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数学广角集合教学演讲人:日期:集合概念及表示方法集合间基本关系与运算有限集合中元素个数计算问题无限集合与势概念引入集合思想在解决实际问题中应用总结回顾与拓展提升目录CATALOGUE01集合概念及表示方法集合中的元素是明确的,不存在模糊不清的情况。确定性集合中的元素不重复出现,即每个元素只能出现一次。互异性集合中的元素没有固定的顺序,即元素的位置可以任意交换。无序性集合定义与性质010203属于关系如果一个元素是某个集合的成员,那么这个元素与该集合之间存在属于关系。不属于关系如果一个元素不是某个集合的成员,那么这个元素与该集合之间存在不属于关系。元素与集合关系列举法将集合中的所有元素一一列举出来,并用花括号括起来,如{a,b,c}。描述法通过描述集合中元素的特征或性质来表示集合,如“所有大于0的整数”。常用表示方法{1,2,3,4,5}表示一个小于6的正整数集合。列举法示例“所有红色的花”可以表示为一个集合,其中红色是元素的共同特征。描述法示例举例说明02集合间基本关系与运算子集、真子集概念子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集。子集性质传递性,即若A⊆B且B⊆C,则A⊆C;反身性,即任何集合都是其自身的子集,A⊆A。真子集定义若A是B的子集,且B不是A的子集,则A是B的真子集。真子集性质真子集一定是子集,但子集不一定是真子集。交集、并集定义及性质交集定义由集合A和集合B中所有共同元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B。并集性质交换律,即A∪B=B∪A;结合律,即(A∪B)∪C=A∪(B∪C);分配律,即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。交集性质交换律,即A∩B=B∩A;结合律,即(A∩B)∩C=A∩(B∩C);分配律,即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。并集定义由集合A和集合B中所有元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B。补集概念及运算规则补集性质相对性,即补集是相对于全集而言的,A的补集是S中所有不属于A的元素组成的集合;互补性,即A与A'的并集等于全集S,A∪A'=S,且A与A'的交集为空集,A∩A'=∅。补集运算规则德摩根定律,即(A∩B)'=A'∪B',(A∪B)'=A'∩B'。补集定义设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做子集A在S中的补集,记作A'或Ac。030201设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4},求A的补集、A与B的交集、A与B的并集以及(A的补集)与B的交集。举例1已知集合A={x|x<5},B={x|x>3},求A与B的交集、A与B的并集以及A的补集(全集为实数集R)。举例2综合应用举例03有限集合中元素个数计算问题通过逐一列举集合中的元素,确定元素的总个数。适用于有限且元素较少的集合在列举过程中,避免重复计算同一元素。需要注意元素的互异性对于元素个数较少或问题较简单的集合,列举法是一种直观且有效的解题方法。适用于简单问题列举法求解元素个数问题适用于具有特定规律的集合通过总结集合中元素的排列规律,利用数学公式快速计算元素个数。公式法求解元素个数问题常用的公式包括等差数列求和公式、等比数列求和公式等根据集合中元素的特点,选择合适的公式进行计算。需要掌握一定的数学知识公式法的运用需要学生对相关数学知识有一定的了解和掌握。排除法求解元素个数问题适用于元素个数难以直接计算的情况通过排除不符合条件的元素,间接确定符合条件的元素个数。需要明确问题的限制条件在排除过程中,要准确把握问题的限制条件,避免漏掉符合条件的元素。结合其他方法使用排除法通常与其他方法结合使用,以提高解题的准确性和效率。典型例题解析例题3从1到100的自然数中,去掉所有能被3整除的数,求剩下的数的个数。解析:通过排除法,首先明确问题的限制条件为“去掉所有能被3整除的数”,然后逐一排除符合条件的数,最后计算剩下的数的个数。例题2已知等差数列的前n项和为Sn,且a1=1,d=2,求S10的值及该数列前10项中的元素个数。解析:通过公式法,可以利用等差数列的求和公式S_n=n/2×(2a_1+(n-1)d)计算S10的值;同时,由于等差数列的元素个数即为项数n,因此前10项中的元素个数为10。例题1已知集合A={x|x是小于10的正整数},求集合A的元素个数。解析:通过列举法,可以逐一列出集合A中的元素:1、2、3、...、9,共9个元素,因此集合A的元素个数为9。04无限集合与势概念引入无限集合是一类特殊的集合,它不是有限集的集合,可与其真子集对等的非空集合,或者既不是空集,又不与Mn={1,2,…,n},n∈N对等的集合。无限集合定义无限集合必含有可数子集;无限集合减去一有限子集仍为无限集;任一无限集与一可数集之并与该无限集间存在双射。无限集合的性质无限集合定义及性质可数无限集合势最小的无限集为可数集,即与自然数集N对等的无限集。不可数无限集合不存在与自然数集N对等的无限集,如实数集等。可数无限集合与不可数无限集合势的定义势是用来描述无限集合“大小”的一个概念,通过两个集合之间是否存在一一对应关系来定义。势的比较方法如果两个无限集合之间存在一一对应关系,则它们的势相等;如果一个无限集合的真子集与另一个无限集合存在一一对应关系,则前者的势小于后者的势。势概念介绍及比较大小方法康托尔对角线法是一种证明实数集不可数的方法,通过构造一个与实数集对等的集合来证明实数集不可数。康托尔对角线法的意义证明了实数集的势大于自然数集的势,即实数集是不可数的。拓展延伸:康托尔对角线法05集合思想在解决实际问题中应用通过将问题中的对象按某种属性进行分类,将大问题转化为若干个小问题,降低问题难度。简化复杂问题分类讨论时,确保每个对象只属于一个类别,避免在计算过程中重复计数。避免重复计数分类讨论有助于明确问题的范围和边界,便于后续的分析和解决。明确问题范围集合思想在分类讨论中应用010203排除法推理通过排除不符合条件的选项,逐步缩小答案范围,最终得出正确答案。传递性推理利用集合中元素之间的关系进行推理,如A包含B,B包含C,则A包含C。逆向思维从问题的反面出发,考虑不满足条件的情况,从而找到问题的突破口。集合思想在逻辑推理中应用将具有相同属性的对象归纳为一个集合,提取出它们的共同特征,形成概括性的结论。概括性总结集合思想在归纳总结中应用按照某种属性或关系对集合进行分层,形成层次结构,有助于深入理解问题本质。层次性归纳通过分析集合中元素的分布、组合等规律,总结出一般性的结论,为解决问题提供指导。规律性总结案例分析一某公司员工信息管理,运用集合思想对员工进行部门划分、职位等级划分等,实现高效管理。案例分析二案例分析三某超市商品销售数据分析,借助集合思想对商品进行分类、统计和预测,制定合理的销售策略。某班级学生成绩统计,利用集合思想对成绩进行分类、汇总和分析,找出优秀学生和薄弱环节。典型案例分析06总结回顾与拓展提升关键知识点总结回顾集合的基本概念包括元素与集合、集合的表示、空集、全集等。集合的运算交集、并集、补集、差集等基本运算及其性质。集合的关系子集、真子集、超集、真超集等关系的定义及判断。集合的应用利用集合方法解决实际问题,如分类、计数、去重等。易错点提示和纠正策略空集与全集的误区避免将空集视为“无”或全集视为“全部”,应准确理解其含义。集合运算的混淆分清交集、并集、补集等运算的区别,避免混淆。集合关系的判断准确判断子集、真子集、超集等关系,避免误判。集合表示方法的规范正确使用集合的表示方法,避免混淆和误解。拓展延伸:模糊集合简介介绍模糊集合的定义及与普通集合的区别。模糊集合的概念理解隶属函数的意义和作用,掌握常见的隶属函数类型。探讨模糊集合在实际问题中的应用,如模糊分类、模糊识别等。模糊集合的隶属函数介绍模糊集合的基本运算及其

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