高等数学（上册第2版） 课件 第3章第4节 函数性态与图形

第三章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics中值定理与导数的应用高等数学上海财经大学数学学院

编e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函数的极值及其求法一、函数单调性的判别法目录/Contents第四节函数性态与图形三、曲线的凹凸性与拐点四、曲线的渐近线五、函数图形的描绘一、函数单调性的判别法先从几何直观图形来观察.若区间内,曲线是上升的,即函数是单调增加的,则曲线上每一点的切线斜率都非负,也即,(如图3.3(a)).若区间内,曲线是下降的,即函数是单调减少的,则曲线上每一点的切线斜率都非正,也即,(如图3.3(b)).(a)函数图形上升时切线斜率都非负(b)函数图形下降时切线斜率都非正图3.3反过来,能否用导数的符号来判别函数的单调性呢?一、函数单调性的判别法OxyABaby=f(x)OxyABaby=f(x)一、函数单调性的判别法定理3.8（单调性判定定理）在内可导,（1）如果,恒有,则在内单调增加；（2）如果,恒有,则在内单调减少.证明在区间内任取两点,,设,则函数在上连续,在内可导,由拉格朗日中值定理,得,.（1）如果,恒有,则,于是,即函数在内单调增加.（2）如果,恒有,则,于是,即函数在内单调减少.在上连续,设函数一、函数单调性的判别法注意（1）如果定理中的换成其他各种区间（包括无穷区间）,结论仍然成立；（2）若有（或）,且等号只是在个别点处成立,结论仍然成立.判断函数单调性的步骤:①确定函数的定义域；②求,找出定义域内或不存在的点

,这些点将定义域分成若干区间；③列表在各区间判别的符号,从而确定函数的单调性.一、函数单调性的判别法图3.4【例1】判断函数的单调性.解函数的定义域为,又,且只有当时,,所以在内单调增加（如图3.4）.Oxyy=x3一、函数单调性的判别法↗↘↗【例2】确定下列函数的单调区间：(1).解函数的定义域为,又令,得,.列表判断如下:注:表中符号“↗”表示单调增加;“↘”表示单调减少.,图3.5一、函数单调性的判别法所以,在

内单调减少(如图3.5).y21Ox-1

在

,

内单调增加；图3.6一、函数单调性的判别法↘↗y=x23yOx(2).解函数的定义域为,又,当时不存在.列表判断如下:所以,在内单调减少；(如图3.6).内单调增加在一、函数单调性的判别法【例3】证明：当时,.证明令,则当时,；即,故也即.,在内单调增加,所以,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函数的极值及其求法一、函数单调性的判别法目录/Contents第三节函数性态与图形三、曲线的凹凸性与拐点四、曲线的渐近线五、函数图形的描绘二、函数的极值及其求法定义3.1设函数在点的某个邻域内有定义,对于邻域内异于的任意一点均有,则称是函数极大值,称是函数的极大值点；对于邻域内异于的任意一点均有,则称函数极小值,称是函数的极小值点.函数的极大值和极小值统称极值；函数的极大值点和极小值点统称极值点.图3.7Oxy二、函数的极值及其求法bax1x2x3x4x5函数在点,有极大值,,在点,有极小值,；即该切线的斜率为零,但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值.例图3.7中处曲线上有水平切线,但不是极值.显然,函数的极值是一个局部性的概念,它只是在与极值点附近局部范围的所有点的函数值相比较而言.为了研究函数极值的求法,先观察(如图3.7)所示函数的图形.,如果曲线的切线存在,那么该切线平行于轴,在函数取得极值处二、函数的极值及其求法定理3.9

(极值存在的必要条件)设函数在点处可导,且在点处取得极值,则函数在点处的导数为零,即.证明不妨设为极大值(极小值情形可类似证明),由极大值的定义,在点的某个去心邻域内,对于任何点,总有成立,于是当时,；当时,,由函数极限的保号性推论,可知二、函数的极值及其求法又由假设在处可导,所以即有.,；,二、函数的极值及其求法使导数为零即的点称为函数的驻点.定理3.9说明,可导函数的极值点一定是它的驻点；值点.例如,是函数的驻点,可它并不是极值点.另外,对于导数不存在的点,函数也可能取得极值.例如,函数,它在点处导数不存在,但在该点却取得极小值.所以,函数的可能的极值点在,或不存在的点中.下面给出函数极值的判别法.但驻点不一定是极二、函数的极值及其求法定理3.10

(判别极值的第一充分条件)设函数在点的某一邻域内连续,在去心邻域内可导,(1)若当时,；则是函数的极大值点；(2)若当时,；则是函数的极小值点；(3)若当时,保号,则不是函数的极值点.时,,当时,,当二、函数的极值及其求法证明根据函数单调性判别法,由(1)中假设可知,函数在点的左邻域单调增加,函数在点的右邻域单调减少,且在点处连续,所以在点的某一邻域内恒有,即是极大值,是函数的极大值点.同理可证(2).(3)因为在,保号,因此在左右两边均单调增加或单调减少,所以不可能是函数的极值点.二、函数的极值及其求法判别函数极值的一般步骤如下:①确定函数的定义域；②求,找出定义域内使或不存在的点,这些点将定义域分成若干区间；③列表由在上述点两侧的符号,确定是否是极值点,是极大值点还是极小值点；④求出极值.函数在处取得极小值.二、函数的极值及其求法↘↘↗↗【例4】求函数的极值.解函数的定义域为,又,令,得驻点,,.列表判断如下:所以,二、函数的极值及其求法↗↘↗所以,函数在,内单调增加,在内单调减少；处取得极大值,在点处取得极小值.【例5】求函数的单调区间和极值.解函数的定义域是,又,令,得驻点,不存在的点.列表判断如下:在点二、函数的极值及其求法当函数在驻点处有不等于零的二阶导数时,我们往往利用二阶导数的符号来判断函数的驻点是否为极值点,

定理3.11

(判别极值的第二充分条件)设函数在点处有二阶导数,且,.(1)若,则函数在点处取得极大值；(2)若,则函数在点处取得极小值..即有下面判定定理二、函数的极值及其求法证明(1)由二阶导数的定义,及,,得由函数极限的保号性,可知,所以当时,；由定理3.8可知,函数在处取得极大值.同理可证(2).,时,,当二、函数的极值及其求法判别可导函数极值的一般步骤如下:①确定函数的定义域；②求定义域内的驻点,即定义域内的点；③由在定义域内的驻点处的符号,④求出极值.确定是极大值点还是极小值点；二、函数的极值及其求法【例6】求函数的极值.解函数的定义域是,又,令,得驻点,,因为,所以函数在处取得极大值,因为,所以函数在处取得极小值.,二、函数的极值及其求法注意当时,定理3.11

失效,此时需用定理3.10或极值定义判别.【例7】求函数的极值.解函数的定义域是,又,,令,得驻点,,,因为,所以函数在处取得极小值,而,无法用定理3.11判别,需用定理3.10判别,过程见例1.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函数的极值及其求法一、函数单调性的判别法目录/Contents第三节函数性态与图形三、曲线的凹凸性与拐点四、曲线的渐近线五、函数图形的描绘三、曲线的凹凸性与拐点ABCD图3.8xyO前面,我们研究了函数的单调性与极值,这对描绘函数的图形有很大的作用,但是,仅仅知道这些,还不能比较准确地描绘函数的图形.同样是上升(或下降)的曲线弧却有不同的弯曲状况(如图3.8)向下弯曲,向上弯曲,因此研究函数图形时,还要研究曲线的弯曲状况,即曲线的凹凸性.图3.9三、曲线的凹凸性与拐点yx1x——1x+x22x2OBAf)((x+x)——2f12（a）OBAyxx1+——x1x22x2——x)+)2f(1f(x2（b）从几何上看到,如图3.9,在有的曲线弧上,如果任取两点,则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段上方（如图3-9）,而有的曲线弧,则正好相反（如图3-9）.曲线的这种性质就是曲线的凹凸性.三、曲线的凹凸性与拐点定义3.2设在区间内连续,,恒有,则称在区间内是凹的；如果恒有,则称在区间内是凸的.三、曲线的凹凸性与拐点如果在区间内具有一阶导数,则有下面性质：性质3.1设函数在区间内具有一阶导数,若曲线位于其每一点处切线的上方,则称函数在区间内凹的；位于其每一点处切线的下方,则称函数在区间内凸的.如果在区间内具有二阶导数,

号来判定曲线的凹凸性.若曲线那么可以利用二阶导数的符三、曲线的凹凸性与拐点定理3.12

设函数在区间内具有二阶导数,那么(1)若当时,,则曲线在内是凹的；(2)若当时,,则曲线在内是凸的.定理的证明略去.定义3.3设为曲线上一点,若曲线在点的两侧有不同的凹凸性,则点称为曲线的拐点.三、曲线的凹凸性与拐点定理3.13（拐点的必要条件）若在点的某个邻域内二阶可导,且为曲线的拐点,则.仅仅是为拐点的必要条件.例如,对于函数,由于,因此曲线在内是凹的,这时虽然有,但并不是该曲线的拐点.下面给出判别拐点的两个充分条件：三、曲线的凹凸性与拐点定理3.14

设在的某个邻域内二阶可导,且,若在点的左、右两侧异号,则是曲线的拐点,的左、右两侧同号,则不是曲线的拐点.定理3.15

设在的某个邻域内三阶可导,且,,则是曲线的拐点.此外,对于不存在的点,也可能是曲线的拐点.在点若三、曲线的凹凸性与拐点注意极值点,驻点是指轴上的点,而拐点是指曲线上的点.判别曲线的凹凸性与拐点的一般步骤如下:①确定函数的定义域；②求,并找出定义域内或不存在的点,这些点将定义域分成若干区间；③列表,由在上述点两侧的符号确定曲线的凹凸性与拐点.三、曲线的凹凸性与拐点【例8】求曲线的的凹凸区间与拐点.解曲线对应函数的定义域是,又,令,得,.列表判别如下:所以,曲线在,内是凹的；曲线的拐点为和.,内是凸的；在三、曲线的凹凸性与拐点【例9】求曲线的凹凸区间与拐点.解曲线对应函数的定义域是,又,,不存在的点为.列表判别如下:所以,曲线在内是凹的；拐点为.内是凸的；在曲线的三、曲线的凹凸性与拐点10【例】求曲线的凹凸区间与拐点.解曲线对应函数的定义域是,又,,令,得；不存在的点为.列表判别如下:所以,曲线在内是凹的；的拐点为.内是凸的；在曲线非拐点e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函数的极值及其求法一、函数单调性的判别法目录/Contents第三节函数性态与图形三、曲线的凹凸性与拐点四、曲线的渐近线五、函数图形的描绘四、曲线的渐近线可以判定函数的单调性和曲线的凹凸性,利用函数的一阶导数和二阶导数,从而对函数所表示的曲线的升降和弯曲情况有定性的认识,但当函数的定义域为无穷区间或有无穷间断点时,如何刻画曲线向无穷远处延伸的趋势变化?为此,需要引入曲线渐近线的概念.定义3.4当曲线上的一动点沿着曲线趋于无穷远时,如果该点与某定直线的距离趋于零,那么直线称为曲线的渐近线.四、曲线的渐近线1.水平渐近线设曲线,如果,或或,那么直线称为曲线的水平渐近线.【例11】求曲线的水平渐近线.解因为,所以直线为曲线的水平渐近线.四、曲线的渐近线【例12】求曲线的水平渐近线.解因为,所以直线为曲线的水平渐近线.又因为,所以直线为曲线的水平渐近线.【例13】求曲线的水平渐近线.解因为,所以直线为曲线的水平渐近线.四、曲线的渐近线2.铅直渐近线设有曲线,如果存在常数,使得或或,那么直线称为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线又叫垂直渐近线.【例14】求曲线的渐近线.解因为,所以直线为曲线的铅直渐近线.四、曲线的渐近线【例15】求曲线的铅直渐近线.解因为,所以直线为曲线的铅直渐近线.【例16】求曲线的水平渐近线和铅直渐近线.解因为,,所以直线为曲线的水平渐近线,直线为曲线的铅直渐近线.四、曲线的渐近线3.斜渐近线设有曲线和直线,如果或或,那么直线称为曲线的斜渐近线.下面给出求的公式,由,有,所以,.四、曲线的渐近线由,有,所以,.由,有,所以,.四、曲线的渐近线【例17】求曲线的斜渐近线.解因为且所以直线为曲线的斜渐近线.,,四、曲线的渐近线【例18】求曲线的渐近线.解因为,

又因为且所以直线为曲线的斜渐近线.为曲线的铅直渐近线；所以直线,；e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函数的极值及其求法一、函数单调性的判别法目录/Contents第三节函数性态与图形三、曲线的