高中数学必修53.4.1不等式

3.4

基本不等式高一数学必修5第三章《不等式》先阅读课本P91---P92如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一种风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出某些相等关系或不等关系吗？1.如果设直角三角形的两条直角边的边长为a和b，你能用a和b体现哪些面积？这些面积之间有什么关系？2.从图形分析,上述不等式在什么状况下取等号？当直角三角形为等腰直角三角形，即a＝b时，a2＋b2＝2ab.新知探究ABCDEFGH3.在上面的图形背景中，a，b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？普通地，对于任意实数a，b，有:a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.ABCDEFGH新知探究阐明：①

“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．的充要条件是②新知探究4.特别地，如果a＞0，b＞0，我们用、分别替代a、b，可得什么不等式?当且仅当a＝b时等号成立.基本不等式1.若,则,当且仅当时取“=”号.2.若,则,当且仅当时取“=”号.新知探究变式:典例讲评典例讲评例1已知x、y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3

例2已知a2＋b2＋c2＝1，

求证：(a＋b＋c)2≤3.例3若正数a,b满足求ab的取值范围.典例讲评例4.已知x,y∈R+,求证:(1)若xy为定值P,那么x=y时,和x+y有最小值2;(2)若x+y为定值S,那么x=y时,积xy有最大值积定和最小;典例讲评例5已知求的最小值.典例讲评例6已知求的最小值.典例讲评例7.已知，求函数的最大值.典例讲评例8.已知，求函数的最大值.当时，y取最大值

.(1)积为定值→和化积→和有最小值(2)和为定值→积化和→积有最大值最值原理：(3)环境条件：一正二定三相等.典例讲评例9判断下列解题过程的正误：.2原式有最小值\12×xxx,21:解=³+x;,0)1(的最值求已知<1+xxx不满足“一正”典例讲评不满足“二定”.2212=+xx有最小值12=x,1=x时即当且仅当,2121:22=׳+xxx解;,21)2(³12+xx的最小值求时已知典例讲评不满足“三相等”典例讲评例10若x>0,y>0,且,求xy的最小值.

课堂小结1.不等式a2＋b2≥2ab与都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者a、b可为任意实数，后者规定a、b都是正数，但两者等号成立的条件相似.课堂小结2.基本不等式有多个形式，应用时含有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用.普通地，碰到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常运用基本不等式解决3.(1)a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)(2)如果a,b是正数，那么(当且仅当a=b时取等号)(当且仅当a=b时取等号)(当且仅当a=b时取等号)(4)(3)课堂小结典例讲评例1.（1）用篱笆围成一种面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？(2)一段长为36m的篱笆围成一种一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?典例讲评例2.某工