《高等数学(第4版)》课件 3.2 洛必达法则_第1页
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文档简介

第

二

节

洛必达法则

二、二、二、三、其他类型未定式

高等数学第3.2节洛必达法则例如

高等数学第3.2节洛必达法则

定理1

设函数

和

满足

则

存在（或为无穷大），且（1）（2）在点

的某去心邻域内，

都存在，且（3）存在（或为无穷大），

这种在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.高等数学第3.2节洛必达法则所以可以补充证因为当

时，

的极限与

及

无关，定义域内连续.于是由条件（1）、（2）可知，

在点

的某邻设

是该邻域内的一点，则

在以

和

为端点的闭区间上满足柯西中值定理的条件，故有注意到

时，有

，所以即说明高等数学第3.2节洛必达法则并且当上式右端为无穷大时，左端也为无穷大.（2）如果将极限过程换成则只要将定理1的条件作相应的改动，结论仍然成立.（1）如果

仍是

型未定式，且

满足定理中所满足的条件，那么可继续用洛必达法则，即以此类推，直到求出极限为止.高等数学第3.2节洛必达法则例１

求解例2

求解注意：如果极限不是未定式，则不能使用洛必达法则，否则可能导致错误结果.高等数学第3.2节洛必达法则

在应用洛必达法则时应注意与其他求极限的方法结合，特别能用等价无穷小代换的就先用等价无穷法代换，以简化运算.例3

求解解法2高等数学第3.2节洛必达法则例４

求解例5

求解高等数学第3.2节洛必达法则

定理2

设函数

和

满足

则存在（或为无穷大），且（2）在点

的某去心邻域内，

都存在，且（3）存在（或为无穷大），（1）

说明

若将极限过程换成则只要将定理2的条件作相应的改动，结论仍然成立.高等数学第3.2节洛必达法则例6解说明例7

求解若为正整数,则相继应用洛必达法则次，得高等数学第3.2节洛必达法则若不是整数,则应用洛必达法则

次，得说明故所求极限为零.结论高等数学第3.2节洛必达法则三、其他类型未定式其他类型的未定式有：未定式都可以化为洛必达法则可解决的类型.例8解如果按下面这种化法呢？解不出！所以哪一个函数留在分子上很关键.这些类型的高等数学第3.2节洛必达法则例9解高等数学第3.2节洛必达法则对于

未定式，可利用

恒等变形去转化.例10解例11解高等数学第3.2节洛必达法则注意

洛必达法则的条件是充分而非必要条件

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