复变函数与积分变换 课件 第3、4章 复变函数的积分、解析函数的级数表示

1第三章复变函数的积分

§3.1复积分的概念22

1、复积分的概念及基本计算方法2、柯西-古萨积分定理3、复合闭路定理4、柯西积分公式与高阶导数公式第三章复变函数的积分本章主要内容：33

1、有向曲线§1复变函数积分的概念特别申明今后所说的曲线总是指光滑或逐段光滑曲线,特别说明的例外。44

闭曲线正向的定义:与之相反的方向就是曲线的负方向.曲线方向的说明:一般:曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C-对周线而言,逆时针方向为正方向,顺时针方向为负方向C55

2、复积分的定义B

xyo（1）分割（2）取近似（3）求和66

.

)

(

,

)

(

)

(

ò

®

C

dz

z

f

B

A

C

z

f

I

C

z

f

记作

的积分

从

沿曲线

为

上可积，上述极限值

在

则称

被积函数积分路径（4）取极限77

----一元函数定积分的定义.注88

3、积分存在的条件1.必要条件2.充分条件

将各函数代数化99

因此积分存在的条件问题，归为寻求右端两个式子极限存在的条件问题，由分析可知，这只需u(x,y),v(x,y)均在C上连续即可，且极限分别为1010

这是实的第二型曲线积分记忆1111

4、复积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.被积函数的线性可加性1212

积分路径的可加性积分估值定理3.21313

性质(5),(6)的证明两端取极限得[证毕]性质5积分估值定理1414

5、复积分计算的参数方程法若能写出C的参数方程为:C:z(t)=x(t)+iy(t)

t

则因为C是光滑曲线

x(t),y(t)

C[

,

]:1515

1616

定理设曲线C的参数方程为:z=z(t)=x(t)+iy(t)

t

2.f(z)沿曲线C连续

注:该公式可看成由下式形式相乘而得到1717

（1）连接z1和z2两点的线段的参数方程为几类常见曲线的复数方程（

2）1818

例12

，其中积分路径为C

计算

dz

z

I

c

=

ò

x1+io11yAB于是，解:(i)C的参数方程1919

可以看出，沿着不同的积分路径，该积分有相同的值.01+i1yxAB112020

于是，03+4i34yx解:(i)C的参数方程AB2121

可以看出，沿着不同的积分路径，该积分有不同的值.03+4i34yxAB2222

例3解ox

y

r

C2323

综上所述，我们有

记住这一结果，后面经常用到，并且注意该结果与圆心、圆的半径没有关系2424

解：练习：这几题结果都跟有关！！！疑问：这里边到底有什么玄机呢？还需继续研究2525

例5i2+iOxy练习计算积分：26

（1）

（重要积分）（2）

解

的参数方程为

27（4）（3）2828

小

结1、了解积分的定义与性质2、掌握掌握积分的计算3、熟练掌握重要例子29作业P761(1,2);2(1).30第三章复变函数的积分

§3.2柯西积分定理31

复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分，这就很自然地引出积分与路径无关的问题.§2柯西-古萨积分定理31

1、

引言

我们的问题是：在什么条件下复变函数的积分与积分路径无关？此问题等价于沿任意的闭曲线积分是否等于零的问题.

3232

（1）被积函数f(z)=z2在复平面处处解析；复平面是单连通区域；结论：积分与积分路径无关。（2)被积函数在复平面处处不解析；复平面是单连通区域；结论：积分与积分路径有关。（3）结论：积分与积分路径有关。3333

由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值等于零的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的连通性有关.2、

柯西积分定理（4）还是上一个积分在去掉的区域内处处解析；此时的区域不是单连通区域；结论：积分与积分路径有关。3434

本定理得证明实际是计算积分的问题，其中一种方法为3535

推论1设f(z)在单连通区域D内解析，则在D内f(z)的积分与路径无关.

人们对此定理的评价是很高的，有人称之为

积分的基本定理或函数论的基本定理，还有人

认为它是研究复变函数论的一把钥匙。36

C2xyOC1z0z137证:

取内任意两点与，设起点为

,终点为为连接与的任意

曲线,且连接成一个围线则从而38

例1求解的奇点为，在的外部，

故在以为边界的闭圆上解析，

。

故推论2

若f(z)在闭合曲线C上及C内无奇点，则3939

3、

原函数

当z在区域D内变化时，积分值也变化，并且该积分在D内确定了一个单值函数（变上限的单值函数），记作

当f(z)在单连通区域D内解析，则在D内积分与路径无关，即以为起点，z为终点的D内任何路径上的积分值都相等，可记为4040

定理2设f(z)在单连通区域D内解析，则F(z)在D内解析，且定义

若函数F(z)在区域D内的导数等于f(z)，即

,称F(z)为f(z)在D内的原函数.定理3：任何两个原函数相差一个常数。4141

定理4

设f(z)在单连通区域D内解析，

F(z)是f(z)的一个原函数，则--------复积分的牛顿—莱布尼兹公式说明：在区域单连通而函数解析的情况下，可用此公式求复变函数的积分，特别是处处解析的函数的积分。4242

例2计算下列积分：43，例3

求从－1到1的上半单位圆周。。

解由于在平面解析44

例4分析在为（1）从－1到1的上半单位圆周；（2）从－1到1的下半单位圆周；

（3）从－1到-1+2i再到1+2i，最后到1的折线段时三者的关系45xy-1-1+2i1O1+2iC1C2C346

解：由于在平面仅有奇点故(1)=(3),(2)-(1)=2πi4747

定理54复合闭路定理下面把定理1推广多连通域上.4848

证明DC4949

此式说明一个解析函

数沿闭曲线的积分，

不因闭曲线在区域内

作连续变形而改变它

的积分值，只要在变

形过程中曲线不经过

f(z)的不解析点.

DCC1C1C1—闭路变形原理.50D变形过程中不能够经过f(z)不解析的点51。

例5

设为围线内部一点，求

解以为圆心作圆周,使全含于的内部,

，

则在内部、外部所成区域上解析，上连续在52CC’αDr53例6计算，其中（1）xy1CO54解:（1）由于的奇点在的内部，而奇点的外部，在。

。

故在上解析，

于是。

故55，其中xy1C1C22O（2）例6计算C562）由于的奇点及均在的内部,故在内分别作以0、1为心，半径，

均为的小圆、，则在以、

，

及为边界的多连通区域内解析

解:故57例7计算的值,c为包含圆周|z|=1在内解:

函数在复平面内除z=0和z=1两个奇点由于C是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单的任何正向简单闭曲线.外是处处解析的.闭曲线,因此,它也包含这两个奇点.在C内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2,C1只包含奇点z=0,C2只包含奇点z=1.58xyO1C1C2C59则根据复合闭路定理,可得60小

结1、Cauchy—Goursat基本定理2、原函数、不定积分3、复合闭路定理61作业：

P76:5(1,2,4);6(1)62§3.3柯西积分公式6363

一、

问

题

的

提

出二、

柯

西

积

分

公

式三、

典

型

例

题四、

小

结

3.3柯西积分公式6464

一、问题的提出相同点：(1)均是沿围线的积分，且围线内只有一个奇点；(2)被积函数均为分式；(3)积分值均跟有关。上节课的两个结果C1C21xyo回忆6565

?6666

6767

二、柯西积分公式证6868

[证毕]6969

关于柯西积分公式的说明:(---这是解析函数的又一特征)结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等。?7070

(4)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周C上的平均值.(3)解析函数可用复积分表示7171

三、典型例题解：C2xyC1O7272

解：被积函数有奇点

i和

-i.OC1C2Ci-ixy7373

例3解7474

例5解

：

7575

四、小结7676

柯西积分公式7777

四、高阶导数公式

在以前的讨论中我们曾不止一次的看到：新东西的发现常常属于勤于观察、善于观察的人。提问：解析函数的导数仍是解析函数？经思索、观察，它可写成7878

提问：当f(z)满足一定条件时，会有7979

显然，该公式可视为柯西积分公式的推广.

如何记住公式？8080

它从理论上揭示了解析函数的又一重要特征.8181

证明利用数学归纳法和导数定义来证明定理6.8282

令为I

8383

8484

依次类推，用数学归纳法可得8585

解：C内有两个奇点0,-1.-1xyO思考题：8686

OC1C2Ci-ixy8787

8888

8989

90小结91作业：P76:4（3）；6(2,4，6，8)第四章解析函数的级数表示93

4.1复数项级数第四章解析函数的幂级数表示

4.2复变函数项级数

4.3泰勒级数

4.4洛朗级数94

1、

复数列的极限§4.1复数项级数复数数列一列无穷多个有序的复数95

定义4.1

不收敛的数列称为发散数列.96

证明98

该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商

仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.99

2、复数项级数级数前n项的和

---级数的部分和

---无穷级数

定义4.2

设复数列100

说明:

与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:101

根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法.事实上，由于判断级数是否收敛，实际上比较困难.定理4.2102

解所以原级数发散.课堂练习所以原级数收敛.103

常见实级数敛散性判别法：1）比较法；2）比值法；3）根值法；4）交错级数的莱布尼兹判别法.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.104

证明105

定义4.4思考106

判断复数项级数收敛的方法：(5)定义及其他方法107

解例2108

109

§4.2复变函数项级数1、复变函数项级数定义1

设复变函数列：-----称为复变函数项级数；

级数前n项的和

-----级数的部分和；

111

112

2、幂级数

的复函数项级数称为幂级数,其中

c0,c1,c2,…,a都是复常数.

幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.形如若令z←z-a,则以上幂级数还可以写成如下形式113

定理4.5（阿贝尔定理)：z0收敛点0.xyz0发散点0.yx114

证明115

(2)用反证法，对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.116

定理4.5（阿贝尔定理)：(1)对所有的复数z都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.收敛半径为

例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.3、幂级数的收敛圆与收敛半径(2)除

z=0外都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.收敛半径为零。例如,级数故级数发散.通项不趋于零,119

显然，

<

.

否则，级数将在

处发散.120

使得该级数在圆内绝对收敛，而在圆的外部发散。..收敛圆收敛半径收敛圆周幂级数的收敛范围是以a点为中心的圆域.121

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.122

如何求幂级数的收敛半径呢?我们先讨论下面的一个定理:xyO123

xyO124

0((达朗贝尔）

柯西定理4.7

合于的系数如果幂级数)()()(比值法)(根值法)125

例1解

所以

126

思考题:提示:本题不能直接利用定理4.7（为什么？）.综上127

例2求下列幂级数的收敛半径：

解

(1)也可以利用绝对收敛比值判别法的思想，直接计算。128

129

4、幂级数的性质

---幂级数的逐项求导运算130

---幂级数的逐项积分运算

实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导至任意阶导数.注：定理4.8为今后将函数展开成幂级数提供了极大的方便.131

5、幂级数的运算与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算.

---幂级数的加、减运算则132

---幂级数的乘法运算（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数.）对角线法133

对角线法则134

在函数展成幂级数中很有用注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立.但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径.

---幂级数的代换(复合)运算135

例3解：注意到所以代换展开136

还原137

本讲小结1、级数收敛的定义和性质2、Abel定理3、幂级数的收敛半径4、幂级数的性质138

非凡的数学家——阿贝尔Abel,NielsHenrik,1802-1829挪威数学家1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题1825年建议克莱尔创办了《纯粹与应用数学杂志》1823年，发表了关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的论文。139

非凡的数学家——阿贝尔阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。丹麦数学家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：“...与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。 阿贝尔18岁时，父亲去世了，这使生活变得更加贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信都未开封。

141

1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。

1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般性质”的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非常自信地说：“...已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅,恐怕还没有来142得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待...。”

可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（ChristineKemp）欢度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究。他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度143

当过代课教师。阿贝尔和雅可比（CarlGustavJacobi1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。在这个时候，阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传遍了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊，在1829年3月14日写信给巴黎科学144

院表示抗议：“...这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽然向‘老爷们’的研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？...”。而由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了

1829年4月5日夜间，阿贝尔的病情急剧恶化，于4月6日上午11点去世。作为命运捉弄人的是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“...我国教育部决定招聘您为柏林大学教授...，一个月之内就能发出招聘书...。”这封信还提到，希望阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用支出。他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满面。

第四章解析函数的幂级数表示§4.3泰勒级数

我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆内是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？1、泰勒展开定理

对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点处具有任意阶导数.

对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的.147

预备知识2）公式

(<1)(zD)3)(解析函数的无穷可微性)148

定理1（Taylor定理）即149

Dk

证明：由柯西积分公式150

Dk

z把上面的式子代入(*),151

泰勒级数泰勒系数

事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor级数，因而是唯一的.注(1)

若f(z)有奇点，那么f(z)在解析点

的Taylor展开式的收敛半径R等于点

到f(z)的最近的一个奇点

之间的距离，即154

(1)直接法----利用公式;(2)间接法----由已知函数的展开式，运用级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等方法来展开.函数展开成Taylor级数的方法：例如155

2、几个初等函数的泰勒展开式例1解:156

157

例2把下列函数展开成

z的幂级数:解:-1OR=1xy159

(2)因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,所以它的展开式的收敛范围为

z

<1.注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致.（逐项积分、求导，收敛半径不变）160

一些常用展开式161

例3将函数展开为z-i的级数。解:f(z)只有一个奇点,其收敛半径为

解：例4将函数按z-1的幂展开，并指明其收敛范围.f(z)有奇点-2，其收敛半径为165

思考题

解166

泰勒

(1685–1731)英国数学家，早期牛顿派最优秀的代表人物之一。《正的和反的增量方法》(1715)

《线性透视论》(1719)

他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.第四章解析函数的幂级数表示例如，都不解析,但在圆环域及内都是解析的.而所以即内可以展开成级数.§4洛朗(Laurent)级数也可以展开成级数：由此推想，若f(z)在R

1<

z-