高中数学选修12同课异构教学3.2.2复数代数形式的乘除运算精讲优练课型

3.2.2

复数代数形式的乘除运算【自主预习】1.复数代数形式的乘法法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________.(ac-bd)+(ad+bc)i2.复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3∈C,有交换律z1·z2=______结合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)分配律z1(z2+z3)=________z2·z1z1z2+z1z33.共轭复数已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则(1)z1,z2互为共轭复数的充要条件是__________.(2)z1,z2互为共轭虚数的充要条件是_____________.a=c且b=-da=c且b=-d≠04.复数代数形式的除法法则(a+bi)÷(c+di)=________________(a,b,c,d∈R,c+di≠0).【即时小测】1.在复平面内,复数对应的点的坐标为()A.(1,3)B.(3,1)C.(-1,3)D.(3,-1)【解析】选A.因此其对应点的坐标为(1,3).2.设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为()A.-3 B.-1 C.1 D.3【解析】选D.由于=(a-3)-i,由纯虚数的定义,知a-3=0,因此a=3.3.设z=+i,则|z|=()

【解析】选B.由于因此4.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x=________,y=________.【解析】由题意得:答案:-1

1【知识探究】探究点1

复数代数形式的乘除运算1.a∈R,z∈C,a2=|a2|与z2=|z|2都成立吗?提示:a2=|a2|成立;z2=|z|2不一定成立.例如z=i,z2=-1,|z|2=1,z2≠|z|2.2.z2=|z2|成立的条件是什么?提示:当且仅当z∈R时,z2=|z|2成立.【归纳总结】1.复数的乘法的三点阐明(1)类比多项式运算:复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但成果要将实部、虚部分开(i2换成-1).(2)运算律:多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也合用.(3)惯用结论:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.2.对复数除法的两点阐明(1)实数化:分子、分母同乘以分母的共轭复数c-di,化简后即得成果,这个过程事实上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.(2)代数式:注意最后成果要将实部、虚部分开.特别提示:复数的除法类似于根式的分母有理化.探究点2共轭复数1.若z≠0且z+=0,则z与否为纯虚数?提示:是纯虚数,由于z≠0,又实数的共轭是它本身,则由z≠0且z+=0知z不是实数,设z=a+bi,=a-bi(a,b∈R,b≠0)和z+=2a=0,因此a=0,故z为纯虚数.运用这个性质,可证明一种复数为纯虚数.2.复数共轭的共轭与否为复数本身?提示:根据复数的概念,复数共轭的共轭是复数本身.【归纳总结】1.共轭复数的注意点(1)构造特点:实部相等,虚部互为相反数.(2)几何意义:在复平面内两个共轭复数的对应点有关实轴对称.2.共轭复数的性质(1)实数的共轭复数是它本身,即z∈R⇔(2)有关结论:③易错警示:注意共轭复数在复平面内对应点的对称关系.类型一复数代数形式的乘法运算【典例】1.(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=

(

)A.-1 B.0 C.1 D.22.已知复数z1=(1+i)(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.【解题探究】1.本例1中解题的核心点是什么?提示:根据复数相等求解a.2.z1·z2是实数的含义是什么?提示:虚部为零.【解析】1.选B.由题意得4a+(a2-4)i=-4i,因此4a=0,a2-4=-4,解得a=0,故选B.2.z1=(1+i)=2-i,设z2=a+2i,a∈R,则z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,由于z1·z2∈R,因此a=4,因此z2=4+2i.【延伸探究】将本例2中z1·z2是实数改为“z1·z2是纯虚数”,其它条件不变,求z2.【解析】由例题知解得a=-1因此z2=-1+2i.【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用(1)复数的乘法运算能够把i看作字母,类比多项式的乘法进行,注意要把i2化为-1,进行最后成果的化简.(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.【变式训练】(2015·重庆高考)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=__________.【解题指南】本题直接运用复数的模的概念及乘法运算求解即可.【解析】由于复数a+bi(a,b∈R)的模为因此(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3.答案:3类型二共轭复数【典例】(2016·兰州高二检测)把复数z的共轭复数记作,已知(1+2i)=4+3i,求z.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由已知得:(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,由复数相等的定义知,得a=2,b=1,因此z=2+i.【延伸探究】1.若把本例条件改为(z+2)=4+3i,求z.【解析】设z=x+yi(x,y∈R).则=x-yi,由题意知,(x-yi)(x+yi+2)=4+3i.2.若把本例条件改为(1+2i)z=4+3i,求z.【解析】设z=x+yi,则(1+2i)(x+yi)=4+3i,得因此z=2-i.【方法技巧】解决与共轭复数有关问题的思路当已知条件为含有一种或多个复数z(或其共轭复数)的等式时,常设出复数的代数形式,运用复数相等的充要条件转化为实数问题求解.【赔偿训练】(2015·广东高考)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则=()A.3-2iB.3+2iC.2+3iD.2-3i【解题指南】可先求出z,再运用共轭复数的概念实部相似,虚部互为相反数求出成果.【解析】选D.由于z=i(3-2i)=2+3i,因此=2-3i.类型三复数代数形式的除法运算【典例】1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是则复数对应的点位于(

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.计算:(1)(2)【解题探究】1.典例1中复数z1,z2的代数形式为什么?提示:由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i.2.观察典例2式子的特性,应如何计算?提示:先化简,再运算.【解析】1.选B.由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i,因此对应的点在第二象限.2.(1)方法一:方法二：(2)原式=

=(2i)3·i+(-2i)3·(-i)-=8+8-16-16i=-16i.【方法技巧】复数除法运算法则的应用(1)复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i).(2)对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于某些简朴的算式要懂得其成果,这样起点就高,计算过程就能够简化,达成快速、简捷、出错少的效果.例如下列成果,要记住:④a+bi=i(b-ai).易错警示:除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数,再按复数的乘法进行运算,最后化简.【变式训练】

【解析】

【赔偿训练】(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足=i,则|z|=()【解题指南】将=i化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,运用|z|=求解.【解析】选A.由于=i,因此故|z|=1.自我纠错复数代数形式的除法【典例】(2016