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文档简介
几何辅助线进阶训练——一般四边形的辅助线:连对角线、延长对边、作平行一、阶段一(较易)1.如图,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,∠B=90°,求CD的长. 2.如图,在四边形ABCD中,已知∠B=90°,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.3.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tanA=434.如图,四边形ABCD是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验田”,经过测量得知∠B=90°,AB=24m,BC=7m,CD=15m,AD=20m.求四边形ABCD的面积.5.已如:如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,6.如图,在四边形ABCD中,AD=11,AB=5,BC=10,CD=8,∠BAD=90°,求四边形ABCD的面积.7.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,8.已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,DA=3,∠ABC=90°,求四边形ABCD的面积.9.如图,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的长.10.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,AD=4,CD=26,求∠BAD二、阶段二(中等)11.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC,垂足为E,AE=3,求四边形ABCD的面积.12.如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH,当四边形ABCD的对角线满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,并说明理由.13.如图所示,四边形ABCD,已知AB⊥BC,AB⊥AD,AB=BC=2,CD=514.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°, ∠B=∠D=90°,15.如图,四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,∠BCD=150°,CB=CD,M、N分别为AB、AD上的动点,且∠MCN=75°.求证:MN=BM+DN.16.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC于E,若线段AE=5,BE=2,则S四边形ABCD的面积为多少?17.有一块如图所示的四边形空地,求此空地的面积.(结果保留根号)18.四边形ABCD中,∠A=90°,AB=AD,DE平分∠ADC,AE=25,∠AED=∠C,CD=65,求19.如图,四边形ABCD是一个菱形绿地,其周长为402m,∠ABC=120°,在其内部有一个四边形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点,现在准备在花坛中种植茉莉花,其单价为10元/m2,请问需投资金多少元?(结果保留整数)20.如图,在四边形ABCD中,∠ADB=∠ABC=105°,∠A=∠C=45°.求证:CD=AB.三、阶段三(较难)21.如图,OE,OF分别是AC,BD的垂直平分线,垂足分别为E,F,且AB=CD,∠ABD=120°,∠CDB=38°,求∠OBD的度数.22.如图,在四边形ABCD中,AC、BD是对角线,已知△ABC是等边三角形,∠ADC=30°,AD=3,BD=5,求边CD的长.23.如图1,在平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别O(0,0),A(3,33),B(9,53),C(14,0).动点P与Q同时从O点出发,运动时间为t秒,点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动,点Q沿折线OA−AB−BC运动,在OA,AB,BC上运动的速度分别为3,3,52(1)求AB所在直线的函数表达式.(2)如图2,当点Q在AB上运动时,求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.(3)在P,Q的运动过程中,若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点,求相应的t值.24.四边形ABCD是正方形,AC与BD,相交于点O,点E、F是直线AD上两动点,且AE=DF,CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.(1)如图1,当点E、F在线段AD上时,①求证:∠DAG=∠DCG;②猜想AG与BE的位置关系,并加以证明;(2)如图2,在(1)条件下,连接HO,试说明HO平分∠BHG;(3)当点E、F运动到如图3所示的位置时,其它条件不变,请将图形补充完整,并直接写出∠BHO的度数.25.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,∠C=120°,AD=436,BC=426.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,点E是边AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若AB=23,求PB+PE的最小值是多少?27.公园里有一块形如四边形ABCD的草地,测得BC=CD=20米,∠A=45°,∠B=∠C=120°,请求出这块草地面积.28.如图:【问题背景】如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,点E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使GD=BE,连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是▲.【探索延伸】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=1229.如图,四边形ABCD和四边形AEFG均为菱形,且∠EAG=∠ABC.点G在线段AD上,已知AD=5,AG=3,且cos∠ABC=12,连接AF,BF,求30.四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的点(与B、C不重合).点F在正方形外角∠DCG的平分线CH上,且AE=EF.求证:∠AEF=90°.
答案解析部分1.【答案】解:如图,分别延长AD、BC,延长线相交于点E.∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠E=60°.又∵∠ADC=120°,∴∠CDE=60°,即∠CDE=∠E,∴ΔCDE为等边三角形,∴DE=CE.∵∠A=30°,∠ABE=90°,∴BE=1∴1+CE=1∴CD=CE=DE=2,即CD的长为2.2.【答案】解:连接AC,∠B=90°,AB=4,BC=3,∴AC=∵CD=12,AD=13,∴AC2∴A∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°,∴S===6+30=36.3.【答案】解:如图,延长AD、BC相交于点E,∵∠B=90°,∴tanA=∴BE=4∴CE=BE-BC=2,AE=A∴sinE=又∵∠CDE=∠CDA=90°,∴在Rt△CDE中,sinE=∴CD=CE⋅sin∴DE=C∴S===1264.【答案】解:连接AC,如图,
在Rt△ABC中,AB=24m,BC=7m,
∴AC=AB2+BC2=242+72=25(m),
在△ADC中,CD=15m,AD=20m,AC=25m,
∵CD2+AD2=152+205.【答案】解:如图,连接AC,∵∠B=90°∴AC=∵CD=12,∴A∴∠ACD=90°所以四边形ABCD的面积为:16.【答案】解:连接DB,在Rt△ABD中,AD=11,AB=5,∠BAD=90°,∴BD=A∵BC=10,CD=8,∴BC2=BD2+CD2,∴∠BDC=90°,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△DCB=12×5×117.【答案】解:延长CB,∵∠A=∠C=90°,∴∠E=45°∴∠E=∠D=∠ABE=45°∴CE=CD=6S8.【答案】解:连接AC,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC=AB∵CD=1,AD=3,AC=22∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,∴四边形ABCD的面积:S=S△ABC+S△ACD=12AB×BC+12×AC×CD=12×2×2+12×1×29.【答案】解:延长AD、BC,两条延长线交于点E,∵∠B=90°,∠A=30°∴∠E=60°∵∠ADC=120°∴∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形则CD=CE=DE设CD=x,则CE=DE=x,AE=x+4,BE=x+1∵在Rt△ABE中,∠A=30°∴x+4=2(x+1)解得:x=2∴CD=2.10.【答案】解:连接AC,∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC=AB2∵AD=4,CD=26∴AD2+A∴AD∴∠DAC=90°,∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=135°.11.【答案】解:过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点,如图,∵AE⊥BC,AF⊥CF,∴∠AEC=∠CFA=90°,而∠C=90°,∴四边形AECF为矩形,∴∠2+∠3=90°,又∵∠BAD=90°,∴∠1=∠3,在△ABE和△ADF中,∠1=∠3∠AEB=∠AFD∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AE=AF=3,S△ABE=S△ADF,∴四边形AECF是边长为3的正方形,∴S四边形ABCD=S正方形AECF=32=9.12.【答案】解:当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时,四边形EFGH是矩形.理由如下:如图,连接AC、BD.∵E、H分别是AB、AD中点,∴EH∥BD,EH=12同理FG∥BD,FG=12∴EH∥FG,EH=FG,∴四边形EFGH是平行四边形,∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点,∴EH∥BD,HG∥AC,∵AC⊥BD,∴EH⊥HG,又∵四边形EFGH是平行四边形,∴平行四边形EFGH是矩形.13.【答案】解:如图,过点C作CE⊥AD,∵AB⊥BC,AB⊥AD,∴四边形ABCE是矩形,∵AB=BC,∴四边形ABCE是正方形,∴CE=AB=AE=BC=2,∵CD=5在Rt△CDE中,DE=C∴AD=AE+ED=2+1=3,∴S四边形=114.【答案】解:延长AD、BC相交于点E,∵∠B=∠D=90°∴Rt△ABE中,∠A=60°∴∠E=90°−60°=30°Rt△CDE中,CD=4∴CE=2CD=2×4=8BE=BC+CE=6+8=14设AB=x在Rt△ABE中,由勾股定理得,x3x=∴AB=1415.【答案】证明:延长AB至点E,使得BE=DN,连接CE,∵四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,∠ABC+∠CBE=180°,∴∠CBE=∠CDN,在ΔCBE和ΔCDN中,CB=CD∠CBE=∠CDN∴ΔCBE≅ΔCDN(SAS),∴∠BCE=∠DCN,CN=CE,∵∠BCD=150°,∠MCN=75°,∴∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=75°,∴∠MCN=∠MCE,在ΔECM和ΔNCM中,MC=MC∠MCN=∠MCE∴ΔECM≅ΔNCM(SAS),∴MN=ME=BM+BE=BM+DN.16.【答案】解:作DF⊥AE于点F,如图,∵∠DAF+∠BAE=90°,∠BAE+∠B=90°,∴∠DAF=∠B,在△ABE和△DAF中,∠AEB=∠DFA=90∴△ABE≌△DAF(AAS),∴AF=BE=2,DF=EC=AE=5∵四边形ABCD的面积为△ABE面积、△DAF面积、矩形CDFE面积之和,∴S四边形ABCD=12BE⋅EA+1答:四边形ABCD的面积为25.17.【答案】解:如图,连接BD,过D点作DE⊥AB于E,过B点作BF⊥CD于F.∵∠A=∠C=60°,∴DE=30•sin60°=153BF=20×sin60°=103∴S四边形ABCD=118.【答案】解:延长CB分别交DE、DA的延长线于点H点和G点,如图:∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠HDC,∵∠AED=∠C,∠DAE=90°,∴∠DHC=90°,∴△CDG是等腰三角形,∴DG=CD=65∵∠BEH=∠DEA,∠DAE=∠BAG,∴∠ADE=∠GBA,在△BGA和△DEA中∵∠ADE=∠GBAAD=AB∴△BGA≅△DEA,∴AG=AE=25∴AD=45∴DE=A19.【答案】解:连接BD,AC,∵菱形ABCD的周长为402m,∴菱形ABCD的边长为102m,∵∠ABC=120°,∴△ABD,△BCD是等边三角形,∴对角线BD=102m,AC=106m,∵E,F,G,H是菱形ABCD各边的中点,∴四边形EFGH是矩形,矩形的边长分别为52m,56m,∴矩形EFGH的面积为52×56=503(m2),即需投资金为503×10=5003≈866(元).答:需投资金为866元.20.【答案】解:B作BE⊥AB交BC的延长线于点E,则AB=BE,∠E=∠A,∵∠ADB=∠ABC=105°,∠A=∠C=45°,∴∠E=∠C,∠ABD=30°,∠ADB+∠BDE=180°,∴∠BDE=75°,∠DBC=75°,在△BCD与△DEB中,∠C=∠E∴△BCD≌△DEB(AAS),∴CD=BE=AB.21.【答案】解:连接OA,OC,∵OE,OF分别是AC,BD的垂直平分线,∴OA=OC,OB=OD,∵AB=CD,∴△ABO≌△COD(SSS),∴∠ABO=∠CDO,设∠OBD=∠ODB=α,∠ABO=∠CDO=β,∴α+β=120°,β﹣α=38°,∴α=41°,∴∠OBD=41°.22.【答案】解:如图,将CD绕点C按顺时针方向旋转60°得CE,连接DE、AE、CE,则△CDE是等边三角形.∵△ABC和△CDE是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE=DE,∠ACB=60°,∠CDE=∠DCE=60°,∴∠BCD=∠ACE,∴△BCD≌△ACE,∴AE=BD=5,∵∠ADC=30°,∴∠ADE=90°,在Rt△ADE中,由勾股定理得,DE=AE∴CD=4.23.【答案】(1)解:把A(3,33),B(9,5)代入y=kx+b,得3k+b=339k+b=53∴y=33x+23(2)解:在△PQC中,PC=14-t,PC边上的高线长为32∴S=∴当t=5时,S有最大值;最大值为813(3)解:a.当0<t≤2时,线段PQ的中垂线经过点C(如图1);可得方程3解得:t1=74,b.当2<t≤6时,线段PQ的中垂线经过点A(如图2)可得方程33解得:t1=3+572c.当6<t≤10时,①线段PQ的中垂线经过点C(如图3)可得方程14-t=25-52解得:t=223②线段PQ的中垂线经过点B(如图4)可得方程53解得t1=38+20此时t=38+20综上所述:t的值为74,3+572,2224.【答案】(1)①证明:∵四边形ABCD为正方形,∴DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,在△ADG和△CDG中,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG;②解:AG⊥BE.理由如下:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,在△ABE和△DCF中,∴△ABE≌△DCF(SAS),∴∠ABE=∠DCF,∵∠DAG=∠DCG,∴∠DAG=∠ABE,∵∠DAG+∠BAG=90°,∴∠ABE+∠BAG=90°,∴∠AHB=90°,∴AG⊥BE;(2)解:由(1)可知AG⊥BE.如答图1所示,过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,则四边形OMHN为矩形.∴∠MON=90°,又∵OA⊥OB,∴∠AON=∠BOM.∵∠AON+∠OAN=90°,∠BOM+∠OBM=90°,∴∠OAN=∠OBM.在△AON与△BOM中,∴△AON≌△BOM(AAS).∴OM=ON,∴矩形OMHN为正方形,∴HO平分∠BHG.(3)将图形补充完整,如答图2示,∠BHO=45°.与(1)同理,可以证明AG⊥BE.过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,与(2)同理,可以证明△AON≌△BOM,可得OMHN为正方形,所以HO平分∠BHG,∴∠BHO=45°.25.【答案】解:作AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F,则四边形AEFD是矩形,AE=DF,EF=AD=436设AE=DF=x,∵直角△ABE中,∠B=45°,∴BE=3x3=∵在直角△CDF中,∠DCF=180°﹣120°=60°,∴CF=3x3=xtan又∵EF=BC+CF﹣BE,∴436=42+3解得:x=42.在直角△CDF中,CD=xtan60°=42sin26.【答案】解:如图,连接PD,BD,∵四边形ABCD是菱形,∴对角线AC与BD互相垂直平分,∴AC是BD的垂直平分线,∴PD=PB,∴PB+PE=PD+PE,由两点之间线段最短可知,当点D,P,E在同一直线上时,PD+PE取得最小值,最小值等于线段DE的长,即PB+PE的最小值为线段DE的长,∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,AB=23∴∠BAD=60°,AD=AB=23∴△ABD是等边三角形,又∵点E是AB的中点,∴DE⊥AB,AE=1∴在Rt△ADE中,DE=A故PB+PE的最小值是3.27.【答案】解:连接BD,过C作CE⊥BD于E,如图所示:∵BC=DC=20,∠ABC=∠BCD=120°,∴∠1=∠2=30°,∴∠ABD=90°.∴CE=12∴BE=103,∵∠A=45°,∴AB=BD=2BE=203,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=1=12×203×203+12×20=(600+1003)m2.28.【答案】【问题背景】EF=BE+FD
【探索延伸】结论EF=BE+DF仍然成立,理由如下:如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,在△ABE和△ADG中,∵DG=BE∠B=∠ADC∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DA
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