认知二次曲面培训教材

二次曲面北冥有鱼，其名为鲲。鲲之大，不知其几千里也！化而为鸟，其名为鹏。鹏之背，不知其几千里。7/20/20251二次曲面§7.1柱面球面锥面旋转面二次曲面课堂练习7/20/20252在空间直角坐标系中，三元方程F(x,y,z)=0表示空间曲面，而则表示空间曲线.本节主要讨论一些常见的曲面.研究空间曲面方程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状.所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.7/20/20253球面的参数方程1.球心在原点P0yxzPzxy球心不在原点时7/20/20255曲面和曲线的参数方程例：求球面x2+y2+z2=5与平面z=1的交线C的方程。例：设动点在一平面内做匀速圆周运动，角速度为b,圆的半径为a;另一方面，该平面沿着与平面垂直的方向做匀速直线运动,速率为v,求动点C运动的轨迹。P.2417/20/20256二、柱面由一族平行直线形成的曲面叫做柱面。T:空间一条定曲线C:空间一条定直线动直线L始终平行于直线C并沿着曲线T移动而形成的轨迹。动直线L称为柱面的母线。，称为柱面的准线。，确定了柱面的方向。注：柱面由准线T和定直线C的方向唯一确定。反之，柱面的准线不唯一。7/20/20257xyzoLT母线平行于z轴的柱面方程.图1因此该柱面方程中不含有z,可设柱面方程为:C求柱面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。7/20/20258一般地,在空间直角坐标系中,方程f(x,y)=0(不含z),表示母线平行于z轴的柱面,它的一条准线为

方程g(x,z)=0(不含y),表示母线平行于y轴的柱面,它的一条准线为

方程h(y,z)=0(不含x),表示母线平行于x轴的柱面,它的一条准线为注：缺哪个自变量柱面就平行于哪个坐标轴。二元二次方程为母线平行于坐标轴的柱面7/20/20259例：说明下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面?xyzyzxyoxzzxyoxyzo7/20/202510例：建立母线平行于C：x=y=z，且准线为的柱面方程。

x2+y2+z2=cx+y+z=07/20/202511三、锥面过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面.动直线L沿定曲线T移动，并且L移动时始终经过动点M0。L称为锥面的母线，T称为锥面的准线，M0称为锥面的顶点。oxyz同理，锥面由准线顶点唯一决定，并且锥面的准线不唯一。求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。7/20/202512锥面方程的求解求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。7/20/202513例子锥面的顶点在坐标原点，且准线为：x2+y2=1z=c(c为常数),求锥面的方程.解：设P(x,y,z)为锥面上任一点,母线OP交准线于点P1(x1,y1,z1),则有消去参数x1,y1,z1可得z2=c2(x2+y2)。锥面的参数方程：xyzo7/20/202514四、旋转面圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另一条直线旋转一周所成的曲面.一般地，由一条曲线L绕一条定直线l旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.一般考虑平面曲线绕坐标轴旋转而成的曲面。P1(0,y1,z1)P(x,y,z)yxzo点P位于点P1绕z轴旋转所得的圆周上7/20/202515例：求yoz面上的直线z=ycotα绕z轴旋转一周所得锥面的方程。oxyzα求旋转面方程的法则：绕哪个轴旋转，就把母线方程中的另外一个自变量换掉。7/20/202516xyzo例：求面yoz上的双曲线分别绕z轴、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程.oyxz旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面7/20/202517五、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.如球面、圆锥面等.下面利用“截痕法”再研究几种特殊的二次曲面.1、椭球面oyxz如果用三个坐标面去截椭球面，截痕分别为7/20/202518(1)单叶双曲面xyoz2、双曲面（2）双叶双曲面

zxoy7/20/202519椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面都有唯一的对称中心，因此又称它们为有心二次曲面.3