广东省深圳市2015届高三第一次调研考试数学理试题

PAGE2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合，集合，则＝（）A.B。C。D。Oxy图11-12、已知复数满足（其中为虚数单位），则Oxy图11-1A.B。C。D。3、若函数的部分图象如图1所示，则A.B。C.D。4、已知实数满足不等式组，则的最大值为（）A.3B。4C。6D。9已知直线，平面，且，，则“”是“”的（）充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件图26、执行如图2所示的程序框图，则输出S的值为（）图2A.16B。25C。36D。497、在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（）A.B。C。D。8、如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列…，若，则（）A.83B。82C。39D。37填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。的展开式中常数项为.（用数字表示）已知向量，，若，则的最小值为已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长为设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。图3（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线：与曲线相交于A，B两点，则｜AB｜＝图3（几何证明选讲选做题）如图3，在中，，，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙与AC相切于点E。若BC＝6，则DE的长为三、解答题16、（本小题满分12分）函数（）的最小正周期是．（1）求的值；（2）若，且，求的值．17、（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．12345678CDACBCDA二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．．三、解答题16．解：（1）的周期，即，…………1分，由，得，即．……3分．………………5分（2）由得，………………7分又，，……………8分，…………9分．．…………12分【说明】本小题主要考查了三角函数的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．17、解:（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0,50)[50，100）[100,150)[150,200)城市频数21261…………………2分（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，…………………3分从“轻度污染”类城市中抽取个，……………4分所以抽出的“良好”类城市为个，抽出的“轻度污染”类城市为个．根据题意的所有可能取值为：．,，．………8分的分布列为：所以．………………11分答：的数学期望为个．…………………12分【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．Az图1O(BAz图1O(B)PyCx由三视图知和是直角三角形．……3分（2）（法一）：如图2，过作交于点，由三视图知为等腰三角形，，，，取的中点，过作且交于点，连接，，EFHAz图2OEFHAz图2O(B)PyCx且面，所以，又由，所以面，由面，所以，，所以面，由面，所以，所以是二面角的平面角．………6分，，，，……8分在直角中，有．所以，二面角的正切值为．………9分（法二）：如图3，过作交于点，由三视图知为等腰三角形，HAz图3HAz图3O(B)PyCx由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：，，，，则，，，,设平面、平面的法向量分别为、．设，由，，得，令，得，，即．…6分设，由，，得，令，得，，即．………7分，．…8分而二面角的大小为锐角，所以二面角的正切值为．…9分（法一）：记到面的距离为，由（1）、（2）知，，，………………12分三棱锥的体积，……13分由，可得：．………14分（法二）：由（2）知，平面的法向量，记到面的距离为，．………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19、解：（1）（法一）：数列的首项，公差，，，………2分，……………3分整理得解得或（舍去）．……………4分因此，数列的通项．………5分（法二）：由题意得，…………………1分数列是等差数列，，……………2分，即．………3分又，，解得或（舍去）．…………………4分因此，数列的通项．………5分（2）=1\*GB3①，．…………6分令，则有，．当时，，．………8分因此，数列的通项．………9分=2\*GB3②，，，………10分若数列为等比数列，则有，即，解得或．………11分当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以，存在实数使得数列为等比数列．………………14分【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．20、解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得，故椭圆的方程可设为，则椭圆的右焦点坐标为，过右焦点倾斜角为的直线方程为．………2分设直线与椭圆的交点记为，由消去，得，解得，因为，解得．故椭圆的方程为．……………………4分（2）（法一）（=1\*romani）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程，得，……5分消去并整理，得，…………6分因为直线和椭圆有且仅有一个交点，，………7分化简并整理，得．…………8分因为直线与垂直，所以直线的方程为：，联立解得………9分，把代入上式得．=1\*GB3①…………………11分（=2\*romanii）当切线的斜率为时，此时，符合=1\*GB3①式．…………12分（=3\*romaniii）当切线的斜率不存在时，此时或，符合=1\*GB3①式．………13分综上所述，点的轨迹方程为．………14分（法二）：设点的坐标为，（=1\*romani）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，同解法一，得，=1\*GB3①…………8分因为直线与垂直，所以直线的方程为：，联立解得=2\*GB3②…9分=2\*GB3②代入=1\*GB3①并整理，有，…10分即，由点与点不重合，，，=3\*GB3③……………………11分（=2\*romanii）当切线的斜率为时，此时，符合=3\*GB3③式．…………12分（=3\*romaniii）当切线的斜率不存在时，此时或，符合=3\*GB3③式．………13分综上所述，点的轨迹方程为．………14分（法三）：设点的坐标为，（=1\*romani）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，整理，得的方程为，5分联立直线和椭圆的方程，得，消去并整理，得，……6分因为直线和椭圆有且仅有一个交点，，………7分化简并整理，得，=1\*GB3①………8分因为与直线垂直，有，=2\*GB3②……9分=2\*GB3②代入=1\*GB3①并整理，有，…10分即，点与点不重合，，，=3\*GB3③………………11分（=2\*romanii）当切线的斜率为时，此时，符合=3\*GB3③式．…………12分（=3\*romaniii）当切线的斜率不存在时，此时或，符合=3\*GB3③式．………13分综上所述，点的轨迹方程为．………14分【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21、解：（1）为奇函数，．当时，，则，………2分时，，，，的值域为．…………………3分图a（2）①函数的图象如图所示，当时，方程图a有三个实根；当或时，方程只有一个实根；当或时，方程有两个实根．（法一）：由，解得，的值域为，只需研究函数在上的图象特征．设，，，令，得，．图b当时，，当时，，图b又，即，由，，得，的大致图象如图所示．根据图象可知，当时，直线与函数的图像仅有一个交点，则函数在上仅有一个零点，记零点为，则分别在区间、、上，根据图像，方程有两个交点，因此函数有两个零点．…………5分类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、、这三个零点．………………6分当时，函数在上有两个零点，一个零点是，另一个零点在内，因此函数有三个零点．…………7分当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点．……………8分当时，函数在上没有零点，因此函数没有零点．………9分（法二）：，令，得，，．当时，，当时，，当时，取得极大值．图c（Ⅰ）当的极大值，即时，函数在区间上无零点，因此函数无零点．图c（Ⅱ）当的极大值，即时，，函数的图像如图所示，函数有零点．由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．图d（Ⅲ）当的极大值且，图d即时，在上单调递增，因为，，函数的图像如图所示，函数在存在唯一零点，其中．图e由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．图e（Ⅳ）当的极大值且，即时：由，得，由，得，图f根据法一中的证明有．图f（ⅰ）当时，，，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中．由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．（ⅱ）当时，，，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点．图g由图可知方程有三个不等的实根，因此函数有三个零点．图g（ⅲ）当时，，，函数的图像如图所示，函数在