2025年全国大学生数学竞赛试题及答案

2025年全国大学生数学竞赛试题及答案一、单项选择题（每题2分，共12分）

1.下列哪个函数是奇函数？

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

答案：C

2.已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的图像的对称轴是？

A.x=2

B.x=-2

C.y=2

D.y=-2

答案：A

3.下列哪个数是无理数？

A.√2

B.√4

C.√9

D.√16

答案：A

4.已知等差数列的首项为2，公差为3，则第10项是多少？

A.29

B.30

C.31

D.32

答案：C

5.下列哪个数是正数？

A.-1

B.0

C.1

D.-√2

答案：C

6.已知函数f(x)=2x+1，则f(-1)等于？

A.1

B.0

C.-1

D.-2

答案：A

二、填空题（每题2分，共12分）

7.若a>b，则a-b的符号是______。

答案：正号

8.已知等差数列的首项为3，公差为2，则第5项是______。

答案：11

9.若x^2+3x+2=0，则x的值为______。

答案：-1或-2

10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(1)等于______。

答案：0

11.若a、b、c是等比数列，且a=2，b=4，则c等于______。

答案：8

12.已知函数f(x)=2x-1，则f(-3)等于______。

答案：-7

三、解答题（每题6分，共36分）

13.解方程：x^2-5x+6=0。

答案：x=2或x=3

14.已知等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。

答案：110

15.已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的图像的顶点坐标。

答案：顶点坐标为(2,0)

16.已知函数f(x)=2x+1，求f(x)在x=2时的导数。

答案：f'(x)=2

17.已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项。

答案：162

18.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的极值。

答案：极小值为0，极大值为2

四、应用题（每题6分，共18分）

19.小明骑自行车从家到学校，速度为v1，用时t1；骑电动车从家到学校，速度为v2，用时t2。已知v1=10km/h，t1=1h，v2=15km/h，求小明骑电动车从家到学校的时间。

答案：t2=0.8h

20.已知等差数列的首项为3，公差为2，求前5项的平均数。

答案：6

21.已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：最大值为1，最小值为0

22.已知等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和。

答案：121

五、证明题（每题6分，共18分）

23.证明：对于任意实数a和b，有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。

答案：证明如下：

(a+b)^2=(a+b)(a+b)

=a^2+ab+ba+b^2

=a^2+2ab+b^2

24.证明：对于任意实数a和b，有(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。

答案：证明如下：

(a-b)^2=(a-b)(a-b)

=a^2-ab-ba+b^2

=a^2-2ab+b^2

25.证明：对于任意实数a和b，有(a+b)(a-b)=a^2-b^2。

答案：证明如下：

(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2

=a^2-b^2

六、综合题（每题6分，共18分）

26.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

答案：最大值为2，最小值为-1

27.已知等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。

答案：110

28.已知函数f(x)=2x+1，求f(x)在x=2时的导数。

答案：f'(x)=2

29.已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项。

答案：162

30.已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的图像的顶点坐标。

答案：顶点坐标为(2,0)

本次试卷答案如下：

1.C

解析思路：奇函数的定义是f(-x)=-f(x)，只有选项C满足这个条件。

2.A

解析思路：等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得到第10项为29。

3.A

解析思路：无理数是不能表示为两个整数比的数，√2不能表示为分数，因此是无理数。

4.C

解析思路：等差数列的求和公式是S=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，n=10，得到前10项的和为110。

5.C

解析思路：正数是大于0的数，只有选项C是正数。

6.A

解析思路：将x=-1代入函数f(x)=2x+1，得到f(-1)=2(-1)+1=-2+1=1。

7.正号

解析思路：若a>b，则a-b必然大于0，所以符号是正号。

8.11

解析思路：使用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=5，得到第5项为11。

9.-1或-2

解析思路：使用求根公式解一元二次方程x^2+3x+2=0，得到x=-1或x=-2。

10.0

解析思路：将x=1代入函数f(x)=x^3-3x^2+2x，得到f(1)=1^3-3(1)^2+2(1)=1-3+2=0。

11.8

解析思路：等比数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，代入a1=2，r=3，n=3，得到c=2*3^2=18。

12.-7

解析思路：将x=-3代入函数f(x)=2x-1，得到f(-3)=2(-3)-1=-6-1=-7。

13.x=2或x=3

解析思路：使用求根公式解一元二次方程x^2-5x+6=0，得到x=2或x=3。

14.110

解析思路：使用等差数列的求和公式S=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，n=10，得到前10项的和为110。

15.顶点坐标为(2,0)

解析思路：函数f(x)=x^2-4x+4可以写成f(x)=(x-2)^2，因此顶点坐标为(2,0)。

16.f'(x)=2

解析思路：函数f(x)=2x+1的导数是f'(x)=2。

17.162

解析思路：等比数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，代入a1=2，r=3，n=5，得到第5项为162。

18.极小值为0，极大值为2

解析思路：函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导数是f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0解得x=1或x=2/3，通过二次导数检验或代入原函数验证，得到极小值为0，极大值为2。

19.t2=0.8h

解析思路：使用速度和时间的关系v=s/t，其中s是距离，v是速度，t是时间。由于距离相同，可以列出等式10t1=15t2，代入t1=1h，解得t2=0.8h。

20.6

解析思路：使用等差数列的求和公式S=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，n=5，得到前5项的平均数是(3+11)/2=6。

21.最大值为1，最小值为0

解析思路：函数f(x)=x^2-4x+4可以写成f(x)=(x-2)^2，因此最大值为0，最小值为1。

22.121

解析思路：使用等比数列的求和公式S=a1*(r^n-1)/(r-1)，代入a1=2，r=3，n=5，得到前5项的和为121。

23.证明如下：

(a+b)^2=(a+b)(a+b)

=a^2+ab+ba+b^2

=a^2+2ab+b^2

24.证明如下：

(a-b)^2=(a-b)(a-b)

=a^2-ab-ba+b^2

=a^2-2ab+b^2

25.证明如下：

(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2

=a^2-b^2

26.最大值为2，最小值为-1

解析思路：函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导数是f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0解得x=1或x=2/3，通过二次导数检验或代入原函数验证，得到极小值为-1，极大值为2。

27.110

解析思路：使用等差数列的求和公式S=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，n=10，得到前10项的和为110