第二十二章 四边形（章末测试）-2024-2025学年八年级数学下册（冀教版）含答案

第二十二章四边形章末测试

（试卷满分100分，考试用时90分钟）

一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.如图，在口“BCD中，下列说法一定正确的是（）

A.AB=ADB.AO=BOC.OC=ODD.AD=BC

2.一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形的边数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.如图，已知正方形4BCD,把边DC绕点。顺时针旋转30。到。。处，连接NO、BO、

CO,贝吐80c的度数为（）

A.150°B.45°C.60°D.75°

4.如图，平行四边形的对角线NC与AD相交于点O,AB1AC,若N3=6,

AC=8,则8。的长是（）

C.4V13D.12

试卷第1页，共8页

5.如图，在菱形NBC。中，分别以3、C为圆心，大于;8C为半径画弧，两弧分别交于点

p、Q,连接尸0,若直线尸。恰好过点。与边8c交于点E,连接4E,则下列结论错误的

是（）

A.ZCBA=12O°B.若/。=3,则/石=些

2

c.BE=；DED.Sx2s*

6.如图，菱形的对角线NC、2。相交于点O,过点。作。于点”，连接

OH,若。4=3,OH=2,则菱形48。的面积为（）

A.12B.18C.6D.2

7.如图，在矩形N2C。中，对角线相交于点。，过点。的直线分别交2c边于

点£,F,若/8=2,/。=4,则图中阴影部分的面积为（）

8.如图，在△NBC中，D,E分别是N8,NC的中点，甲、乙两名同学分别作了一种辅助

线，其中辅助线作法能证明三角形的中位线定理的是（）

甲乙

试卷第2页，共8页

如图，延长到点尸，使好=。£,连如图，过点E作GEIM8,过点A作

接CD,AF,CF.AF//BC,GE与AF交于点、F.

A.甲、乙的辅助线作法都可以B.甲、乙的辅助线作法都不可以

C.甲的辅助线作法可以，乙的不可以D.乙的辅助线作法可以，甲的不可以

9.如图，点E,F,G,反分别为四边形4BCD的边AB,BC,CD,。的中点，下列说

法中不正确的是（）

A.四边形£尸G”一定是平行四边形

B.若AC=BD,则四边形EFG”是菱形

C.若/CLAD,则四边形E尸G”是矩形

D.若四边形是矩形，则四边形跖G”是正方形

10.正方形48c0，A2B2c2c1,483C3C2,…按如图所示的方式放置•点4,4,4,…和点

G，G，…分别在直线>=依+6和x轴上，已知点4（1,1）,C（3,2）,则纥的坐标是

C.(2n-l,2n-V)D.(2〃一1,几)

11.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果/1=50。，Z2=40°,

试卷第3页，共8页

那么N3的度数等于（）

A.20°B.18°C.15°D.12°

12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=a，点P在AD上，且AP=2,点E是边AB上的

动点，以PE为边作直角4EPF,射线PF交BC于点F,连接EF,给出下列结论：©tanZPFE=

};②a的最小值为10.则下列说法正确的是（）

A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错②对

二.填空题：本题共4小题，每空2分，共12分

13.如图，矩形ABCD中，AB=1,AD=2,点E是边AD上的一个动点，把ABAE沿BE

折叠，点A落在A，处，如果A”恰在矩形的对称轴上，则AE的长为

14.如图，菱形48。的对角线/C,BD的长分别是3和6,则菱形/BCD的面积是.

15.如图，3。垂直平分NC,交/C于E,=垂足为AF=DF=5,

AD=6,则AC的长为.

试卷第4页，共8页

16.光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者

在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理.

（1）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），。表示入

射光线，b表示反射光线，a//b.平面镜48与3c的夹角贝|a=

（2）如图③，若a=108。，设平面镜CD与8c的夹角N8CD=£（90。＜£＜180。），入射光线

。与平面镜的夹角为x（0。＜》＜90。），已知入射光线。从平面镜开始反射，经过2

或3次反射，当反射光线6与入射光线。平行时,请直接写出£=—.（可用含x的代数式

表示）

眼睛

图①图②图③

三.解答题：本小题共6小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.如图是由小正方形组成的8x8网格，每个小正方形的顶点叫格点.长方形的顶点

和点E,厂均是格点，EF交4B于点、G,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.

图1图2

试卷第5页，共8页

(1)在图1中先画点连DH,使四边形瓦汨F是平行四边形，再画A4W,使

AAMN^ADCH(要求点。的对应点M在直线上)；

(2)在图2中，先画点A关于直线环的对称点尸，再在2C上画点。，使QGL瓦"垂足为

G.

18.如图，已知菱形/8CZ)的对角线/C,8D相交于点。，点E是菱形外一点，且

DE//AC,CE//BD,连接0E.求证：0E=CD.

19.如图，在正方形ABCD中，点E、F分另!!在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始

终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中:

(1)NEAF的大小是否有变化？请说明理由.

(2)AECF的周长是否有变化？请说明理由.

/BCD中，点。是边的中点，连接80并延长，交。的延长线于点£,

连接8。、AE.

图1图2

(1)求证：四边形/ED8是平行四边形;

(2)如图2,若BE=BC,判断四边形NEO3的形状，并说明理由;

⑶在(2)的条件下，若BD=3,BC=5,动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿EC

向终点C运动，设点尸运动的时间为:«＞。)秒.若点。为直线43上的一点，当产运动时间

I为何值时，以B、C、P、。构成的四边形是菱形？

21.同学们，折纸中也有很大的学问呢.张老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分

试卷第6页，共8页

别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形NBCD纸片中，AB=25cm,

=20cm,现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题.

图3

(1)如图1,折痕为DE,点/的对应点尸在C£＞上，则折痕DE的长为_cm；

(2)如图2,H,G分别为8C,AD的中点，/的对应点尸在房上，折痕为DE,贝|

ZDFG=_°.重叠部分的面积为_cm2；

(3)如图3,在图2中，把长方形沿着4对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任

意叠合后，发现重叠部分是一个一形，证明你的结论；

(4)在(3)的条件下，这个重叠部分的周长最短是_cm,重叠部分的周长最大周长是_cm.

22.【实践探究】

数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置.如图1,正方

形的对角线相交于点。，点。又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边

长相等，四边形。匹尸为这两个正方形的重叠部分，正方形44co可绕点。旋转.

图3

⑴【问题发现】

①线段/E,B尸之间的数量关系是，线段BE,CF之间的数量关系是

②在①的基础上，连接即，则线段/E,CF,所之间的数量关系是.

⑵【类比迁移】

如图2,矩形/BCD的中心。是矩形44。。的一个顶点，4。与边相交于点E,G。与

边5c相交于点尸，连接跖，延长G。交/。于点P,连接EP,AC,矩形44G。可绕点

。旋转.判断线段NE,CF,所之间的数量关系并证明.

(3)【拓展应用】如图3,在RtZk/CB中，ZC=90°,AC=3,BC=4,直角/££厅的顶点

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。在边N5的中点处，它的两条边DE和。尸分别与直线4C，8c相交于点£，F,2EDF

可绕点。旋转.当ZE=2时，请求出线段3尸的长•

试卷第8页，共8页

1.D

【分析】根据平行四边形的性质逐个进行判断即可.

【详解】解：A、AB=CD,AD=BC,故A不一定正确，不符合题意；

B、AO=CO,DO=BO,故B不一定正确，不符合题意；

C、AO=CO,DO=BO,故C不一定正确，不符合题意；

D、AB=CD,AD=BC,故D一定正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等,

对角线互相平分.

2.C

【分析】多边形的内角和公式(n-2)180°,多边形外角和为360。，由此列方程即可解答.

【详解】解：设多边形的边数为"，根据题意，得：

(n-2)480«=360°,

解得〃=4.

故选C.

【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和为60。是解答的关键.

3.A

【分析】首先根据正方形和旋转的性质得到。ZODC=30°,进而证明

出是等边三角形，然后求出4OB=NABO=、0°=75。,最后根据周角的

度数即可求出乙BOC的度数.

【详解】解：•.・正方形/BCD,

ZADC=ABAD=90°,

•.•把边DC绕点D顺时针旋转30。到DO处，

,-.DO=DC=AD=AB,ZODC=30°,

1QAO_/on,

.-.ZADO=60°ZDOC=ZDCO=------------------=75°,

f2

・・・△4D。是等边三角形，

・•.ZDAO=ZAOD=60°,AO=AD=DO=AB,

ZBAO=30°,

答案第1页，共22页

ZBOC=360。一ZAOB-ZAOD-/COD=150。.

故选：A.

【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形内角和定

理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识的联系与运用.

4.C

【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD,OA=OC=yAC=4,由AC1AB,根据勾股定理

求出OB,即可得出BD的长.

【详解】解：••・四边形ABCD是平行四边形，

••,OB=OD,OA=OC=yAC=4,

•■•AB1AC,

•••由勾股定理得：OBj.+o/=用+42=2屈,

••.BD=2OB=4后.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定

理求出OB是解题的关键.

5.C

【分析】根据菱形的性质，垂直平分线的性质即可求解.

【详解】解：根据题意，可知。=即。E是2C的垂直平分线，

A选项，

・・,。石是的垂直平分线，

ACED=90°,BE=CE=-BC,

2

•.•四边形N8CZ）是菱形，

：.BC=CD,

...BE=CE=；CD,且ACDE是直角三角形，

.­.ZCZ>£,=30°,ZC=60°,

・•・根据菱形的性质43〃CD得，48=180。-60。=120。，故A选项正确，不符合题意；

答案第2页，共22页

B选项，

•••DE是BC的垂直平分线，BC//AD,

.-.ZADE=90°,即ZX4DE是直角三角形，且40=。=3,

•・•△BCD是直角三角形，ZCDE=30°,

113

.­.CE=-CD=-x3=-,

222

在RtaCDE中，D£1=V3C£,=V3x-=—,

22

.•.在RtA/DE中，AE=y]AD2+DE2=乎=¥，故B选项正确，不符合题意;

C选项，

是8c的垂直平分线，四边形/BCD是菱形，

BE=CE=—BC=—CD,NCED=90°,

22

CD>DE,则一CD>—DE,

22

：.BE>^DE,故C选项错误，符合题意；

D选项，

根据题意，BE=；AD,AD//BE,ED是△，DE,AABE的高,

的高相等，

Ss=1AD-ED,S」B£=IBE-ED=^ADxED=^ADxED,

1''S/^ADE=2SAABE，故D选项正确，不符合题意；

故选：c.

【点睛】本题主要考查菱形，垂直平分线的综合，掌握菱形的性质，垂直平分线的性质，含

30°角的直角三角形的性质等知识是解题的关键.

6.A

【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直

角三角形的性质进行计算是解题的关键.根据菱形的性质可得/C=204=6,OB=OD,

再根据直角三角形的性质可得20〃=4,最后根据菱形的面积公式计算，即得答案.

【详解】解：：四边形是菱形，

AC=20A=6,OB—OD,

答案第3页，共22页

・・•DHLAB,

BD=2OH=4,

菱形/8C。的面积为gNCxBO=；x6x4=12.

故选：A.

7.B

【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等,

从而将阴影部分的面积转化为的面积，是解决问题的关键.

首先结合矩形的性质证明丝△CO尸，得的面积相等，从而将阴影部分

的面积转化为的面积，再进一步求解即可.

【详解】解：••・四边形是矩形，

OA=OC,AD//BC,AC=BD,OB=OD,ABAD=90°,

•1-^-AEO=NCFO，=SAAOB=SMOB=^ACOD,

在和ACQF中，

AAEO=ZCFO

<NAOE=ZCOF

OA=OC

.-./\AOE^/\COF（AAS）,

.q-q

•,^uAOE_3coF，

S阴影=S^AOE+SaEOD=SaAOD=]S矩形/Be。=工"BXAD=2,

故选：B.

8.A

【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和

性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.根据平行四边形的判定定理，用两种方法

都可以证明三角形中位线定理，得到答案.

【详解】解：甲的作法：・・・/£=EC,=

.•・四边形/OCF为平行四边形，

AD=CF,AD//CF.

■■AD=DB,

答案第4页，共22页

DB=CF,

••・四边形DBCF为平行四边形，

.-.BC=DF,BC//DF

-：DE=-DF,

2

；,DE=gBC,DE//BC,能够用来证明三角形中位线定理；

乙的作法：尸〃5C,

.•・四边形43Gb为平行四边形，

・•.AB=FG,AF=BG,

・••D,E分别是ZB,/C的中点，

...AD=DB=-AB,AE=CE=-AC,

22

•••AF〃BC,

ZAFE=ZCGEf

在△ZEF和△CEG中，

AAFE=ZCGE

<ZAEF=ZCEG,

AE=CE

.MAEF、CEG（AAS）,

：.AF=GC,GE=EF=-FG,

2

••,BG=GC,BD=GE,

・•・四边形D3GE为平行四边形，

DE=BG,DE〃BG,

；,DE=；BC,能够用来证明三角形中位线定理，

故选：A.

9.D

【分析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱

形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解.

【详解】解：：点E,F,G,b分别为四边形的边BC,CD,。/的中点，

:.EF、FG、G"分别为A/8C、“BCD、A/OC的中位线，

答案第5页，共22页

:.EF=-AC,EF//AC,FG=-BD,FG//BD,GH=-AC,GH//AC,

222

EF=GH,EF//GH,

，四边形EFG”为平行四边形，

当=时，EF=FG,则平行四边形EFG”为菱形，

当/CLAD时，EFLFG,则平行四边形EFG〃是矩形，

若四边形是矩形，则四边形跖G〃是菱形，不一定是正方形，

故不正确的选项是D,

故选：D.

10.A

【分析】此题考查正方形的性质，待定系数法求一次函数，由图和条件可知

4(0,1),4(1,2),由此可以求出直线为y=x+l,纥的横坐标为4+1的横坐标，纵坐标为4

的纵坐标，因为4的横坐标数列为4=2"7-1,所以纵坐标为2修，最后根据规律就可以求

出纥的坐标，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一

个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律,

从而推出一般性的结论.

【详解】解：.•・点尾(1,1),%(3,2),

.•.4(0,1),4(1,2),

fl=b[k=\

代入直线可得c,八，解得八,

\2=k+b[b=1

直线y=foc+6(左>0)为y=x+l,

二4(3,4),

,•・四边形正方形N4G。，482c2。，4鸟。3c2为正方形,

A3C.,=A3B3=4,

，4的横坐标为7,纵坐标为8,

4的横坐标为15,纵坐标为16,

答案第6页，共22页

以此类推可得，4的横坐标为2'一-1，纵坐标为2"一，

4,的横坐标为41+1的横坐标，纵坐标为4,的纵坐标

.•也（2"-1,2”）,

故选：A.

11.D

【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等

边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于360。列出等式

计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于360。是解题的关键.

【详解】解：等边三角形的每个内角为60。，

正方形的每个内角为90。，

正五边形的每个内角为（5-2）x1800=]08。,

•・•△4BC的外角和等于360。，

・•.ZEBF+ZDCE+ZDAF=360°,

即Z1+60°+Z2+90°+Z3+108°=360°,

.・・/1+/2+/3=102。，

vZl=50°,Z2=40°,

・・・N3=12。，

故选：D.

12.C

PF

【分析】①tan/尸也=3,利用矩形ABCD四个直角，再加上4EPF为直角，联想到构

造三垂直模型，故过F作AD垂线，垂足为G,即有△AEPsaGPF,且相似比为1：2,即

求得tanzPFE.

答案第7页，共22页

②显然，若a要取最小值，则F、C要重合（G、D重合），又AE与PG为对应边，AE越

小则PG（PD）越小，当AE=O时，PD=O最小，此时a=2.

【详解】解：过点F作FG1AD于点G

.-.ZFGP=9O°

•.•矩形ABCD中，AB=4,zA=zB=90°

四边形ABFG是矩形，zAEP+zAPE=90°

•■.FG=AB=4

vZ.EPF=90°

.-.ZAPE+ZFPG=9O°

.*.ZAEP=ZFPG

.-.△AEP^AGPF

PEAP2g,故①正确;

~PFGF~4

如图2,当A、E重合，C、F重合，D、P重合时，AD最短，此时a=2,故②错误.

故选择：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形判定和性质，解直角三角形.关键是对几个直

角的条件进行组合运用（三垂直模型），动点题求最值时可把动点移到极端位置（一般是线

段端点）来思考问题.

13.1或立

3

答案第8页，共22页

【详解】分析：分两种情况：①过"作MNHCD交AD于M,交BC于N,则直

线MN是矩形ABCD的对称轴，得出AM=BN=3AD=1,由勾股定理得到

AN=O,求得A，M=1,再由勾股定理解得A，E即可；

②过A作PQIIAD交AB于P,交CD于Q；求出ZEBA，=30。，由三角函数求出

AE=A,E=A,Bxtan30°；即可得出结果.

详解：

分两种情况：

①如图1,过A，作MNIICD交AD于M,交BC于N,

则直线MN是矩形ABCD的对称轴,

•••△ABE沿BE折叠得到△ArBE,

...A'E=AE,A'B=AB=1,

-BN2=0，即A，与N重合,

••.A'E2=EM2+A'M2,

.-.A'E2=(1-A'E)2+12,

解得：A'E=1,

.­•AE=1；

②如图2,过A，作PQIIAD交AB于P,交CD于Q,

则直线PQ是矩形ABCD的对称轴,

•••PQ1AB,AP=PB,ADHPQIIBC,

•­•A,B=2PB,

答案第9页，共22页

・・."A'B=30。，

・・ZA，BC=3O。，

••ZEBA'=3O°,.•.AE=A,E=A,Bxtan30°=lx3="；

33

综上所述：AE的长为1或立.

3

故答案是：1或心.

3

点睛：考查了翻折变换-折叠问题、矩形的性质和勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的

关键.

14.9

【分析】本题考查了菱形对角线互相平分的性质，根据菱形的对角线的长度即可直接计算菱

形N8C。的面积，熟知菱形/8CD的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键.

【详解】解：：菱形428的对角线/C,的长分别是3和6,

菱形N8CD的面积=g/C/£>=9.

故答案为：9.

15.9.6

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到ZM=OC，胡=8C,根据等腰三角形的性质得

到NCUC=NDCA,ABAC=NBCA，证明N8〃。尸，进而得到四边形AFDB为平行四边形,

根据平行四边形的性质得到8。=/b=5,AB=DF=5,根据勾股定理列出方程，解方程

得到BE的长，进一步利用勾股定理求出/£的长，即可得到答案.

【详解】解：•.•8。垂直平分NC,

DA=DC,BA=BC,

ND4c=NDCA,ABAC=NBCA,

ADAC+ABAC=ZDCA+NBCA,即ZDAB=/BCD,

•••NBCD=ZADF,

ZDAB=ZADF,

•­.AB//DF,

vFALAC,8。垂直平分NC,,

AF//BD,AE=CE=-AC,

2

四边形4ED8为平行四边形，

答案第10页，共22页

：.BD=AF=5,AB=DF=5,

设BE=x,则。£=5-x,

在RtA/£8中，AB2-BE2=AE2,

在RtZ\NEZ)中，AD2-DE2=AE2,

AB2-BE2=AD2-DE2,即5?-x?=6?-(5-xp,

7

解得：x=(,

AC^2AE=9.6,

故NC的长为9.6,

故答案为：9.6.

【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识,

掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.

16.90°162。或90°+x.

【分析】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线。〃6,可知同旁内角互补，

进一步求得a的度数；

（2）分两次反射和三次反射进行讨论，两次反射的情况可利用（1）的结论，三次反射的情

况画图进行分析.

【详解】解：（1）过点P作PG1/8,QGVBC,PG与。G相交于点G,

图②

•••平面镜成像原理入射角等于反射角,

:.乙EPG=^QPG,/-PQG=/-FQG,

'-a//b,

：.^EPQ+^PQF=\^°,

答案第11页，共22页

.-.2(40尸G+/P0G)=180°,

.・z0尸G+zPQG=90。，

'.^QPG+^PQG+APGQ=180°,

・・・"GQ=90。，

•；PG1AB,QGLBC,

乙BQG+乙。GP+乙GPB=360。，

・・・"50=360。-90°-90°—90°=90°,

即a=90。；

故答案为：90°

(2)若经过两次反射，如图③所示，延长45、。。相交于点E,

va=108°,

.・z5CE=a—此=108。-90。=18。，

.•・£=180°-zJSCE=108°-18°=162°,

若经过三次反射，标记各反射点，如图④所示，作尸四〃a,则月0〃a〃6,

图④

“BHF=UHR=x,

：.^BFH=Z.CFG=180°-a-x=180°-108°72°-x,

.*.z7?HF=180o-2x,Z.HFG=180°-2z.BFH=180°-2(72°-%)=360+2x,

答案第12页，共22页

■：FM//a//b,

：./.RHF+/.HFG+乙FGS=^RHF+ZJIFM+/.GFM+乙FGS=360°,

••ZFGS=36O°—(36°+2X)—(180°-2x)=144°,

则NCGP=(180°—ZFGS)+2=18°,

由ZCGF+&CFG+0=180°,

得到S=180°—NCGF—Z_CFG=180°—18°—(72°-x)=90°+x,

综上，力的度数为162。或90。+北

故答案为：162。或90。+x.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平面镜

成像入射角等于反射角是解题的关键.

17.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，矩形的性质与判定,

三角形中位线定理，熟知相关知识以及格点作图的方法是解题的关键.

(1)如解析图，取格点“，M,N,则格点〃和即为所求；

(2)取格点S、T,连接NS,交于点尸；取格点上、K,连接7X交格线于J,连接JG

交5c于。，则P、。即为所求.

【详解】(1)解：如图所示，格点〃和A/MN即为所求；

(2)解：如图所示，取格点S、T,连接NS,DT交于点P；取格点工、K,连接CK交格线

于J,连接JG交8C于0,则P、。即为所求；

可证明E尸〃。T,ASLEF,可另外4尸中点忆由三角形中位线定理可得£用〃。T,则£、

印、厂三点共线，则点尸即为所求；

答案第13页，共22页

可证明尸G=AK,FG//LK,NJKF=90。，则四边形刀CFG是矩形，即可得到JGJ_Eb.

18.见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定及性质和菱形的性质.根据平行

四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形OC助是矩

形，则该矩形的对角线相等，即OE=CD.

【详解】证明：•・•£>£〃/C,CE//BD,

.•.四边形OCED是平行四边形，

•.•四边形ABCD是菱形，

.-.AC1BD,CD=BC,

即ZCOD=90°,

••・四边形OCE。为矩形，

OE=CD.

19.(1)ZEAF的大小没有变化.理由见解析；(2)4ECF的周长没有变化.理由见解析.

【分析】(1)根据题意，求证ABAE三AHAE,AHAF=ADAF,然后根据全等三角形的性质

41

求NEAF=yBAD.

(2)根据(1)的求证结果，用等量代换来计算4ECF的周长，如果结果是定量，就说

明4ECF的周长没有变化，反之，4ECF的周长有变化.

【详解】(1)NEAF的大小没有变化.理由如下：

根据题意，知

AB=AH,ZB=9O°,

又•••AH_LEF,

答案第14页，共22页

.-.zAHE=90°,

vAE=AE,

.-.RtABAE=RtAHAE(HL),

.-.ZBAE=ZHAE,

同理，△HAFwZkDAF,

.*.ZHAF=ZDAF,

•••ZEAF=ZEAH+ZFAH=^ZBAH+4ZHAD=^(ZBAH+ZHAD)±NBAD,

2222

又♦■•NBAD=90°,

.-.ZEAF=45°,

••zEAF的大小没有变化.

(2)AECF的周长没有变化.理由如下：

•••由(1)知，RtABAE^RtAHAE,AHAF^ADAF,

.-.BE=HE,HF=DF,

•••CAEFC=EF+EC+FC=EB+DF+EC+FC=2BC,

••.△ECF的周长没有变化.

【点睛】全等三角形的判定与性质；正方形的性质

20.⑴见解析

(2)四边形NEZW是矩形，理由见解析

39

(3)当运动时间/为3秒或工秒时，以8、C、P、。构成的四边形是菱形

O

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理、勾股定理、全等三角形的

判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)由平行四边形的性质可得N8〃CO,推出=证明

AAOB^DOE(AAS),得出80=E。，即可得证；

(2)由平行四边形的性质可得=8,由全等三角形的性质可得从而得出

DE=CD,求出/8£>E=90。，即可得解；

(3)由勾股定理可得8==炉丁=4,由平行四边形的性质可得

DE=AB=DC=4,从而得出CE=2OE=8,表示出PC=8-f,再分两种情况：以8、C、

P、。构成的四边形是菱形，且点P与点。在直线同侧，则尸C=8C；以B、C、尸、Q

答案第15页，共22页

构成的四边形是菱形，且点。与点。在直线3C异侧，贝IJ%=PC=8-八分别求解即可.

【详解】(1)证明：•・•四边形45C。是平行四边形，

・•.AB//CD,

:,NABO=NDEO,

•・•点。是边4。的中点，

，AO-DO,

在“。吕和A£)OE中，

ZAOB=ZDOE

</ABO=/DEO,

AO=DO

.•.△40的△Z>O£(AAS),

BO=E0,

.•.四边形4瓦方是平行四边形.

(2)解：,・,四边形4E7笫是平行四边形

・•.AB=CD

•MAOBmADOE

••AB=DE

；,DE=CD

•;BE=BC

・•.BD_LCE

・・.NBDE=90。

四边形/EC次是矩形

(3)解：•••/3OC=90。，BD=3,BC=5,

■■CD=y]BC2-DC2=芯4=4，

•••四边形AEDB和四边形/BCD都是平行四边形,

/.DE=AB=DC=4,

・•.CE=IDE=8,

•・,EP=t,

：.PC=8—t,

答案第16页，共22页

如图2,以8、C、P、。构成的四边形是菱形，且点尸与点。在直线8c同侧，则

解得f=3；

如图3,以8、C、P、。构成的四边形是菱形，且点P与点。在直线8c异侧，则

PB=PC=S-t,

图3

•••BD2+PD2=PB2，且尸。=/一4,

..，32+(f-4)2=(8-/)2,

39

解得

O

综上所述，当运动时间，为3秒或三39秒时，以8、C、P、。构成的四边形是菱形.

O

21.(1)20亚

(2)30,出由

3

(3)菱，理由见详解

(4)40,58

【分析】(1)根据图形折叠的性质可知4D=/E=20cm,再根据勾股定理即可得出结论；

(2)连接/尸，由题意易得四边形是矩形，则有尸是等边三角形，然后再根据

含30度直角三角形的性质得到/£的长，利用三角形的面积公式即可得出结论；

(3)根据平行四边形的判定首先证得四边形是平行四边形，因为两条矩形的宽度相

等，然后根据平行四边形MNP0的面积公式即可证得四边形的邻边相等，进而证得四边形

是菱形；

答案第17页，共22页

（4）当矩形纸片互相垂直时，这个菱形的周长最短，最小值是40cm,如图2所示放置时,

重叠部分的菱形面积最大，设GK=X,则"=25-X,利用勾股定理即可求出x的值，进而

可得出菱形的周长.

【详解】（1）解：由折叠可知四边形房是正方形，

/.AD=AE=20cm,

DE=^AD2+AE2=20V2cm；

故答案为20后；

（2）解：连接4F,如图所示：

•••四边形ABCD是矩形，

NB=90°,BC=AD,BC//AD,

■：H,G分别为BC,的中点，

.-.BH=AG,BH//AG,

.•・四边形ABHG是平行四边形，

■：zB=90°,

四边形是矩形，

・•・小垂直且平分线段

•••AF=DF,

由折叠可知40=。尸，

/.AF=AD=DF=20cm,

.•.△AD尸是等边三角形，

ZDFG=-ZAFD=30°,NADF=60°,

2

由折叠可知=尸=30。，

2

—/3

•••AD=43AE，即AE=------cm，

答案第18页，共22页

c15f1.20A/3200g

SeFF=-•AD=-x20x-------=---------；

.2233

故答案为30,空述.

3

(3)解：重叠四边形跖VP。的形状是菱形；理由如下:

因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形〃八？。是平行四边形.

如图1,过。作。C诋于点0KL7W于点K,

图1

又•：QL=QK,

：.SOMNPQ=PN-QL=MN-QK,

MN=NP,

四边形MAP。的形状是菱形；

故答案为菱.

(4)解:由(2)可知：分开的两张矩形纸片的宽都为10cm,

根据点到直线垂线段最短可知：当矩形纸片互相垂直时，这个菱形的周长最短，最短周长为

40cm.

最大的菱形如图2所示放置时，重叠部分的菱形面积最大.

C

设GK=KB=x,贝!]"=25-x.

在中，x