《实际问题与反比例函数(第2课时)》教案

1/7《实际问题与反比例函数(第2课时)》教案一、教学目标【知识与技能】1.体验现实生活与反比例函数的关系，通过“杠杆定律”解决实际问题，探究实际问题与反比例函数的关系；2.掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想.【过程与方法】在解决问题的过程中，对实际问题中的变量关系进行分析，建立反比例函数模型解决问题．【情感态度与价值观】在运用反比例函数解决实际问题的过程中，培养学生应用数学的意识．二、课型新授课三、课时第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】 掌握从实际问题中建构反比例函数模型.【教学难点】 实际问题中寻找变量间的关系.五、课前准备 教师：课件、直尺、三角板等.学生：直尺、三角板.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）给我一个支点，我可以撬动地球！──阿基米德⑴你认为可能吗？⑵大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？⑶同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，是真的吗？（二）探索新知出示课件4：公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为:阻力×阻力臂=动力×动力臂.请利用杠杆定律解决以下问题：知识点1反比例函数与力学（出示课件5）小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力?学生先独立思考，教师关注学生能否主动用“杠杆原理”中杠杆平衡的条件理解实际问题，从而发现其与反比例函数的关系．引导学生观察思考，逐步分析，最后通过建立反比例函数模型解决问题．解：根据“杠杆原理”，得Fl=1200×0.5，∴F关于l的函数解析式为当l=1.5m时，（N）.对于函数，当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400N的力.出示课件:6：（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少?师生共同分析：对于函数，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量.解：当时，由，得300－1.5=1.5（m）.对于函数，当l＞0时，l越大，F越小.因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m.出示课件7：学生分组讨论，教师加以指正：1.什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，设动力为F，动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，L又怎么变？2.在第（2）问中，根据第（1）问的答案，可得F≤200，要求出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由此判断我们在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？出示课件8，学生独立思考后口答，教师订正.出示课件9～12：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地.当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)也随之变化.如果人和木板对湿地地面的压力合计为600N，那么(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．由学生独立完成，一生板演，教师根据学生完成情况及时给予评价，规范解题书写过程.解：⑴由，得p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数．⑵当S＝0.2m2时，故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．⑶当p=6000时，由得对于函数，当S＞0时，S越大，p越小.因此，若要求压强不超过6000Pa，则木板面积至少要0.1m2.⑷如图所示.出示课件13，学生独立思考后口答，教师订正.知识点2反比例函数与电学（出示课件14～15）一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?(2)这个用电器功率的范围是多少?学生自主思考后独立解答，一生板演，教师加以订正，规范解题书写过程.解：⑴根据电学知识，当U=220时，得⑵根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.把电阻的最小值R=110代入求得的解析式，得到功率的最大值把电阻的最大值R=220代入求得的解析式，得到功率的最小值因此用电器功率的范围为220~440W.教师问：根据物理知识可以判断：当用电器两端的电压一定时，用电器的输出功率与它的电阻之间呈什么关系？这一特征说明用电器的输出功率与它的电阻之间满足什么函数关系？（出示课件16）学生分组讨论，教师指点后总结：（出示课件17）解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．其中往往要用到电学中的公式PR＝U2，P指用电器的输出功率（瓦），U指用电器两端的电压（伏），R指用电器的电阻（欧姆）．出示课件18～19，学生独立思考后口述解题过程，教师订正.（三）课堂练习（出示课件20-28）教师引导学生练习课件20-28题目，约用时15分钟。（四）课堂小结（出示课件29）本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：解答本节问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．其中往往要用到力学、电学中的公式.（五）课前预习预习下节课（27.1）的相关内容.知道什么是相似图形.七、课后作业1、教材第16、17页练习第6，8题.2、课堂第24～25页第3,4，6,10题.八、板书设计26.2实际问题与反比例函数（第2课时）知识点1反比例函数与力学知识点2反比例函数与电学九、教学反思本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.平时多与学生交流，了解学生，课堂上合理的设计一些简单的题，多鼓励基础薄弱的学生，让他们积极参与课堂活动.知能演练提升能力提升1.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,当汽车以80km/h的平均速度行驶时,到达乙地用了4小时,当按原路匀速返回时,汽车的速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数解析式是()A.v=320t B.v=320C.v=20t D.v=202.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在边BC上运动,连接DP,过点A作AE⊥DP,垂足为E.设DP=x,AE=y,则能反映y与x之间的函数的大致图象是()3.某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化的函数图象如图所示,其中BC段是双曲线y=kx的一部分.恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有h;k=;当x=16时,大棚内的温度约为℃.4.如图,边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴,BC∥y轴,反比例函数y=2x与y=-2x的图象均与正方形ABCD的边相交,则图中阴影部分的面积之和是(第4题图)5.某人利用一个最大电阻为200Ω的滑动变阻器及电流表测电源电压,如图所示.(1)该电源电压为;

(2)电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)之间的函数解析式为;

(3)当电阻在2~200Ω之间时,电流应在范围内,电流随电阻的增大而;

(4)若限制电流不超过20A,则电阻应在之间.

6.某蓄水池的排水管每小时排水8m3,6h可将满池水全部排空.(1)蓄水池的容积是多少?(2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q(单位:m3),那么将满池水排空所需的时间t(单位:h)将如何变化?(3)写出t与Q的函数解析式.(4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少?(5)已知排水管的最大排水量为每小时12m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空?7.杠杆原理在生活中被广泛应用(杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂),小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”(如图①).制作方法如下:第一步:在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度(单位长度为1cm),确定支点O,并用细麻绳固定,在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩,作为秤钩;第二步:取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣.(1)图①中,把重物挂在秤钩上,秤砣挂在支点O右侧的B处,秤杆平衡,就能称得重物的质量.当重物的质量变化时,OB的长度随之变化.设重物的质量为xkg,OB的长为ycm.写出y关于x的函数解析式;若0<y<48,求x的取值范围.(2)调换秤砣与重物的位置,把秤砣挂在秤钩上,重物挂在支点O右侧的B处,使秤杆平衡,如图②.设重物的质量为xkg,OB的长为ycm,写出y关于x的函数解析式,完成下表,画出该函数的图象.x/kg……0.250.5124……y/cm…… 

……8.制作一种产品,需先将材料加热达到60℃后,再进行操作,设该材料温度为y(单位:℃),从加热开始计算的时间为x(单位:min).据了解,该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系,停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系,如图,已知该材料在操作加工前的温度为15℃,加热5min后的温度达到60℃.(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y关于x的函数解析式;(2)根据工艺要求,如果当材料的温度低于15℃时,需停止操作,那么从开始加热到停止操作共经历了多长时间?9.(2023·宁夏中考)给某气球充满一定质量的气体,在温度不变时,气球内气体的气压p(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的反比例函数,其图象如图所示.(1)当气球内的气压超过150kPa时,气球会爆炸,若将气球近似看成一个球体,试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸(球体的体积公式V=43πr3,π(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎.创新应用★10.某厂从2021年起开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具体数据如下表:年度2021202220232024投入技改资金x/万元2.5344.5产品成本y/(万元/件)7.264.54(1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式.(2)按照这种变化规律,若2025年投入技改资金5万元.①预计生产成本每件比2024年降低多少万元?②若打算在2025年把每件产品的成本降低到3.2万元,则还需投入技改资金多少万元?(结果精确到0.01万元)

知能演练·提升能力提升1.B由题意知vt=80×4,则v=320t2.C如图,连接AP,S△APD=12AD·AB=12AE·PD=6,所以xy=12,y=因为3≤DP≤5,所以其大致图象为选项C.3.1021613.54.8观察题图,看出阴影部分的面积是正方形ABCD的面积的一半.正方形ABCD的面积为16,所以阴影部分的面积之和为8.5.(1)144V(2)I=144R(3)0.(4)7.2~200Ω6.解(1)蓄水池的容积是6×8=48(m3).(2)增加排水管会使时间缩短,将满池水排空所需的时间t会减少.(3)因为容积V=48m3,所以解析式为t=48Q(4)48Q≤5,Q≥9.6(m3),即每小时的排水量至少为9.6m3(5)设最少用xh将满池水排空,根据题意,得12x≥48,解得x≥4,即最少用4h可将满池水全部排空.7.解(1)∵阻力×阻力臂=动力×动力臂,∴重物的质量×OA=秤砣的质量×OB.∵OA=2cm,重物的质量为xkg,OB的长为ycm,秤砣的质量为0.5kg,∴2x=0.5y,∴y=4x.∵4>0,∴y随x的增大而增大,又当y=0时,x=0;当y=48时,x=12,∴当0<y<48时,0<x<12.(2)∵阻力×阻力臂=动力×动力臂,∴秤砣的质量×OA=重物的质量×OB.∵OA=2cm,重物的质量为xkg,OB的长为ycm,秤砣的质量为0.5kg,∴2×0.5=xy,∴y=1x当x=0.25时,y=10.当x=0.5时,y=10.当x=1时,y=1;当x=2时,y=12当x=4时,y=14故答案为4;2;1;12作出函数的图象如下图.8.解(1)设材料加热时,y关于x的一次函数解析式为y=k1x+b(k1≠0),由题意知,当x=0时,y=15;当x=5时,y=60.代入y=k1x+b,得b解得k所以y=9x+15,x的取值范围是0≤x≤5.设停止加热进行操作时,y关于x的函数解析式为y=k2x(k2由题意,当x=5时,y=60,代入函数解析式,得60=k2所以k2=300,即进行操作时y与x的函数解析式为y=300x(x≥5)(2)由题意知,当y=15时,由y=300x,得300x=所以x=20,即当x=20min时,材料温度为15℃,由反比例函数的性质,当x>20时,y<