数据拟合方法研究毕业论文

目录中文摘要 第一章绪论 1.1.1名词解释 1 11.2曲线拟合简介 第二章数据拟合方法分类 2.4点集{x1，x2， 2.5用正交多项式系组成拟合函数的多项式拟合 2.6指数函数的数据拟合 第三章曲线拟合特性 3.1.1最小二乘法及其计算 3.1.2用正交多项式作最小二乘拟合 3.2.1牛顿迭代 3.2.2常见非线性模型 第四章多项式的摆动 4.2影响多项式拟合偏差的因素 4.3使用多项式拟合的注意事项 4.3.1尽量避免高阶多项式的拟合 4.3.2保持密度 4.3.3在实验数据走向比较明确的前提下，可以考虑其他的非线性拟合方法 第五章残数法与最小二乘法结合 第六章总结 结束语 附录1英文原文 附录2中文翻译 附录3程序 第一章绪论据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。决策等的数值。1.1.1名词解释研究数据就是对数据进行采集、分类、录入、储存、统计分析，统计检验等一系列活动的统称。着规律，终于抓住了矛盾的牛鼻子。”数据是载荷或记录信息的按一定规则排列组合的物理符号。可以是数字、文字、图像，也可以是计算机代码。对信息的接收始于对数据的接收，对信息的获取只能通过对数据背景的解读。数据背景是接收者针对特定数据的信息准备，即当接收者了解物理符号序列的规律，并知道每个符号和符号组合的指向性目标或含义时，据+背景=信息”表示。数据拟合在很多地方都有应用,主要用来处理实验或观测的原始离散数据。通过拟合可以更好的分析和解释数据。1.2曲线拟合简介曲线拟合，俗称拉曲线，是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的表示方式。科学和工程问题可以通过诸如采样、实验在科学实验或社会活动中,人们常常需要观测很多数据的规律,通过实验或者观测得到量x与y的一组数据对（错误!未找到引用源。）类与数据本质规律相适应的解析表达式，错误!未找到引用源。来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。性出现时，称为线性模型，否者称为非线性模型。线性模最常见的一种，但在实际中，许多现象之间的关系往往并是呈现某种曲线关系。如服药后血药浓度与时间的关系；病合，用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。第二章数据拟合方法分类在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。数据拟合方法与数据插值方法不同，它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。数据拟合方法求拟合函数，插值方法求插值函数。这两类函数最大的不同之处是，对拟合函3231显然，连续函数关系y(t)地得到这种关系。何况，由于仪器和环境的影响，测量数据难免有误差因。达式11109876540246810121416）；中的参数。函数的选择比较灵活，可以选择线性函数、多项式函数、指数函数、三角函数或其它函数，这应根据数据分布的趋势作出选择。为了便，将例1的数据表写成一般的形式xxxxxxxxxxxxxxxxxx61239485761239485假设拟合函数是线性函数，即拟合函数的图形是一条平面上的直线。下一步是确定函数中系数a和b各等于多少？从几何背景来考虑，就是要以a和b作为待定k如果这个点不在直线上，则它的坐标不满足直线方程，有一个绝对值为这是关于a和b的一个二元函数，合理的做法是选取a和b，使得这个b使得函数达到极小。为了求该函数的极小值点，令得这是关于未知数a和b的线性方程组。它们被称为法方程，又可以写成求解这个二元线性方程组便得待定系数a和b，从而得线性拟合函数y=1211109876540246810121416a+bx。下图中直线是数据的线性拟合的结假设拟合函数不是线性函数，而是一个二次多项式函数。即拟合函数的图形是一条平面上的抛物线，而表中的数据点未能精确地落在这条抛物线上的原因是实验数据的误差。则下一步是确定函数中系数a0、a1和a各2等于多少？从几何背景来考虑，就是要以a0、a1和a2的数据恰好落在曲线上，则这个点的坐标满足二次曲线的方程，即这是关于a0、a1和a的2一个三元函数，合理的做法是选取a0、a1和a2，使得这个函数取极小值。为了求该函数的极小值点，令得这是关于待定系数a0、a1和a的2线性方程组，写成等价的形式为11109876540246810121416图反映了例题所给数据的二次曲线拟合的结果xx1x2x2xm已知函数在个离散点处的函数值，假设拟合函数是n次多项式，则需要用所给数据来确定下面的函数EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up0(a),2)的系数应满足的正规方程组如下组的最小二乘解。而多项式拟合所引出的正规方程组恰好是用超定方程组的是右端向量有微小的误差时，可能引起方程组准确解有很大避免求解这样的线性方程组，在做多项式拟合时可以函数做正交化变换，使得所推出的正规方程的系数矩阵是对角矩阵。kjkijii=1得到的一组函数。正交多项式系构造的方法如下：i=1其中，i=1i=12.5用正交多项式系组成拟合函数的多项式拟合xx1x2x2xm中的数据代入，得超定方程上的正交所，以超定方程组的系数矩阵中不同列的列向量是相互正交的向量组。于是用这一矩阵的转置矩阵去左乘超定方程组左、右两端得正规方程组其中因为正规方程组中每i=1i=1同、算法实现上避免了解病态方程组。2.6指数函数的数据拟合问题1：世界人中预测问题下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位：亿)有人根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过60亿。这一结论表中数据推算出2000年世界人口的数量。根据马尔萨斯人口理论，人口数量按指数递增的规律发展。记人口数lnN=a+bt，令y=lnN。于是y(t)=a+bt。程数多于未知数个数的方程组）(3)利用MATLAB解线性方程组Ax=c的命令A\c计算出a、b的值，并写出人口增长函数。利用人口增长函数计算出200问题2人的耗氧能力的数据拟合。11x2体重33x4静止时心速5x跑步时最大心速5由最小二乘法可得正规方程组第三章曲线拟合特性在科学实验或社会活动中,人们常常需要观测很多数据的规律,通过实验或者观测得到量x与y的一组数据对（错误!未找到引用源。）类与数据本质规律相适应的解析表达式，错误!未找到引用源。来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼性出现时，称为线性模型，否者称为非线性模型。已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合的基本方法。3.1.1最小二乘法及其计算在函数的最佳平方逼近中错误!未找到引用源。,如果错误!未找到引用源。只在一组离散点集{错误!未找到引用源。}上给出，这就是验中常见的实验数据{错误!未找到引用源。的}曲线C[a,b]上线性无关函数族，在错误!未找到引用源。中找一个函数错误!这里二乘法。用最小二乘法求曲线时，首先要确定错误!未找到引用源。的形式。这部单纯三数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得观测数据错误!未找到引用源。有关；通常要从问题的运动规律或给定数据描图，确定错误!未找到引用源。的形式，并通过实际计算选到引用源。的一般表达式为（3.2）式表示的线性形式。用源。是k次多项式，错误!未找到引用源。就是n次多项式。为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中错误!未找到引用源。都考虑这里错误!未找到引用源。是[a,b]上的权函数，它表示不同点错误!未找到引用源。处的数据比重不同，用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如(2.2)式的错误!未找到引用源。中求一函数错误!未找到引用的极小点错误!未找到引用源。的问题。由求多元函数极值的必要条件，有若记Ga=d,G非奇异。例如，令错误!未找到引用源。,显然错误!未找到引用源。在 么有错误!未找到引用源。由,此得出的任意n+1(n错误!未找到引用源。)个点错误!未找到引用源。上都有则称函数族错误!未找到引用源。在点集X上满足哈尔条件。这个定义实际上等价于：函数族错误!未找到引用源。的任意线性组合在点集X上至多有n个不同的零点。存在唯一的解错误!未找到引用源。.从而可以得到函数错误!未找到引用故错误!未找到引用源。确是所求最小二乘解。给定错误!未找到引用源。的离散数据错误!未找到引用源。，要确定现系数矩阵G病态的问题，通常对错误!未找到引用源。的简单情形都可其拟合函数错误!未找到引用源。表面上不是（3.2）式的形式，但通过变换仍可化为线性模型。例如错误!未找到引用源。,若两边取对数得它就是形如（3.2）式的线性模型。例设数据错误!未找到引用源。由下表给出解根据给定数据错误!未找到引用源。描图可以得到数学模型为错误!未找到引用源。，故由法方程同。程序中因变量与自变量变换的函数类型较多，通过计算比较误差找到拟合得比较好的曲线，最后输出曲线图形及数学表达式。3.1.2用正交多项式作最小二乘拟合用最小二乘法得到的法方程（3.6其系数矩阵G是病态的，但如果则法方程（2.6）的解为下面用归纳法证明这样给出的错误!未找到引用源。是正交的，由对错误!未找到引用源。及错误!未找到由归纳法假定错误!未找到引用源。时，时错误!未找到引用源。。再看由假定有利用（3.11）式中错误!未找到引用源。表达式及以上结果，得最后，由（3.11）式有至此已证明了由（3.10）式及（3.11）式源。组成一个关于点集错误!未找到引用源。的正交系。用正交多项式错误!未找到引用源。的线性组合作只要根据公司（3.10）及（3.11）逐步求错误!未找到引用源。的同时，相应计算出系数后就可得到所求的拟合曲线不用解线性方程组，只用递推公式，并且当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数加1，其余不用改变。这就是目前用多项式作曲线拟合最后的计算方法。多样，常见的有多项式形式、双曲线形式、对数形式、幂函数形式等等，更复杂的有修正指数曲线、Compterz曲线以及Logistic曲线等。如何根据数据的大致规律来选择合适的模型，是拟合的关键。总的来说有两中可型类型；二是根据专业知识和经验，判断研究的数据曲线属于什么类型。现在研究非线性模型的方法用得最多的就是最小二乘法。3.2.1牛顿迭代计，即借助于泰勒级数展开式进行逐次的线性近似估计。第一步：做Logit-Ln线性回归，求错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,x和p的初值。此时x不能为0值，若输入的x有0值，找到引用源。的初值设为输入的y值的最小值减0.1。通过简单的直线拟合即可求出p和错误!未找到引用源。的初值。第二步：对Logistic方程四个参数求偏微分，得到y对给定系数的增量(△错误!未找到引用源。,△错误!未找到引用源。,△x,△p）的泰勒级数展开式。泰勒级数展开式为：由此，将曲线回归转化为多元线性回归，通过迭代计算，得到四个参数的变量△错误!未找到引用源。,△错误!未找到引用源。,△x,△p，逐步修正四参数的值。多元线性回归与多项式拟合方法相同。叠加。第三步：为保证迭代收敛，在计算相关系数时，引入一系数a，初值每次a的值减半。取循环中得到的相关系数最大的变量矩阵[△错误第四步：默认总的迭代次数为1000次，或者当相关系数不再减小时，则迭代停止。返回得到的四参数值。3.2.2常见非线性模型对于解释变量是非线性的，但参数之间是线性的模型，可以利用变量直接代换的方法将模型线性化，通过线性拟合来计算。kxk+uk=xk原模型可化为线性形式即可利用多元线性回归分析的方法处理了。这类模型广泛地用于生产和成本函数。双曲线函数形式所以弹性为一常数。它表示x变动1%，y变动殊的性质，双对数模型又称为不变弹性模型。1它表示x变动1%，y将变动β1个单位的绝对量。即y的绝对变化量β令则有-x两边取对数得：logy=loga+xlogb令则有两边取对数得：lny=lnd+bx令则有第四章多项式的摆动据错误!未找到引用源。得出指导性的经验公式，即自变量x与因变量y乘法多项式拟合的应用非常普遍，在许多科学文献中，实验结果都以多项式错误!未找到引用源。的形式给出以供参考。虽然多项式的拟合适用普遍，通过适当的拟合多项式的阶数改善曲线逼近实验数据点的程度，但同时也带来不利的一面。提高拟合多项式的阶数，曲线在某些区间往往会产生非期望的起伏，这使得曲线的参考价值大打折扣。基作多项式错误!未找到引用源。形式拟合时当幂次升高时，即使采用正交化的处理，格兰姆矩阵的条件数往往很大，这时正规方程是病态的，这可能导致求解的结果严重的失真，使多项式曲线在某些区间产生振荡，这就是多项式的摆动。实践的结果也表明，这种情况常有发生。例如：表xy⃞=—0.0153x*+8.2405z-1.2543x2+3.0621x-2.0771(a)错误!未找到引用源。（b）错误!未找到引用源。(c)错误!未找到引用源。（d）错误!未找到引用源。图3-1原函数及多阶函数图线图3-1(a)是原函数的图线，图3-1(b,c,d个数增加了，但在一定的区间，曲线的走向出现了与原函数较大的偏差。如果用拟合曲线作原函数关系参考显然是不准确的。4.2影响多项式拟合偏差的因素讲上述摆动产生的拟合曲线偏差由三方面产生。例如，同样以错误!未找到引用源。在同样的区间等问隔产生一组数据如表3-2。使用四阶多项式拟得：xyy=-0.003x^4+0.0669x^3-0.5419x^2+2.1121x-1.8815图3-2四阶函数图线显然增加数据的密度，增强对曲线的约束，拟合曲线在实验数据的区间偏差变小。在实验数据的区间偏差一般较小，而在外推区间随着拟合阶次的提高，往往难以预测。4.3使用多项式拟合的注意事项课题，就是在选择数据处理方法时应该比以往更为慎重。因为稍有不慎，就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至错误的结论。在使用多项式拟合非线性实验数据时，要考虑它的局限性，避免由于处理方法不当给实验带来更大的误差。4.3.1尽量避免高阶多项式的拟合事实上虽然高阶多项式的拟合在实验区间与实验数据能尽可能地接外的摆动常会产生不可预期的走向，不能正确反映自变量和因变量之间的函数关系的变化趋势。例如，根据表3-2数据的四阶拟合函数关系计算相应点的函数值与原函数相比较，如表3-3。从表中可以看出，当x=12.25时时已经与原函数相去甚远因。此这个拟合表达式对实践的指导意义是局限的。xyy"4.3.2保持密度如果确实有必要采用多项式拟合，要保持适当的数据密度同时，尽量采用等间距采样的实验数据。如图3-2.况下可根据散点分布特点考虑其它形式的拟合。例如：表3-2的数据根据未找到引用源。时拟合出的函数：图3-3拟合函数图线描绘的函数关系图线如图3-3。把表3中对应的x值代入错误!未找到引用源。中求出y填入表中。比较y、错误!未找到引用源。和原函数错误!未找到引用源。值，这种拟合方法函数的外推走向与原函数更为接近。第五章残数法与最小二乘法结合式所描绘出的曲线称为二项型指数曲线。此曲线在药代动力学中具有重要的应用价值，常用于研究二室模型药物静脉注射后血药浓度与时间的关系。目前，拟合二项型指数曲线常用的方法为残数法，它是把一条曲线分解成若干指数成分，然后对这些指数成分通过曲线直线化的方式得到相应小，所以其模型的拟合精度仍有提高的空间。线性最小二乘法不便使用的问题。法是残数法，它把一条曲线分解成两个指数成分，每次分析一个指数项。药物静脉注射后的二室模型，其药一时曲线模型为：就可简化为：作错误!未找到引用源。图，取尾端几个近似呈直线关系的点拟合回对式（5.1）进行移项整理，得：推浓度，前者与后者之差为残数浓度，记为错误!未找到引用源。。对其余点（也称外推点）作错误!未找到引用源。图，由尾端向前取几个近似呈需要注意的是，有时尾端多个外推点计算所得的外推浓度错误!未找到引用源。会大于实测浓度y。此时，式（5.合回归直线后，所得的残数线的截距应为错误!未找到引用源。。有时也会遇到部分外推点的外推浓度大于实测浓度而另外一些外推点的外推浓度小于实测浓度的情形，此时可根据二者之差的大小来选择部分点进行分析。若超过1/2的外推点外推浓度与实测浓度之差大于0，则可舍弃另一部分外推点，仅以二者之差大于0的这些外推点按照式(5.5)于0，则可仅以二者之差小于或等于0的这些外推点按照式(5.4)进行分析。采用残数法，可求得参数错误!未找到引用源。的值。然后以残数法非线性最小二乘法来得到拟合效果更好的曲线模型。程算得的响应变量的估计值。相关指数的计算公式为：估计值与实际观察值很接近，曲线拟合得较好，即错误!未找到引用源。越接近于1，曲线拟合得越好。错误!未找到引用源。的计算公式同式根据有关专业知识，已知某药物为双室模型药物，静脉注射100mg后，测得各时间点的血药浓度结果见表4-1。试拟合该药物的药时-曲线。表4-1某药物静脉注射后各时间点的血药浓度时间（h）血药浓度(ug/ml)时间（h）血药浓度(ug/ml)已知此药物是双室模型药物，且采用静脉注射，所以其药一时曲线应计算两个指数项的参数。在计算指数项参数的值时，所得回归直线的斜率和截距对参数值的最终确定有重要影响。而回归直线的斜率和截散点的选择，所以在不同计算阶段，选择合适的散点个数尤为重要。第一步，借助SAS语言的宏功能，将不同计算阶段各种可能选取的散点个数组合都考虑进去，采用残数法进行分析，由计算所得的截距和斜率推导出指数项参数的值，这样每种散点个数组合都可以得到一组值。第二步，将残数法所得曲线模型参数的估计值代入NLIN过程作为初从多个局部最优的曲线模型中，选取拟合效果最好的曲线模型，选取的标准是残差平方和最小。SAS程序见附录34、35、43、44、53。散点组合中的两个数字，依次表示在错误!未找到引用源。图和错误!未找到引用源。图上由尾端向前选取的散点个数。以点即(原6-8号散点)，然后以剩余散点作错误!未找到引用源。图后，再选取错误!未找到引用源。图上的后四个散点即(原2．5号散点)。SAS输出结果显示：这6种散点个数组合，最终所得到的回归方程拟合本资料的残差平方和均为0.000945。这里，可以任选一种组合情形，根据NLIN过对资料的拟合效果见表4-2。表4-2残数法与非线性最小二乘法拟合的回归方程拟合方法散点组合回归方程残差平方和相关指数图4-1最终曲线回归方程对资料的拟合效果果最好，残数法中以散点组合44情形下拟合效果较好。所以，以残数法得到的参数估计值为初始值，再用非线性最小二乘法进一步拟合资料，两法结合应用，所得曲线模型拟合效果更优。最终的曲线回归方程对资料的拟合效果见图4-1，所得模型对该资料的拟合效果令人非常满意。SAS软件的强大功能，以编程的方式实现了残数法的参数估计。SAS软件中的NLIN过程可实现对曲线模型参数的非线性最小二乘估计，所得曲线模型较残数法得到的曲线模型拟合效果更佳。但NLIN过程对参数初始值的结果作为初始值，通过迭代运算，得到更合理的模型参数估计值。散点选择。因此，分析本资料时在程序中引入宏，运行了所有的散点可能，从而得到残差平方和最小的曲线模型。需要说明的是，并非所有的散点组合都是可行的。因为选取散点准备拟合回归直线时，还需计算某些变量的对数值。若选点不合适，则这些变量取值可能为负，这样其对数值就无法计算了，后续的结果也就不准确了。此时，不适合以宏的方式来选取所有散点组合进行相应计算，可根据散点趋势进行人工选点。应充分大。否则，在取点进行直线回归分析时，结果很不稳定。取点的多曲线本身是否最优或较优。第六章总结据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。线性模型的曲线拟合方法，最小二乘法、牛顿迭代法等。项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中减小这些偏差的处理方法。采用最小二乘法使变量转换后所得新变量离均差平方和最小，并不一定能使原响应变量的方和最小，所以其模型的拟合精度仍有提高的空间。本文以残数法与最小二乘法相结合，采用非线性最小二乘法来得到拟合效果更好的曲线模型。就是在选择数据处理方法时应该比以往更为慎重。因为稍有不慎，就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至错误的结论所。以提高拟合的准确度是非常有必要的。结束语决了，在不断的学习过程中我体会到写论文是一个不断学习的过程，从最初刚写论文时对灰色系统的分析方法模糊认识到最后能够对该问题有深过实践考察，对知识的理解不够明确，通过这次的做，真正做到理论实践相结合。总之，通过毕业设计,我深刻体会到要做好一个完整的事情，需要有从整体考虑，完成一步之后再作下一步，这样才能更加有效。致谢一个逗号，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”。感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚谢意！同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，squaresmethods[J].MathematicsofComputation,562-569.nstituteInc2008：4261-4336．[5]左传伟,聂玉峰,美玲.移动最小二乘方法中影响半径的选取[J].[6]曾清红,卢德堂.基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合[J].工程图学学报,2004,25(1):84-89.276-287．[13]．徐秦，薛茜，徐睿．浅论曲线拟合中的相关指数R．中国卫生统[14]JohnHMathews,KurtisDFink.数值方法(MATLAB版)[M].:电子工业,2005:-215.489-512.308-316.[19]白峰杉.数值计算引论[M].:高等教育,2004:82-85.械工业,2004:316-354.华大学,2005:456-460.2011，32(1)：132-137．的应用研究[J]．仪器仪表学报，2009，30(1)：96-102．[25]建平，谭悦，冰．单值模糊广义预测控制及其在热工对象中的应用[27]吉臻，朱红路，常太华，等．基于最小均方自适应滤波器的热工过[30]初福，丙珍，何小荣，等．用于含过失误差数据稳态检测的改进滤[31]高林，喜梅．基于模糊集的稳态检验方法[J]．科技大学学报：自然[32]付克昌，戴连奎，吴铁军．基于多项式滤波算法的自适应稳态检测[34]费业泰．误差理论与数据处理[M]机械工业，2004：141-145．附录1英文原文DepartmentofMathematicsandSAbstract—Thispaperpresentsamethodformovingleastsquaresatisfactoryfittingeffect.discretedata.ThefittingcurvecurvewithinterpolationconditionscanbewritteWhere错误!未找到引用源。.WedefinedifferenceoffittingresultsbetweenouroriginalmethodandthemethodbycalculatingthecorrectionterwrittenasWhereTheweightfunctionWherewhere错误!未找到引用源。.Supposingthereareasetofscatterednodes错误!未找到引用WhereThisformulacanalsobeconsiThecurvefittingmethoSupposingthereareasetofscatterednodes错误!未找到引用WhereSupposingasetofscatteresquaremethodwithinterpolationconditions.Thescattereandinterpolationnodesaresameasabove.Weandmoreeffectivelyreflectsthegeomsquaresmethods[J].Mathema-ticsofComputation,19-158.2004,pp.附录2中文翻译倪慧重宋红星数学与科学部理工大学中国摘要:提出一种带插值条件的移动最小二乘曲线拟合方法。首先考虑带插值条件的最小二乘拟合,构造新的带插值条件最小二乘拟合方法,它具有拟合函数次数低、计算方便等优点。然后,将该方法推广到移动最小二乘拟合中,得到带插值条件的移动最小二乘曲线,实验结果表明该方法拟合效果更好。一、引言数据拟合是一个重要的研究课题,经常用于处理科学实验中涉及到的大量数据,在生物、化工、信号处理、计算机图形学、统计等方面有着重要应用[1]。对于实验中用到的一些数据,需要找到它们隐含的在规律,通常会对这些离散的数据进行曲线拟合,做出逼近曲线,这样要求的曲线不必经过所有的数据点。最常用的方法就是最小二乘法,要求误差的平方和达到最小,可通过解线性方程组求出拟合曲线。后来出现了一些优于最小二乘法的拟合方法,有一种方法称为移动最小二乘法,相对于最小二乘法有着许多优点。Lancaster和Salkauskas最早在曲面生成中使用了移动最小二乘法。近年来,移动最小二乘法在无网格方法等领域中有着广泛的应用。对通常的最小二乘法和移动最小二乘法进行插值处理。文献[6]中针对带插值条件的最小二乘法进行了讨论,并给出了构造公式。本文提出一种新的带插值条件最小二乘方法,与文献[6]相比,构造的拟合函数具有次数低、计算方便等优点,并可将该方法应用于移动最小二乘拟合中,得到的拟合效果更好。二、二、最小二乘曲线拟合与插值条件A、建立新的拟合公式假设给定离散点为错误!未找到引用源。,插值条件为错误!未找到引令最小二乘曲线拟合。小二乘拟合曲线次数为Max{m-1,t-1},带插值条件最小二乘拟合函数次数低。另外,我们也可将该构造公式看成是一般最小二乘拟合公式的修正,其修正项为错误!未找到引用源。。因此可先通过一般最小二乘方法得到小二乘拟合曲线可看成是方法二的有效近似,但计算更加简洁方便。B、曲线拟合的例子给定一组离散数据x=[1,2.5,4.5,6,7,8,9,10];y=[1,2,2.5,3,4,5,5.5,7],要求据的同时曲线要经过(x1,y1),(x8,y8)即,(1,1),(10,7)两点,分别采用一函数为2次多项式),虚线表示的曲线是通过对应修正项计算得到的插值条件最小二乘拟合效果。图4中实线表示的曲线是使用方法二并取经验函数为3次多项式得到的拟合效果,虚线表示的曲线是通过修正项计算得到的拟合效果。实验结果发现,本文方法可以使用次数较低的经验函数构造带插值条件最小二乘拟合曲线跟方法二相比,拟合效果相差不大,但计算更加方便。三、移动最小二乘法A、移动最小二乘曲线拟合将拟合函数表述为如下形式:权错误!未找到引用源。式为:权函数应该是非负的,且随着错误!未找到引用源。的增加单调递减,权函数还应该具有紧支性即,在支持域(的x影响区域)不等于0,在支持域是样条函数,记错误!未找到引用源。，则三次样条函数形式如下:要求出待定系数错误!未找到引用源。,先要使J取得最小值,先将式(3)写成矩阵形式:根据最小二乘原理求得待定系数为：代入式（2得拟合函数为法增加插值条件,可利用上面带插值条件的最构造。假设若给出的离散点为错误!未找到引用源。,插值条件为错误!未找值条件的移动最小二乘拟合曲线可表示为误!未找到引用源。,其具体计算过程为:a)先求出不带插值条件的移动最小二乘拟合曲线;动最小二乘拟合曲线。进行比较。给定离散数据点为x=[1,2.5,4.5,6,7,8,