《线性代数（第3版）》课件 第一章 行列式

线

性

代

数第3版

线性代数是高等院校理工科及经济管理等专业的学生必修的一门公共基础课，属于考试课．

本课程为后继一些专业课程的学习提供重要的数学基础．课

程

简介

比如化学专业的学生要学习的物理化学、量子化学、分析化学、高分子化学等课程.线性代数课程对化学专业的作用还体现在：在处理多原子分子的结构和性质时，需要通过线性组合原子轨道来构建分子轨道.分子轨道理论通过线性代数中的矩阵运算，可以确定晶体在不同对称操作下的变换规律，从而深入理解晶体的结构和性质.晶体结构分析量子化学中薛定谔方程求解离不了线性代数的理论和方法.量子化学方面线性代数的地位和作用线性代数的主要内容矩阵线性方程组行列式矩阵矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性相似矩阵二次型工具：行列式和矩阵主线：矩阵课程特点和学习要求课程特点内容抽象，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透；逻辑性较强；概念多、性质结论多，符号多；计算原理简单但思路灵活且计算量大；证明简洁但技巧性强.学习要求理解基本概念和原理，多做练习，通过练习来加强对理论、方法的理解和掌握.加强交流，学习过程中遇到自己无法解决的问题时，不妨多向老师或同学寻求帮助，或参考一些优秀教材、参考书或在线资源或借助AI等及时解决问题.01行列式主要内容行列式的定义行列式的性质计算方法目录01

二阶与三阶行列式02n

阶行列式的定义05克莱姆（Cramer）法则04行列式按行（列）展开03行列式的性质线性代数二阶与三阶行列式第1.1节

二阶与三阶行列式

二、一、二阶行列式二、三阶行列式线性代数二阶与三阶行列式线性代数二阶与三阶行列式一、二阶行列式1、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组(1)(2)消去未知数：线性代数二阶与三阶行列式得方程组的唯一解为当

时，由方程组的4个系数确定两式相减，得类似地，消去，得这是二元线性方程组满足一定条件时的公式解，但这种形式不方便记.线性代数二阶与三阶行列式

定义1

由4个数排成二行二列（横排称行(row)，竖排称列(column)）的数表即称表达式

为上述数表所确定的二阶行列式，并记作注意(1)二阶行列式的记号；（2）实质是两行两列的数表按一定运算规则作运算.2、二阶行列式的定义线性代数二阶与三阶行列式列标(表明该元素位于第j列）在行列式中，数称为该行列式的元素或元.行列式

(determinant)一般用字母表示.元行标(表明该元素位于第

i行)线性代数二阶与三阶行列式绿色的虚线称为副对角线.红色的实线称为主对角线，例1

计算二阶行列式解3、二阶行列式的计算——对角线法则线性代数二阶与三阶行列式对于二元线性方程组当时，方程组有唯一解：利用二阶行列式的概念,方程组的解可以写成系数行列式4、用行列式表示二元线性方程组的解线性代数二阶与三阶行列式例2

求解二元线性方程组解由于因此线性代数二阶与三阶行列式二、三阶行列式1、三阶行列式的引入三元线性方程组如何求解满足一定条件下，解得线性代数二阶与三阶行列式定义2

设有9个数排成三行三列的数表记作述数表所确定的三阶行列式，2、三阶行列式的定义表达式称为由上线性代数二阶与三阶行列式即(1)6项的代数和;

(2)每一项都是三个元素相乘；(3)每项相乘的三个元素取自不同行不同列.注线性代数二阶与三阶行列式（1）对角线法则（沙路法）（2）拓展对角线法3、三阶行列式的计算+++沙路主对角线正号+沙路副对角线负号

尝试计算例4

求解方程解方程左端的三阶行列式由，解得或例3

计算三阶行列式解按对角线法则，有线性代数二阶与三阶行列式线性代数二阶与三阶行列式小结二阶行列式三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.

二阶与三阶行列式是由解二元和三元线性方程组的需要产生的.线性代数n

阶行列式第1.2节

n阶行列式二、三、n阶行列式四、n阶行列式的其他定义形式一、全排列与逆序数二、对换线性代数一、全排列与逆序数如何计算

？

将个不同的元素排成一行，称为这个元素的一个全排列，也简称

元排列，

个不同的元素所有可能的排列种数，称为全排列数，通常用

表示.由分步乘法原理，例如，用1,2,3三个数字作排列，排列数3种情况2种情况1种情况123，132，213，231，312，321.它们是n

阶行列式线性代数

对

个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序,个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.

规定标准次序后，在这

个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说这两个元素构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数(偶数)的排列称为奇排列(偶排列).n

阶行列式一般地，

个自然数

的任意一个排列记作

，如果比

大且排在

前面的元素有

个，就说元素

的逆序数是.一个排列中全体元素的逆序数之和就是这个排列的逆序数.排列的逆序数可记为线性代数计算排列的逆序数的方法：

从左至右分别计算出排列中每个元素前面比它大的元素的个数（即每个元素的逆序数），然后把这些个数加起来即为所求排列的逆序数.例1

求排列43512的逆序数.解在排列43512中,4排在首位,逆序数为0;3的前面比3大的数有1个;于是排列43512的逆序数为5的前面比5大的数有0个;1的前面比1大的数有3个;2的前面比2大的数有3个;奇排列n

阶行列式线性代数二、对换

将一个排列中任意两个元素的位置对调，其余元素不动，而得到一个新排列的过程称为对换．若对换的是相邻的两个元素，则称为相邻对换.定理1

一个排列进行一次对换，排列改变奇偶性一次.相邻对换的情形:排列的逆序数增加1或减少1，排列奇偶性改变.一般对换的情形:作m次相邻对换作m+1次相邻对换排列作奇数次相邻对换，排列奇偶性改变.

推论

奇（偶）排列对换成标准排列的对换次数为奇（偶）数.n

阶行列式1、以旧导新回顾三阶行列式任一项不考虑正负号时可写成,是1,2,3这3个数的某个排列，共有3！=6种，对应上式右边共6项.这里行标成标准排列，列标排列

线性代数三、n阶行列式观察发现(1)展开式的每一项都恰是位于不同行、不同列的3个元素的乘积，n

阶行列式各项前面所取的正负号与列标排列的对应情况：取正号的三项列标排列分别是：取负号的三项列标排列分别是：都是偶排列，取负号的三项列标排列都是奇排列，因此各项所取的正负号可表示为均为偶排列均为奇排列123，231，312；321，132，213.线性代数观察发现(2)各项的正负号与列标排列的奇偶性有关.取正号的三项列标排列,其中

为该项列标排列

的逆序数.n

阶行列式综合观察发现（1）和（2），知三阶行列式可以写成：线性代数其中

为排列

的逆序数，

是1,2,3的某排列，连加号表示对1，2，3这3个数的所有排列对应的项求和.

n

阶行列式，即得形如定义1

设有个数，排成行列的数表nn作出表中位于不同行不同列的个数的乘积n线性代数2.n阶行列式的定义并冠以符号n

阶行列式这样的项，其中为自然数的一个排列，由于这样的排列共有个，因而形如这样的项共有项.所有这项称为阶行列式，记作线性代数的代数和n

阶行列式简记为其中数为行列式的

元.

即行列式中每个元素的下标能表示该元素的位置时，行列式可以简记.等号右边称为行列式

D的展开式.线性代数n

阶行列式（1）阶行列式是项的代数和；（2）阶行列式的每一项都是位于不同行不同列的

个元素的乘积；（4）一阶行列式不要与绝对值记号相混淆.（3）每一项的行标成标准排列时，由列标排列的奇偶性决定该项前面的正负号；按此定义的二阶、三阶行列式与用对角线法则定义的二阶、三阶行列式显然是一致的.线性代数说明n

阶行列式3、几种特殊形式的行列式（1）上三角形行列式可能不为0的元素

满足即展开式的一般项为而

是

这n个数中互不相同的数，故只有故D展开式中可能不为0的项只有一项，符号为正.作为计算公式识记线性代数n

阶行列式（2）下三角形行列式展开式中一般项可能不为0的元素

满足即只能线性代数n

阶行列式（3）对角行列式（4）其他特殊形式行列式线性代数n

阶行列式线性代数n

阶行列式线性代数小结与思考n阶行列式思考n阶行列式展开式中每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积，如果交换乘积中相乘元素的顺序后结果怎样？n

阶行列式线性代数四、n阶行列式的其他定义形式n阶行列式

的展开式中的一般项偶奇记则故即

与

奇偶性一样.值不变行标排列与列标排列都作一次对换n

阶行列式线性代数说明若干次对换后特别地对换成列指标成自然排列，即一般项为于是，一般项（1）行标排列与列标排列同时都做了一次对换；（2）行标排列与列标排列的奇偶性同时发生变化；（3）行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.交换乘积中任两个元素的位置，将引起：n

阶行列式线性代数n阶行列式的其他定义形式更一般的有

其中n

阶行列式线性代数课堂练习(1)判断在四阶行列式中，

应取什么符号？(2)求多项式中的系数（3）P30第3题n

阶行列式线性代数行列式的性质第1.3节

行列式的性质

二、一、行列式的性质二、应用举例行列式与它的转置行列式相等.线性代数行列式的性质一、行列式的性质性质1（

的转置行列式）transpose记则线性代数行列式的性质性质2

性质1表明行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也成立，反之亦然.对换行列式的两行（列），行列式的值变号.设

是由

交换

i,j两行得到的，则线性代数行列式的性质其中记则故符号说明行列式的第

i行用

表示；行列式的第i列用

表示；对换行列式的

i,j两行用

表示；对换行列式的

i,j两列用

表示.线性代数行列式的性质

推论若行列式有两行（列）完全相同，则此行列式的值等于零.性质3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式.推论1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.线性代数行列式的性质性质4若行列式中有两行(列)元素对应成比例，则此行列式值为零.推论2行列式中某一行（列）的元素全为零时，行列式的值为零.线性代数行列式的性质性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两个数的和，例如第i行的元素都是两数之和：则该行列式D等于下面两个行列式之和：线性代数行列式的性质性质5表明：行列式当某一行（或列）为两数之和时，行列式关于该行（或列）可分解为两个行列式.思考：若n

阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解为几个行列式呢？例如线性代数行列式的性质性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一个数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.例如注意尽管涉及两行（列）但仅“另一行（列）”变了线性代数行列式的性质（1）转置不变（2）对换取反（3）倍乘可提出（5）倍加不变（4）行(列)加法拆项法则同行(列)化零零行(列)化零同比化零行列式的性质利用行列式的运算

，

，

和,,可以简化行列式的计算，特别是利用运算

或

可以将行列式中许多元素化为0.计算行列式常用的一种方法就是利用运算

或

将行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值.

线性代数行列式的性质把行列式化为上三角行列式的一般步骤为：

（1）若（1,1）元为0，先将第一行与其他行交换，使得交换后的行列式其第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行，使得第一列除第一个元素外，其余元素全化为0；

（2）用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一阶的行列式，如此反复下去，直到使它变为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.

用归纳不难证明任何n阶行列式总能只利用行运算或只利用列运算把它化为上三角行列式或化为下三角行列式.线性代数行列式的性质例1.8

计算行列式解二、应用举例线性代数行列式的性质例1.9

计算

n阶行列式解特点：每行的和一样处理：从2列起，各列加到第一列，然后提公因子线性代数行列式的性质有其他计算方法吗？线性代数行列式的性质例1.10

计算行列式解注意

几个运算写在一起时，各个运算先后次序一般不能颠倒.因为后一次运算是作用在前一次运算结果上的.线性代数行列式的性质例1.11试证即分块下三角形行列式

等于主对角线上各分块行列式的乘积.线性代数行列式的性质证明线性代数行列式的性质线性代数行列式按行（列）展开第1.4节

行列式按行（列）展开

二、一、余子式及代数余子式二、展开法则二、三、展开法则的推论线性代数行列式按行（列）展开第4节

行列式按行（列）展开

能否用低阶行列式来表示高阶行列式？以三阶行列式为例来探讨：线性代数行列式按行（列）展开一、余子式及代数余子式

定义2

在阶行列式中，把元所在的第行和第列划去后，余下的元素（依原来的排法）所构成的阶行列式，称为元

的余子式，记作

；

记

称为元的代数余子式.某元素的余子式或代数余子式与该元素所在行(列)中的元素无关.（因为都划掉了）例如

三阶行列式

中(2,1)元的余子式为代数余子式为线性代数行列式按行（列）展开二、展开法则

引理一个

阶行列式

，如果第行所有元素除

元

外全为零，那么该行列式等于

与它的代数余子式的乘积，即

例如线性代数行列式按行（列）展开证按分块下三角行列式的结论，有又从而再证一般的情形,此时此时先证的情形，线性代数行列式按行（列）展开

将的第行依次与第行，第行，第1行交换

，得线性代数行列式按行（列）展开再将第列依次与第列，第列，第1列交换，得线性代数行列式按行（列）展开

注意到行列式中（1,1）元的余子式就是行列式

中

的余子式

而中(1,1)元为

，第1行其余元素都为0，利用前面的结果，有于是注：该引理对于列也成立.线性代数行列式按行（列）展开

定理4

（展开法则）

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或证线性代数行列式按行（列）展开类似地，可以得到关于列的结论.线性代数行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开法则：

利用这一法则结合行列式的性质可以简化行列式的计算.利用性质去“造0”，利用展开法则去降阶，从而简化行列式的计算.按第

i行展开按第j列展开应用展开法则虽然实现了降阶

，但需要计算的低一阶的行列式的个数多了.选择什么样的行或列展开可以减少运算量呢选零元多的行或列去展开行列式可以减少运算.线性代数行列式按行（列）展开展开法则应用举例例1.8

计算行列式解“造0”降阶线性代数行列式的性质例1.12

计算阶行列式未写出的元素均为0.线性代数行列式的性质解按第1行展开，有由此递推公式递推下去，得线性代数行列式按行（列）展开例1.13证明范德蒙德(Vandermonde)行列式注：n个变元在n个列上；从列看：每列都是首项为1的等比数列；从行看：幂一致，变元两两不同；从右边看：结果等于所有变量对的“逆序差（按照逆序作差）”之积.连乘号线性代数行列式按行（列）展开

证用数学归纳法.因为所以当

时

（1）式成立.假设（1）式对

阶范德蒙行列式成立，要证（1）式对

阶范德蒙行列式也成立.为此，设法把

降阶：从第

行开始，依次后行减去前行的

倍，有线性代数行列式按行（列）展开按第一列展开，并把每列的公因子提出，就得n-1阶范德蒙德行列式由归纳假设,故第2行各元素两两不同.可认为行列式D的第二行的元素与第一行对应元素的代数余子式乘积之和线性代数行列式按行（列）展开三、展开法则的推论（代数余子式的另一重要性质）以三阶行列式为例来探讨可以展开式写在等号前，行列式写在等号后，作为公式用线性代数行列式按行（列）展开一般地，对于n阶行列式，也有可作为公式线性代数行列式按行（列）展开对列作相仿讨论，也有

推论

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或关于代数余子式的重要性质：设有线性代数行列式按行（列）展开补充例题

设

的元的代数余子式记为

，求.解线性代数二阶与三阶行列式小结行列式按行（列）展开法则及推论

元素的余子式与代数余子式某元素的余子式与代数余子式与该元素所在行所在列中的元素无关.线性代数行列式按行（列）展开D中(3,3)元的余子式也是

中(1,1)元的余子式.线性代数克拉默法则第1.5节

克莱姆法则

二、一、克拉默法则二、齐次线性方程组相