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高中数学人民教育出版社A版选择性必修第二册第四章数列4.4数学归纳法（第二课时）问题1什么时候需要应用数学归纳法？数学归纳法一般被用于证明与正整数n有关的命题.证明对任意的正整数n，等式

恒成立.不必应用数学归纳法难以应用数学归纳法证明

(n∈N*)的单调性.问题导入追问1

追问2即n=k+1时等式成立.所以等式对一切自然数均成立.思考1：甲同学猜想用数学归纳法证明步骤如下：证明：假设n=k时等式成立，即那么n=k+1时上述证法是正确的吗？为什么？问题导入问题导入上述证明是错误的，事实上命题本身是错误的当n=1时，左边=1，右边=0左边≠右边第一步是递推的基础思考2：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么？问题导入第二步证明n=k+1时，必须用归纳假设

第二步要证命题“若P(k)（k∈N*，k≥n0）为真则P(k＋1)也为真”.方法归纳问题2怎样正确地使用数学归纳法？

不能缺少第一步的验证；用上假设，递推才真合作探究

例2用数学归纳法证明：

①证明：（1）当n=1时，①式的左边=，

右边=，所以①式成立.（2）假设当时，①式成立，即

，在上式两边同时加上，有即当n=k+1时，①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何都成立.

例题讲解目标例3已知数列满足

，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.由

，可得

由

可得

同理可得

归纳上述结果，猜想

①解：例题讲解例3已知数列满足

，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当n=1时，①式的左边=，右边=，猜想成立.（2）假设当时，①式成立，即

那么

即当n=k+1时，猜想也成立.由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.

例题讲解

①例4设

x

为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，，…，，…的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例题讲解例4设

x

为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，，…，，…

的前n项和为，试观察比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.解法一：由已知可得

当n=3时，，

由，可得.由此，我们猜想，当且时，例题讲解下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立.（2）假设当

时，不等式成立，即

由，可得

，所以

于是

所以，当n=k+1时，不等式也成立由（1）（2）可知，不等式

对于任何大于1的正整数n都成立.例题讲解

解法一：例4设

x

为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，，…，，…

的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.解法二：显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是当n=2时，

，由，可得

；当n=3时，

，由，可得.由此，我们猜想，当且时，

例题讲解下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立.（2）假设当时，不等式成立，即,所以

于是

所以，当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对于任何大于1的正整数n

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