1.1.1探索勾股定理（课件）2025-2026学年度北师大版数学八年级上册

第一章

勾股定理

一个直角三角形的两条直角边长分别是

3

和

4

,你知道它的斜边长是多少吗?已知直角三角形的两条边长，你能求出它的第三条边长吗?实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这些问题.

勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理，加之反映勾股定理内容的图形形象直观，数学家曾建议用这个图形作为与“外星人”联系的信号、让我们一起探索这个古老的定理吧!1.1勾股定理第1课时

探索勾股定理1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数

量关系。（重点）2.能够运用勾股定理进行简单的计算。（难点）新

课

引

入

如图,从电线杆离地面

8m

处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部

6m

,那么需要多长的钢索?

事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧!

在直角三角形中，任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系.思考1

在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系.与同伴进行交流.34533

32＋42＝25＝52

三边长的平方之间的关系：两个直角边的平方和等与斜边的平方。ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图1－1图1－2(1)观察图1－1

正方形

A中含有

个小方格，即

A的面积是

个单位面积。正方形

B的面积是

个单位面积。999思考2

如图，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1－1图1－2☀思考：如何求

C的面积？

ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1－1图1－2（2）在图1－2中，正方形

A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？（3）你能发现两图中三个正方形

A，B，C的面积之间有什么关系吗？4,4,8面积关系：SA＋SB＝SC9,9,18；4,4,8（5）如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，那么上面所猜想的数量关系还成立吗?说说你的理由。（4）如图，图中的直角三角形是否也具有这样的关系？具备ABCacb观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想：两直角边a、b与斜边

c之间的关系？结论2：a2＋b2＝c2结论1：SA＋SB＝SC

通过上面的活动，同学们一定发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理。

如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2．aABCbc∟试一试

新课引入中的问题，需要多长的钢索？解：如图所示，8m6mABC在Rt△ABC中，AB＝8m，BC＝6m，根据勾股定理，得：

答：需要10m

长的钢索.例1求下图中字母所代表的正方形的面积.其中S1＝4,S3＝15。解：(1)A

的边长为直角三角形的斜边，则

A

的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：36和64,A

的面积36＋64＝100。例1求下图中字母所代表的正方形的面积.其中S1＝4,S3＝15。解：(2)由勾股定理可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和，∴S3＝S1＋S2,则S2＝S3－S1＝11。例2

已知∠ACB＝90°,CD⊥AB,AC＝3,BC＝4.求

CD

的长。解：由勾股定理可得，ADBC34

AB2＝AC2＋BC2＝25，即AB＝5。根据三角形面积公式，

解：当高

AD

在△ABC

内部时，如图①.

在Rt△ABD

中，由勾股定理，

得

BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，

∴

BD＝16；

在Rt△ACD

中，由勾股定理，

得

CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，

∴

CD＝9.∴

BC＝BD＋CD＝25，

∴△ABC

的周长为

25＋20＋15＝60.例3

在△ABC

中，AB＝20，AC＝15，AD

为

BC

边上的高，且AD＝12，求△ABC

的周长。图①💡归纳

题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况。如在本例题中，易只考虑高

AD

在△ABC

内的情形，忽视高

AD

在△ABC

外的情形。当高

AD

在△ABC

外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9。∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC

的周长为

7＋20＋15＝42。综上所述，△ABC

的周长为

42

或

60。图②1.在Rt△ABC中，AB＝3,BC＝4,则

AC²的值为（

）A.25