压相角的约束条件：为保证系统运行的稳定性，系统中任意两个节点之间的相位差应满足：4.2功率方程及其迭代解法

二、迭代法的基本原理潮流计算可概况为求解一组非线性方程组，并使其满足一定的约束条件。求解非线性方程组的方法——迭代法

对于形如的非线性方程组总可以写成这种适合迭代的形式。打印结果输出

输入

是否启动＜?

设则……当＜时迭代收敛，即可得到方程的解为常用的迭代方法：高斯-赛德尔法、牛顿-拉夫逊法※牛顿-拉夫逊法的基本原理

用泰勒级数在附近展开：

设是一维非线性方程的初值，它与真实解的偏差为。其真实解为，所以原非线性方程可表示为4.3牛顿—拉夫逊法潮流计算忽略！——修正方程——修正量则一次近似解为：不断进行上述迭代，第k+1次的修正方程为：

它与真实解的偏差为。因此其真实解又可表示成迭代过程的收敛判据：＜＜或

任一不等式满足要求，迭代收敛，即可用近似解作为真实解。4.3牛顿—拉夫逊法潮流计算

可见，牛顿—拉夫逊法是用切线来寻找真实解的，因此又叫切线法。下一步迭代第k+1步迭代牛顿—拉夫逊法可用几何图形做如下解释：4.3牛顿—拉夫逊法潮流计算推广到多变量非线性方程：设各变量的初值为，各变量的修正量分别为则原非线性方程组可表示为4.3牛顿—拉夫逊法潮流计算求出修正量，则可得到新的近似解为：雅可比矩阵

将这n个方程都用泰勒级数在初始值附近展开，并忽略二次项及以上的高次项，则有4.2功率方程及其迭代解法第k+1次迭代求出的解为：或缩写成第k+1次：雅可比矩阵4.3牛顿—拉夫逊法潮流计算迭代收敛条件：若任一不等式成立，则就是方程组的解。＜

【课堂练习】

用牛顿法求解非线性方程组:

解：

（设初值）或4.3牛顿—拉夫逊法潮流计算4.2功率方程及其迭代解法

第1次迭代（k=0）：第1次迭代时的修正方程为：第1次迭代的结果是：

第2次迭代（k=1）：第2次迭代时的修正方程为：4.3牛顿—拉夫逊法潮流计算第2次迭代结果是：依次类推，进行第3次迭代：当两次迭代之间的解的差值小于（如取）时停止迭代。（真解为）答案：4.3牛顿—拉夫逊法潮流计算二、牛顿-拉夫逊法潮流计算直角坐标系下的牛顿-拉夫逊法潮流计算功率误差方程4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算功率方程

设系统中n有个节点，其中m个是PQ节点，n-(m+1)个是PV节点，1个是平衡节点（节点n），则总的有功方程为n-1个，无功方程为m个，电压方程为n-(m+1)个，总方程数为2(n-1)个。对PQ节点，给定Pis和Qis，功率方程写成如下形式：即把潮流问题叙述为：对于给定的Pis、Qis，找出一组电压相量ei、fi，使按上式得到的功率误差在允许的范围之内。4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算对PV节点，给定Pis和Uis

，功率方程写成如下形式：电压误差方程4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算电压初值：修正量：一次近似解：通用修正方程：当时，雅可比矩阵中的非对角元素为：当时，雅可比矩阵中的对角元素为：4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算雅可比矩阵具有以下特点：雅可比矩阵中的各元素都是节点电压的函数，因此，在迭代过程中，它们将随着节点电压的变化而不断改变，即每迭代一次，雅可比矩阵中的各元素要改变一次。雅可比矩阵不是对称矩阵。当导纳矩阵中的非对角元素时，雅可比矩阵中与之相对应的非对角元素也为零，且因此，雅可比矩阵是非常稀疏的。4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算牛顿—拉夫逊法潮流计算的步骤输入原始数据：各支路导纳；所有节点的有功注入功率；PQ节点的无功注入功率；PV节点的电压幅值；节点功率范围（约束条件）；平衡节点电压等。形成节点导纳矩阵。给定各节点电压初值和。求雅可比矩阵中的各元素。求解修正方程，求出各节点电压的修正量。将各节点电压初值代公式中，求出修正方程中各节点功率和节点电压的偏移量。置迭代次数k=0。4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算检查是否收敛，收敛条件为：

若不收敛，返回到第5步重新迭代；若收敛，转下一步。求平衡节点的功率及各支路的功率分布。求节点电压新值：将i=n代入功率方程得：因假设节点n为平衡节点平衡节点注入功率：4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算各条线路上流动的功率为：各段线路上的功率损耗为：线路功率计算

4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算牛顿—拉夫逊法潮流计算的框图按公式计算雅可比矩阵各元素计算平衡节点功率及全部线路功率输出

用公式计算

解修正方程式，求是否是输入原始数据形成节点导纳矩阵

给定节点电压初值启动牛顿—拉夫逊法潮流计算的几点说明：牛顿法对初值要求较高，若初值和真实解相差较大，可能会不收敛。（常取）对PV节点，迭代过程中要监视其无功功率。若越限，即或说明PV节点转换成了PQ节点，后续迭代按PQ节点进行。

牛顿法具有平方收敛特性，越接近真值其收敛速度越快。（一般迭代5~6次即可）4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算即把潮流问题叙述为：对于给定的Pis、Qis，找出一组电压相量Ui、，使按上式得到的功率误差在允许的范围之内。对PQ节点，给定Pis和Qis，功率方程写成如下形式：极坐标系下的牛顿-拉夫逊法潮流计算4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算

修正方程为：

设n节点系统中有m个PQ节点，n-(m+1)个PV节点，节点n

是平衡节点，则有n-1个有功方程，m个无功方程，总方程数为n+m-1个。比直角坐标少2(n-1)-(n+m-1)=n-m-1个。对PV节点，给定Pis和Uis，仅有有功功率误差方程。

简写为H：(n-1)×(n-1)阶方阵N：(n-1)×m

阶矩阵J：m×(n-1)阶矩阵L：m×m阶方阵当时，雅可比矩阵中的非对角元素为：4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算当时，雅可比矩阵中的对角元素为：计算步骤及框图与直角坐标形式相似。注意：计算过程中当PV节点转化成PQ节点时，修正方程式需增加一个对应于该节点的无功功率误差方程。4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算

P-Q分解法又叫改进牛顿法，是以极坐标表示的牛顿-拉夫逊法潮流修正方程的基础上提出来的。牛顿-拉夫逊法的缺点：雅可比矩阵在每一次迭代过程中都有变化，需要重新形成和求解，这占据了计算的大部分时间，计算速度慢。P-Q分解法利用了电力系统的一些特有的运行特性，对牛顿-拉夫逊法做了简化，使有功功率和无功功率的迭代计算分开进行。534.4P-Q分解法潮流计算一、P-Q分解法的修正方程4.4P-Q分解法潮流计算简化一：由于各元件的电抗远大于电阻，以致使系统中有功功率分布主要受节点电压相角的影响，无功功率分布主要受节点电压幅值的影响，所以可忽略电压幅值变化对有功功率的影响和电压相位变化对无功功率分布的影响，即将修正方程式中的子阵N和J略去不计：使P、Q分解开简化二：电力系统正常运行时线路两端的电压相位角一般变化不大（小于），再计及Gij<<Bij，因此则有4.4P-Q分解法潮流计算

简化三：在Hii和Lii表达式中的项应为各元件电抗远大于电阻的前提下，除节点i以外其他节点都接地时，由节点i注入的无功功率，该功率远大于正常运行时节点i的注入的无功功率Qi，即：

因此有

经以上简化，雅可比矩阵两个子阵H、L中的元素具有相同的表达式，但阶数不同。修正方程变为：4.4P-Q分解法潮流计算以上两式等号两边均左乘矩阵：得：4.4P-Q分解法潮流计算说明：为电纳矩阵，由节点导纳矩阵的虚部构成，是对称、稀疏的常数矩阵，在迭代过程中保持不变。

为n-1阶，不含平衡节点对应的行和列，

为m阶，不含平衡节点和PV节点所对应的行和列。或缩写为P-Q分解法的修正方程二、P-Q分解法潮流计算的步骤和特点

P-Q分解法潮流计算的步骤形成系数矩阵；设各节点电压初值，计算有功功率不平衡量，并求出；解修正方程，求各节点电压相位的变量；修正各点电压相位角，得新值

；计算各PQ节点无功功率不平衡量,并求；解修正方程，求PQ节点电压幅值的变量；修正PQ节点电压幅值，得新值

；用各节点电压的新值自第3步开始进入下一次迭代，直到各节点功率误差