2026版高三一轮总复习（数学）第五章 第3课时 平面向量的数量积及其应用 课件

第五章平面向量、复数第3课时平面向量的数量积及其应用[考试要求]

1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．链接教材·夯基固本

[0，π]

θ＝0θ＝π2．平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量__________________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．规定：0·a＝___．|a||b|cosθ0

投影投影向量|a|cosθ

e

x1x2＋y1y2

x1x2＋y1y2＝06．平面几何中的向量方法(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．7．三角形“四心”的概念(1)重心——三角形的三条中线的交点；(2)垂心——三角形的三条高线的交点；(3)内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；(4)外心——三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．[常用结论]1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．2．有关向量夹角的两个结论两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．

×√××√

2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．

3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．

8

典例精研·核心考点√11[四字解题]读想算思数量积的求解方法投影法数量积的几何意义数形结合基向量法数量积的运算三角形法则坐标法建系，求相关点的坐标，建立函数几何问题代数化，函数思想

√

名师点评

计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．

[4，6]

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【教用·备选题】若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_____________________．

考向3

向量的垂直问题[典例4]

(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2D

[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2．故选D．]√

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2．用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤

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13课后作业(三十一)平面向量的数量积及其应用√14

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题号1352468791011121314(－1，－2)(答案不唯一)

题号135246879101112131410．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________．题号1352468791011121314

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