复变函数与积分变换 课件全套 第1-8章 复数与复变函数 -拉普拉氏变换

复变函数与积分变换2联系方式：办公室：浙江科技学院教学A区：

A4-207Email：1181867843@3学习方法：注意参照与对比高等数学有关的概念与方法来理解复变函数，但注意复变函数又有哪些地方不同于实变函数的。要求：1.认真听课，不能无故缺课(随机点名3次未到取消考试资格)2.按时认真完成作业（不能抄袭,缺交1/3以上的取消考试资格）3.及时复习所学内容4参考书目1、高教出版社《复变函数与积分变换学习辅导与习题选解》苏变萍王一平等编2、浙江大学出版社《复变函数与拉普拉斯变换》金忆丹编3、高等教育出版社《西安交通大学高等数学教研室编》，复变函数（第四版）4、盖云英、包革军编：复变函数与积分变换。科学出版社

5.华中科大：复变函数与积分变换，高等教育出版社。5

在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次引言包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及方程时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。在当时，Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之6

定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性

复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学弹性理论中平面问题的有力工具。

复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)

的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)

的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。7第一章复数与复变函数

自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.8§1.1复数及其表示法

一对有序实数（）构成一个复数，记为

.x,y分别称为z的实部和虚部,x=Re(z)，y=Im(z),

称为z的共轭复数。与实数不同,一般来说,任意两个复数不能比较大小.两个复数相等它们的实部和虚部都相等特别地，91.代数形式

:复数的表示法1)点表示yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴102)向量表示0xyxyqz=x+iy|z|=r11----复数z的辐角(argument)

记作Argz=q.任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足-p<q0

p的q0称为Argz的主值,记作q0=argz，则Argz=q0+2kp=argz+2kp(k为任意整数)----复数z的模12当z=0时,|z|=0,而辐角不确定.argz可由下列关系确定:132.指数形式与三角形式利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcosq,y=rsinq,可以将z表示成三角表示式: 利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:14例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.解：1)z在第三象限,所以因此152)显然,r=|z|=1,又因此16练习：解：写出的辐角和它的指数形式。17§1.2复数的运算设1.

四则运算18z1+z2=z2+z1;复数运算满足交换律,结合律和分配律:z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3;z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.19加减法与平行四边形法则的几何意义:20乘、除法的几何意义:,,,定理1

两个复数乘积的模等于它们模的乘积,两个复数乘积的辐角等于它们辐角的和.21几何上z1z2相当于将z2的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Argz1.0122例2：设求：解：若取则若取则23;当z10时,有定理2两个复数商的模等于它们模的商,两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.242.

乘方与开方运算1）乘方DeMoivre公式：252）开方:若满足，则称w为z的n次方根，记为

于是推得26从而z1/n的n个值就是以原点为圆心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。几何解释：27例2求解：因为所以28即四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy29§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形

很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.求下列方程所表示的曲线:30解：设z=x+iy

,

方程变为2-iOxy31

几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为y=-x,也可用代数的方法求出。Oxy-22iy=-x32设z=x+iy

,那么可得所求曲线的方程为y=-3.Oyxy=-333§1.4区域1.区域的概念平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|<d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0<|z-z0|<d所确定的点集为z0的去心邻域.z0d|z-z0|<d34

设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.

如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集.

平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:

1)D是一个开集;2)D是连通的.就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.

设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.35

区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作

D.

如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|<M,则称D为有界的,否则称为无界的.0M|z|<M36平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一条平面曲线,称为连续曲线.2.单连通域与多连通域如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(a

t

b)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.37

设C:z=z(t)(a

t

b)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.如果简单曲线C的起点与终点重合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.对于满足a<t1<b,a

t2

b的t1与t2,当t1

t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.38z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)39

任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.内部外部C40定义复平面上的一个连通区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域41

NSOxyPz3.复球面42

除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.

取一个与复平面切于原点z=0的球面,球面上的一点S与原点重合.通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N.称N为北极,S为南极.

对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点一一对应,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.43§1.5复变函数1.复变函数的定义定义设D是复平面中的一个点集,称为复变函数.其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数u,v.44例如,考察函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,则

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.因而函数w=z2对应于两个二元函数:

u=x2-y2,v=2xy452.映射的概念

函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果D中的点z被映射w=f(z)映射成G中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW46设函数w=z=x–iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w247

如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合D与集合G是一一对应的.48§1.6复变函数的极限和连续性1.函数的极限

定义设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<|z-z0|<r内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的e>0,相应地必有一正数d(e)(0<d

),使得当0<|z-z0|<d时有|f(z)-A|<e,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作或记作当z

z0时,f(z)A.49几何意义:

xyOz0dzOuvAef(z)50等价定义：

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则51运算性质：52当z0时的极限不存在例1证明函数证:令z=x+iy,则由此得53让z沿直线y=kx

趋于零,我们有故极限不存在.542.函数的连续性

则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续.55连续函数性质：(1)连续函数的四则运算仍然连续；(2)连续函数的复合函数仍然连续；(3)连续函数的模也连续；(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模在D上取到最大值与最小值;(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.56例1

讨论的连续性。x0057例2

讨论

解：的连续性。58第二章解析函数

59§2.1解析函数的概念

1复变函数的导数

定义2.1.1：存在,则就说f(z)在z0可导,此极限值就称为f(z)在z0的导数，记作应该注意：上述定义中的方式是任意的。60容易证明：可导可微；可导连续。如果f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在Ｄ内可导.

例1

求f(z)=z2

的导数。解:因为所以

f'(z)=2z.（即f(z)=z2

在复平面处处可导。）61求导法则与实函数同样的办法可得:

1)(c)'=0,其中c为复常数.

2)(zn)'=nzn-1,其中n为正整数.

3)[f(z)

g(z)]'=f'(z)g'(z).

4)[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z).6){f[g(z)]}'=f'(w)g'(z),其中w=g(z).62例2问f(z)=x+2yi是否可导?解：这里63所以f(z)=x+2yi

的导数不存在.（即f(z)=x+2yi

在整个复平面处处不可导.）64例3讨论的可导性。解：65所以在复平面上除原点外处处不可导。66

定义2.1.2

如果函数f（z）在点及的某个领域内处处可导,那么称f（z）在点解析（Analytic）。如果f（z）在区域D每一点解析，那么称f（z）在D内解析，或称f（z）是D内的一个解析函数(Analyticfunction),并把D叫做f（z）的解析区域（Analyticdomain）。如果函数f（z）在点处不解析，但在点的每一邻域内，总有若干个点使f（z）解析，则叫做的奇点（Singularpoint）。672.解析函数的概念函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。在区域内：否则称为奇点。68例如f(z)=z2

在整个复平面上解析；仅在原点可导，f(z)=x+2yi在整个复平面上不解析。故在整个复平面上不解析；69例4讨论函数f(z)=1/z的解析性.解：故f(z)=1/z除

z=0外处处解析；z=0是它的一个奇点。解析函数的性质：(1)

两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)

两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)

一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。70问题：对函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如何判别其解析（可导）性？我们也可以将它看作是变量x,y的二元函数,则对x求偏导和对y求偏导.717273称为柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程简称C-R方程74

定理2.1设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,并且在该点满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

75

定理2.2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内处处可微,并满足柯西-黎曼方程(2.3).推论：

设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内有定义，如果在D内u(x,y)和v(x,y)的四个偏导数ux,uy,vx,vy存在且连续，并且满足C-R方程，则

f(z)在D内解析.76

例5（1）如果f'(z)在区域D处处为零,则f(z)在D内为一常数.所以u=常数,v=常数,因而f(z)在D内是常数.证：因为77并且满足常数,则函数在区域D内必为常数.

证明：（2）证明:若函数在区域D内解析,为常数，即|f(z)|2=u2+v2=常数，分别两边求导，得78则函数在区域D内必为常数.

79例6解:

因为u=x,v=-y,可知柯西-黎曼方程不满足,所以函数在复平面内处处不可导,处处不解析.判断函数在何处可导,在何处解析?80判断函数解:在何处解析?例7

在何处可导,因为u=excosy,v=exsiny,由于上面四个偏导数都是连续的,所以f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且根据(2.4)式有

f'(z)=ex(cosy+isiny)=f(z)今后将知道这个函数就是指数函数ez.81判断函数解:在何处解析。例8

在何处可导,由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当x=y=0时,它们才满足柯西-黎曼方程,因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.82根据求导法则可知定理

1）在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(除去分母为零的点)在D内解析.2)设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析,函数w=f(h)在h平面上的区域G内解析.如果对D内的每一个点z,函数g(z)的对应值h都属于G,则复合函数w=f[g(z)]在D内解析.1.所有多项式在复平面内是处处解析的；2.任何一个有理分式函数P(z)/Q(z)在不含分母的零点的区域内是解析函数,使分母为零的点是它的奇点.83作业：P521(1,3,4);2（3，4）；3(3);

4；

5（1，2）。84

定义2.3如果二元实函数在区域D有二阶连续偏导数,且满足

或称函数在区域D内调和.则称为区域D内的调和函数§2.2解析函数和调和函数的关系§2.2.1调和函数的概念

二维拉普拉斯(Laplace)方程:85当f(z)

解析时μ,υ有任意的偏导数

则f(z)的实部μ(x,y)和虚部υ(x,y)都是区域

D内的调和函数.定理2.3设函数f(z)=μ(x,y)+iυ(x,y)在区域D内解析,证:因f(z)在区域D内解析,所以μ,υ在区域D内满足C-R方程:86在上述二式分别对x,y求偏导数,得则说u(x,y)是区域D内的调和函数.且u,v有任意阶连续偏导数

v(x,y)也是区域D内的调和函数.同样可得

87注：逆定理显然不成立，即

对区域D内的任意两个调和函数u,v,不一定是解析函数

.例如：是解析函数，不是解析函数。88§2.2.2共轭调和函数

在区域D内,f(z)的虚部υ(x,y)是实部μ(x,y)的共轭调和函数.已知共轭调和函数中的一个，可利用C-R方程求得另一个，从而构成一个解析函数。

定义2.4设函数及ψ(x,y)均为区域D内的调和函数,且满足C-R方程:定理2.4复变函数f(z)=μ(x,y)+iυ(x,y)在区域D内解析充分必要条件是:则称ψ(x,y)

是的共轭调和函数89方法1:偏积分法例1:验证μ(x,y)=x3-3xy2是调和函数,并求以μ(x,y)为实部的解析函数f(z),使之适合f(0)=i。解：由所以μ的二阶偏导数显然是连续的，故μ(x,y)为调和函数.求共轭调和函数方法§2.2.3解析函数与调和函数的关系90

由于91方法2:曲线积分法由C-R条件知道，函数μ决定了函数ν的微分，即

当D为单连通区域时，上式右端的积分与路径无关，而ν可以表示为：其中（x0,y0）为D内一定点，C为任意实常数类似地，可以从ν(x,y)求出μ(x,y).92

例2:求解析函数f(z)=μ+iv,已知μ=x2-y2+xy,

f(i)=-1+i.解：容易验证μ

是全平面上的调和函数.利用

C-R条件,先求v的两个偏导数.93结果得到则94作业：52页：7（1，3），895§2.3初等函数§2.3.1指数函数

定义：

性质：

9697例1解下列方程：解:98例2

解:

因为利用指数表示计算99100定义：§2.3.2对数函数101相应于辐角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为：则这时，有102三种对数函数的联系与区别：103例4

104例5

105例6

106性质：(2)Lnz为无穷多值函数，每两个值相差2πi的整数倍，107(4)除去原点与负实轴,lnz在复平面内处处解析：

今后我们应用对数函数Lnz时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.

问题：108定义：----单值函数----n值函数§2.3.3幂函数109----n值函数----无穷多值函数在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且110111定义：性质：(1)Euler公式仍然成立：(2)全平面解析函数，(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外)(4)sinz为奇函数，cosz为偶函数§2.3.4三角函数112例如(7)定义其他的三角函数：113§2.3.5反三角函数由函数所定义的函数

w称为z的反正切函数，记作由于令，得到114从而反正切函数是多值解析函数。所以115定义：

（1）全平面解析函数：（2）以2pi为基本周期的周期函数：（3）chz为偶函数,shz为奇函数。（4）与三角函数的关系：§2.3.6双曲函数116作业：P52:12(1);13(1);14;15(2,3);16117习题课

例2.1判断下列命题的真假，并说明理由。（1）若存在，则函数在点解析；（2）若是函数的奇点，则在点不可导；（3）若和的偏导数存在，则函数f（z）=+i可导。解都是假命题。（1）例如函数在0点处可导，但不解析。（2）0点为函数的奇点，但它在该点可导。（3）例如，的偏导数存在且连续，但函数在整个复平面上除去原点外不可导。118例2.2（1）讨论函数的解析性；（2）设为解析函数，确定的值。解（1）这四个偏导数连续（即可微）C—R方程在时成立。即在处可导，在全平面上不解析。119因为为解析函数，所以，

解得（2）120

例2.3计算（1）（2）解（1）（2）121第三章复变函数的积分

§3.1复积分的概念122122

1、复积分的概念及基本计算方法2、柯西-古萨积分定理3、复合闭路定理4、柯西积分公式与高阶导数公式第三章复变函数的积分本章主要内容：123123

1、有向曲线§1复变函数积分的概念特别申明今后所说的曲线总是指光滑或逐段光滑曲线,特别说明的例外。124124

闭曲线正向的定义:与之相反的方向就是曲线的负方向.曲线方向的说明:一般:曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C-对周线而言,逆时针方向为正方向,顺时针方向为负方向C125125

2、复积分的定义B

xyo（1）分割（2）取近似（3）求和126126

.

)

(

,

)

(

)

(

ò

®

C

dz

z

f

B

A

C

z

f

I

C

z

f

记作

的积分

从

沿曲线

为

上可积，上述极限值

在

则称

被积函数积分路径（4）取极限127127

----一元函数定积分的定义.注128128

3、积分存在的条件1.必要条件2.充分条件

将各函数代数化129129

因此积分存在的条件问题，归为寻求右端两个式子极限存在的条件问题，由分析可知，这只需u(x,y),v(x,y)均在C上连续即可，且极限分别为130130

这是实的第二型曲线积分记忆131131

4、复积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.被积函数的线性可加性132132

积分路径的可加性积分估值定理3.2133133

性质(5),(6)的证明两端取极限得[证毕]性质5积分估值定理134134

5、复积分计算的参数方程法若能写出C的参数方程为:C:z(t)=x(t)+iy(t)

t

则因为C是光滑曲线

x(t),y(t)

C[

,

]:135135

136136

定理设曲线C的参数方程为:z=z(t)=x(t)+iy(t)

t

2.f(z)沿曲线C连续

注:该公式可看成由下式形式相乘而得到137137

（1）连接z1和z2两点的线段的参数方程为几类常见曲线的复数方程（

2）138138

例12

，其中积分路径为C

计算

dz

z

I

c

=

ò

x1+io11yAB于是，解:(i)C的参数方程139139

可以看出，沿着不同的积分路径，该积分有相同的值.01+i1yxAB11140140

于是，03+4i34yx解:(i)C的参数方程AB141141

可以看出，沿着不同的积分路径，该积分有不同的值.03+4i34yxAB142142

例3解ox

y

r

C143143

综上所述，我们有

记住这一结果，后面经常用到，并且注意该结果与圆心、圆的半径没有关系144144

解：练习：这几题结果都跟有关！！！疑问：这里边到底有什么玄机呢？还需继续研究145145

例5i2+iOxy练习计算积分：146

（1）

（重要积分）（2）

解

的参数方程为

147（4）（3）148148

小

结1、了解积分的定义与性质2、掌握掌握积分的计算3、熟练掌握重要例子149作业P761(1,2);2(1).150第三章复变函数的积分

§3.2柯西积分定理151

复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分，这就很自然地引出积分与路径无关的问题.§2柯西-古萨积分定理151

1、

引言

我们的问题是：在什么条件下复变函数的积分与积分路径无关？此问题等价于沿任意的闭曲线积分是否等于零的问题.

152152

（1）被积函数f(z)=z2在复平面处处解析；复平面是单连通区域；结论：积分与积分路径无关。（2)被积函数在复平面处处不解析；复平面是单连通区域；结论：积分与积分路径有关。（3）结论：积分与积分路径有关。153153

由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值等于零的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的连通性有关.2、

柯西积分定理（4）还是上一个积分在去掉的区域内处处解析；此时的区域不是单连通区域；结论：积分与积分路径有关。154154

本定理得证明实际是计算积分的问题，其中一种方法为155155

推论1设f(z)在单连通区域D内解析，则在D内f(z)的积分与路径无关.

人们对此定理的评价是很高的，有人称之为

积分的基本定理或函数论的基本定理，还有人

认为它是研究复变函数论的一把钥匙。156

C2xyOC1z0z1157证:

取内任意两点与，设起点为

,终点为为连接与的任意

曲线,且连接成一个围线则从而158

例1求解的奇点为，在的外部，

故在以为边界的闭圆上解析，

。

故推论2

若f(z)在闭合曲线C上及C内无奇点，则159159

3、

原函数

当z在区域D内变化时，积分值也变化，并且该积分在D内确定了一个单值函数（变上限的单值函数），记作

当f(z)在单连通区域D内解析，则在D内积分与路径无关，即以为起点，z为终点的D内任何路径上的积分值都相等，可记为160160

定理2设f(z)在单连通区域D内解析，则F(z)在D内解析，且定义

若函数F(z)在区域D内的导数等于f(z)，即

,称F(z)为f(z)在D内的原函数.定理3：任何两个原函数相差一个常数。161161

定理4

设f(z)在单连通区域D内解析，

F(z)是f(z)的一个原函数，则--------复积分的牛顿—莱布尼兹公式说明：在区域单连通而函数解析的情况下，可用此公式求复变函数的积分，特别是处处解析的函数的积分。162162

例2计算下列积分：163，例3

求从－1到1的上半单位圆周。。

解由于在平面解析164

例4分析在为（1）从－1到1的上半单位圆周；（2）从－1到1的下半单位圆周；

（3）从－1到-1+2i再到1+2i，最后到1的折线段时三者的关系165xy-1-1+2i1O1+2iC1C2C3166

解：由于在平面仅有奇点故(1)=(3),(2)-(1)=2πi167167

定理54复合闭路定理下面把定理1推广多连通域上.168168

证明DC169169

此式说明一个解析函

数沿闭曲线的积分，

不因闭曲线在区域内

作连续变形而改变它

的积分值，只要在变

形过程中曲线不经过

f(z)的不解析点.

DCC1C1C1—闭路变形原理.170D变形过程中不能够经过f(z)不解析的点171。

例5

设为围线内部一点，求

解以为圆心作圆周,使全含于的内部,

，

则在内部、外部所成区域上解析，上连续在172CC’αDr173例6计算，其中（1）xy1CO174解:（1）由于的奇点在的内部，而奇点的外部，在。

。

故在上解析，

于是。

故175，其中xy1C1C22O（2）例6计算C1762）由于的奇点及均在的内部,故在内分别作以0、1为心，半径，

均为的小圆、，则在以、

，

及为边界的多连通区域内解析

解:故177例7计算的值,c为包含圆周|z|=1在内解:

函数在复平面内除z=0和z=1两个奇点由于C是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单的任何正向简单闭曲线.外是处处解析的.闭曲线,因此,它也包含这两个奇点.在C内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2,C1只包含奇点z=0,C2只包含奇点z=1.178xyO1C1C2C179则根据复合闭路定理,可得180小

结1、Cauchy—Goursat基本定理2、原函数、不定积分3、复合闭路定理181作业：

P76:5(1,2,4);6(1)182§3.3柯西积分公式183183

一、

问

题

的

提

出二、

柯

西

积

分

公

式三、

典

型

例

题四、

小

结

3.3柯西积分公式184184

一、问题的提出相同点：(1)均是沿围线的积分，且围线内只有一个奇点；(2)被积函数均为分式；(3)积分值均跟有关。上节课的两个结果C1C21xyo回忆185185

?186186

187187

二、柯西积分公式证188188

[证毕]189189

关于柯西积分公式的说明:(---这是解析函数的又一特征)结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等。?190190

(4)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周C上的平均值.(3)解析函数可用复积分表示191191

三、典型例题解：C2xyC1O192192

解：被积函数有奇点

i和

-i.OC1C2Ci-ixy193193

例3解194194

例5解

：

195195

四、小结196196

柯西积分公式197197

四、高阶导数公式

在以前的讨论中我们曾不止一次的看到：新东西的发现常常属于勤于观察、善于观察的人。提问：解析函数的导数仍是解析函数？经思索、观察，它可写成198198

提问：当f(z)满足一定条件时，会有199199

显然，该公式可视为柯西积分公式的推广.

如何记住公式？200200

它从理论上揭示了解析函数的又一重要特征.201201

证明利用数学归纳法和导数定义来证明定理6.202202

令为I

203203

204204

依次类推，用数学归纳法可得205205

解：C内有两个奇点0,-1.-1xyO思考题：206206

OC1C2Ci-ixy207207

208208

209209

210小结211作业：P76:4（3）；6(2,4，6，8)第四章解析函数的级数表示213

4.1复数项级数第四章解析函数的幂级数表示

4.2复变函数项级数

4.3泰勒级数

4.4洛朗级数214

1、

复数列的极限§4.1复数项级数复数数列一列无穷多个有序的复数215

定义4.1

不收敛的数列称为发散数列.216

证明218

该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商

仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.219

2、复数项级数级数前n项的和

---级数的部分和

---无穷级数

定义4.2

设复数列220

说明:

与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:221

根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法.事实上，由于判断级数是否收敛，实际上比较困难.定理4.2222

解所以原级数发散.课堂练习所以原级数收敛.223

常见实级数敛散性判别法：1）比较法；2）比值法；3）根值法；4）交错级数的莱布尼兹判别法.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.224

证明225

定义4.4思考226

判断复数项级数收敛的方法：(5)定义及其他方法227

解例2228

229

§4.2复变函数项级数1、复变函数项级数定义1

设复变函数列：-----称为复变函数项级数；

级数前n项的和

-----级数的部分和；

231

232

2、幂级数

的复函数项级数称为幂级数,其中

c0,c1,c2,…,a都是复常数.

幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.形如若令z←z-a,则以上幂级数还可以写成如下形式233

定理4.5（阿贝尔定理)：z0收敛点0.xyz0发散点0.yx234

证明235

(2)用反证法，对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.236

定理4.5（阿贝尔定理)：(1)对所有的复数z都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.收敛半径为

例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.3、幂级数的收敛圆与收敛半径(2)除

z=0外都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.收敛半径为零。例如,级数故级数发散.通项不趋于零,239

显然，

<

.

否则，级数将在

处发散.240

使得该级数在圆内绝对收敛，而在圆的外部发散。..收敛圆收敛半径收敛圆周幂级数的收敛范围是以a点为中心的圆域.241

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.242

如何求幂级数的收敛半径呢?我们先讨论下面的一个定理:xyO243

xyO244

0((达朗贝尔）

柯西定理4.7

合于的系数如果幂级数)()()(比值法)(根值法)245

例1解

所以

246

思考题:提示:本题不能直接利用定理4.7（为什么？）.综上247

例2求下列幂级数的收敛半径：

解

(1)也可以利用绝对收敛比值判别法的思想，直接计算。248

249

4、幂级数的性质

---幂级数的逐项求导运算250

---幂级数的逐项积分运算

实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导至任意阶导数.注：定理4.8为今后将函数展开成幂级数提供了极大的方便.251

5、幂级数的运算与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算.

---幂级数的加、减运算则252

---幂级数的乘法运算（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数.）对角线法253

对角线法则254

在函数展成幂级数中很有用注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立.但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径.

---幂级数的代换(复合)运算255

例3解：注意到所以代换展开256

还原257

本讲小结1、级数收敛的定义和性质2、Abel定理3、幂级数的收敛半径4、幂级数的性质258

非凡的数学家——阿贝尔Abel,NielsHenrik,1802-1829挪威数学家1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题1825年建议克莱尔创办了《纯粹与应用数学杂志》1823年，发表了关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的论文。259

非凡的数学家——阿贝尔阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。丹麦数学家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：“...与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。 阿贝尔18岁时，父亲去世了，这使生活变得更加贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信都未开封。

261

1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。

1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般性质”的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非常自信地说：“...已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅,恐怕还没有来262得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待...。”

可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（ChristineKemp）欢度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究。他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度263

当过代课教师。阿贝尔和雅可比（CarlGustavJacobi1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。在这个时候，阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传遍了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊，在1829年3月14日写信给巴黎科学264

院表示抗议：“...这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽然向‘老爷们’的研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？...”。而由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了

1829年4月5日夜间，阿贝尔的病情急剧恶化，于4月6日上午11点去世。作为命运捉弄人的是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“...我国教育部决定招聘您为柏林大学教授...，一个月之内就能发出招聘书...。”这封信还提到，希望阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用支出。他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满面。

第四章解析函数的幂级数表示§4.3泰勒级数

我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆内是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？1、泰勒展开定理

对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点处具有任意阶导数.

对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的.267

预备知识2）公式

(<1)(zD)3)(解析函数的无穷可微性)268

定理1（Taylor定理）即269

Dk

证明：由柯西积分公式270

Dk

z把上面的式子代入(*),271

泰勒级数泰勒系数

事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor级数，因而是唯一的.注(1)

若f(z)有奇点，那么f(z)在解析点

的Taylor展开式的收敛半径R等于点

到f(z)的最近的一个奇点

之间的距离，即274

(1)直接法----利用公式;(2)间接法----由已知函数的展开式，运用级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等方法来展开.函数展开成Taylor级数的方法：例如275

2、几个初等函数的泰勒展开式例1解:276

277

例2把下列函数展开成

z的幂级数:解:-1OR=1xy279

(2)因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,所以它的展开式的收敛范围为

z

<1.注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致.（逐项积分、求导，收敛半径不变）280

一些常用展开式281

例3将函数展开为z-i的级数。解:f(z)只有一个奇点,其收敛半径为

解：例4将函数按z-1的幂展开，并指明其收敛范围.f(z)有奇点-2，其收敛半径为285

思考题

解286

泰勒

(1685–1731)英国数学家，早期牛顿派最优秀的代表人物之一。《正的和反的增量方法》(1715)

《线性透视论》(1719)

他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.第四章解析函数的幂级数表示例如，都不解析,但在圆环域及内都是解析的.而所以即内可以展开成级数.§4洛朗(Laurent)级数也可以展开成级数：由此推想，若f(z)在R

1<

z-z0

<R2

内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即290

1、双边幂级数---含有正负幂项的级数定义

具有如下形式的级数称为双边幂级数，正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：同时收敛f2(z)f(z)解析部分非负幂项部分f1(z)主要部分负幂项部分收敛收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:R1aRrH结论:

.

常见的特殊圆环域:.

.

.

294

现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出的问题.关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面要讨论的洛朗定理.定理

C为圆环域内绕

的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.2.函数展开成双边幂级数296

说明:的推广，泰勒级数是洛朗级数的特殊情形；

1)洛朗(Laurent)级数是泰勒级数3)一个函数可以在几个圆环内解析，在不同的圆环内洛朗展开式是不同的，但在同一圆环域内，不论用何种方法展开，所得的洛朗展开式唯一。即展开式唯一.常用方法

:1.直接法

2.间接法

1.直接展开法

利用定理公式计算系数然后写出3.函数的洛朗展开2.间接展开法用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开

.缺点麻烦优点简捷例1解：例2解：例2内是处处解析的,试把

f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解

o

x

y

1302

12o

x

y

由且仍有2o

x

y

由此时仍有305

解

(1)在(最大的)去心邻域例3yxo12306

(2)在(最大的)去心邻域xo12练习：y307

例4：计算积分解：练习：计算积分提示：308

洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题

洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;思考题答案是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域309

Laurent级数先求f(z)的奇点，然后以z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环，在环域上展成级数。Laurent级数与Taylor级数的不同点：Taylor级数先展开求R,找出收敛域。本讲内容小结1、双边幂级数（函数展成洛朗级数的条件，系数计算公式）2、洛朗展开定理3、函数的间接展开第五章

留数及其应用第五章留数及其应用1、孤立奇点2、留数3、留数在计算定积分中的应用§1孤立奇点1、孤立奇点的定义定义1

.

)

(

,

0

,

)

(

0

0

0

0

的孤立奇点

为

则称

内解析

的某个去心邻域

但在

处不解析

在

若

z

f

z

z

z

z

z

z

f

d

<

-

<

例如孤立奇点奇点未必是孤立的.

若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.2、孤立奇点的分类注2.1可去奇点：展式中不含z-z0负幂项，即特点?“可去”一词的解释?和函数（从新定义）因为2.2极点：展式中仅含有有限多个z-z0负幂项，即特点?2.3本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项,

特点?3、函数在孤立奇点的性质若z0为

f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：性质1（可去奇点的判定定理）证：只须证显然由极限定义即可其中由于性质2（m级极点的特征）若为f(z)

的孤立奇点，则下列条件等价：证：去心邻域则例如：为f(