第四章 概率基础

第四章概率基础第一节概率含义和古典概型第二节概率的基本运算第三节概率分布第四节常见的概率分布第一节概率含义和古典概型一、随机事件（一）概念

1.定义试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素

2.两个特殊事件:必然事件S

、不可能事件

.例如

对于试验E2

，以下A、

B、C即为三个随机事件:A＝“至少出一个正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“两次出现同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时”＝{x:1000<x<T(小时）}。

可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率还应注意，同一样本空间中不同的事件之间有一定的关系，如试验E2

，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。

1.包含关系“A发生必导致B发生”记为A

BA＝B

A

B且B

A.（二）事件之间的关系2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作AB2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作3.积事件

:A与B同时发生，记作

A

B＝AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作

A1A2…An4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生思考：何时A-B=?何时A-B=A？5.互斥的事件：AB＝

6.互逆的事件

A

B＝

,且AB＝

1.3频率与概率

从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性?P（A）应具有何种性质？?抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？二、随机事件的概率

（一）概率的统计定义（频率与概率）1.定义

若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)≥0；(2)P(S)＝1；

(3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)则称P(A)为事件A的概率。2.概率的性质

(1)有限可加性：设A1，A2，…An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,则有P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);

(3)事件差

A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)

(2)单调不减性：若事件A

B，则P(A)≥P(B)

(4)加法公式：对任意两事件A、B，有

P(A

B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；(5)互补性：P(A)＝1－P(A);(6)可分性：对任意两事件A、B，有

P(A)＝P(AB)＋P(AB).

某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.EX

解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报（一）古典概型中的概率三、古典概型

设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有P(A)具有如下性质(1)0

P(A)

1；(2)P(

)＝1；P(

)=0(3)AB＝，则

P(A

B

)＝P(A)＋P(B)例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}四、几何概型定义：若几何型随机试验E的事件A的度量大小为，E的的样本空间的度量为，则事件发生的概率为并称此概率为几何概型。基本性质：1）非负性；0

P(A)

12）规范性；P(

)＝13）有限可加性；若AB＝，则P(A

B

)＝P(A)＋P(B)4）完全可加性；设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….例题(会面问题)两人约定在早上8点至9点在某地会面，先到者等15分钟离去。假定每人在1小时的任何时刻到达都是等可能的，求两人会面的概率。解：设两人的到达时刻分别为x和y,则两人能会面的充要条件是如图，问题转化为平面区域：随机地投一点（x,y),则故由公式有：第二节概率的基本运算

一、条件概率例1设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球S=ABA——第一次取到红球,B——第二次取到红球显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

一般地，设A、B是S中的两个事件，则

?“条件概率”是“概率”吗？何时P(A|B)=P(A)?何时P(A|B)>P(A)?何时P(A|B)<P(A)?概率定义

若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：P(A)≥0；(2)P(S)＝1;(3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,

有P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….则称P(A)为事件A的概率。例2.一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A--从盒中随机取到一只红球.B--从盒中随机取到一只新球.AB乘法公式设A、B

S，P（A）>0,则

P(AB)＝P(A)P(B|A).(1.5.2)式(1.5.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。

式(1.5.2)还可推广到三个事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.5.3)

一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(1.5.4)例3

合中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则二、全概率公式与贝叶斯公式例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。B定义事件组A1，A2，…，An(n可为

)，称为样本空间S的一个划分，若满足：A1A2……………AnB定理1、设A1，…,An是S的一个划分，P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS有

式(1.5.5)就称为全概率公式。例5有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球；

甲乙定理2设A1，…,An是S的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS，有

式(1.4.6)就称为贝叶斯公式。思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:例题：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:例6数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解：设A---发射端发射0，

B---接收端接收到一个“1”的信号．0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)第三节概率分布

一、随机变量定义.

设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个e

S，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量随机变量常用X、Y、Z或、、等表示。随机变量的特点:

1X的全部可能取值是互斥且完备的2X的部分可能取值描述随机事件?请举几个实际中随机变量的例子EX．引入适当的随机变量描述下列事件：①将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}随机变量的分类：随机变量二、离散型随机变量及其分布律1、定义：若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称

P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

为X的分布律或概率分布。可表为

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2 …

xK

… Pk

p1 p2 … pk

…(1)pk

0,k＝1,2,…;(2)

例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性质例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律解：设Ai

第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,…A5,相互独立且

P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

3、一般地，对离散型随机变量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为

例1

设随机变量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。例2

向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：

F(x)=P{X≤x}

当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？?ab三、连续型随机变量

（一）概率密度

1.定义.

对于随机变量X，若存在非负函数

f(x)，(-

<x<+

)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为

X～f(x),(-

<x<+

)密度函数的几何意义为2.密度函数的性质

(1)非负性

f(x)0，(-<x<)；

(2)归一性性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；

EX设随机变量X的概率密度为求常数a.答:(3)若x是f(x)的连续点，则EX设随机变量X的分布函数为求f(x)（4）对任意实数b，若X～f(x)，

(-<x<)，则P{X=b}＝0。于是例.已知随机变量X的概率密度为1)求X的分布函数F(x),2)求P{X

(0.5,1.5)}第四节常见的概率分布

一、贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布

若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。

记作X~B（n,p),其分布律为：2.定义设将试验独立重复进行n次，每次试验中事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:例4.

某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。泊松定理：

设随机变量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则

解设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～B(400,0.02)，故P{X

2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…上题用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.二、泊松(Poisson)分布P(

)X～P{X＝k}＝

k＝0,1,2,…(0)泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数

=np的泊松分布例5.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为

的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。

解:由题意,例6.进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。解:m=1时,m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且在前m次试验中成功了m-1次}三、均匀分布若X～f(x)＝则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作

X～U(a,b)对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有例.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率.1545解：设A—乘客候车时间超过10分钟X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)四、指数分布

若X～则称X服从参数为

>0的指数分布。其分布函数为例.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布(1)、求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)、已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为

t的泊松分布，求T的概率密度。解当t≤0