2025秋人教版(2024)八年级上册数学上课课件 13.3 三角形的内角与外角13.3.2 三角形的外角

第十三章

三角形八上数学RJ13.3.2三角形的外角13.3三角形的内角与外角1.理解三角形的外角的概念，并能够在复杂图形中找出三角形的外角.2.掌握三角形外角的性质，会利用三角形外角的性质进行角度的计算和证明．同学们，假设现在我们在一个巨大的三角形广场游玩.从顶点

A出发，依次沿着AB、BC、CA

边走回起点，这三次转身的角度藏着什么秘密？今天，就让我们一起探索三角形外角的性质！ABC如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.外角BACD三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.外角BACDE思考

1.延长

AC到

E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？是2.∠DCE是不是△ABC的一个外角？不是三角形的外角应具备的条件:①

角的顶点是三角形的顶点.②

角的一边是三角形的一边.③

另一边是三角形中一边的延长线.三角形的一个外角，就是三角形一个内角的邻补角.向两个方向延长三角形的各边，可以画出一个三角形所有的外角.ABC

三角形的每一个顶点处有两个外角，它们互为对顶角，一个三角形共有六个外角.例1

如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？FABCDE解：∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC和△BEF的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角.跟踪训练

如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是

（

）A.∠BCF B.∠CBE

C.∠DBC D.∠BDFD思考

如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？ABCD(((70°60°解：由三角形内角和定理，得∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°.由平角的定义，得∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°.又∠A+∠B=70°+60°=130°，所以∠ACD=∠A+∠B.思考

任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=180°-∠ACB.∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB.∴∠ACD=∠A+∠B.ABCD(((符号语言：∵∠ACD是△ABC的一个外角.∴∠ACD=∠A+∠B.ABCD(((三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.一般地，由三角形的内角和定理可以推出下面的推论：例2

如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：解法1由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.例2

如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：解法2如图，∠BAE+∠1=180°，①∠CBF+∠2=180°，②∠ACD+∠3=180°，③又∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°–180°=360°.三角形的外角和

三角形的每一个顶点处有两个外角，它们互为对顶角，一个三角形共有六个外角.在每个顶点处各取个外角，则三角形的外角和为360°.

如图，∠1+∠2+∠3=360°.跟踪训练

如图所示，已知AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为__________.解析：∵AB∥CD,∴∠BCD=∠1=45°，∴∠3=∠2+∠BCD=35°+45°=80°.80°1.说出下列图形中∠1和∠2的度数：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=18°，∠2=130°∠1=40°，∠2=140°2.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.

求证：∠BAC=∠B+2∠E.解：∵∠1是△BCE的一个外角，∴∠1=∠B+∠E.∵CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，∴∠1=∠2.∵∠BAC是△ACE的一个外角，∴∠BAC=∠E+∠2=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E，即∠BAC=∠B+2∠E.ACEDB123.如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°.求∠BDC和∠BFD的度数.解：∵∠BDC是△ADC的一个外角.∠A=62°，∠ACD=35°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°.FADEBC62°35°97°在△BDF中，∠BDF+∠DBF+∠BFD=180°，∴∠BFD=180°-∠BDF-∠DBE.

=180°-97°-20°=63°.3.如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°.求∠BDC和∠BFD的度数.FADEBC62°35°97°4.如图，AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°，求:∠1和∠2的度数.解：∵AB//CD,∴∠1=∠A=40°.∴∠2=∠D+∠1=45°+40°=85°.(40°(45°(1(