福建省泉州市南安一中2025-2026学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)

福建省泉州市南安一中2025-2026学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)福建省泉州市南安一中2025-2026学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)/福建省泉州市南安一中2025-2026学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)2025-2026学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．352．二项式的展开式中x的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．403．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（）A．100 B．110 C．120 D．1804．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）A． B． C． D．5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.156．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元7．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C． D．8．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.27189．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A．9 B．10 C．18 D．2010．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．4011．某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为（）A．84 B．88 C．114 D．11812．已知O点为△ABC所在平面内一点，且满足+2+3=，现将一粒质点随机撒在△ABC内，若质点落在△AOC的概率为（）A． B． C． D．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，则n=．14．将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有种．15．若（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则a1+a2+a3…+a11的值为．16．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．（Ⅰ）可以组成多少个不同的四位数？（Ⅱ）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？（Ⅲ）将（I）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？18．随机变量X的分布列为X﹣10123P0.16a20.3（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求E（X）；（Ⅲ）若Y=2X﹣3，求E（Y）．19．甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图的茎叶图所示．（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．（注：样本数据x1，x2，…，xn的方差s2=[++…+]，其中表示样本均值）20．“特罗卡”是靶向治疗肺癌的一种药物，为了研究其疗效，医疗专家借助一些肺癌患者，进行人体试验，得到如右丢失一些数据的2×2列联表：疫苗效果试验列感染未感染总计没服用203050服用Xy50总计MN100设从没服用该药物的肺癌患者中任选两人，未感染人数为ξ；从服用该药物的肺癌患者中任选两人，未感染人数为η，研究人员曾计算过得出：P（ξ=0）=P（η=0）．（I）求出列联表中数据x，y，M，N的值．（Ⅱ）能否有97.5%的把握认为该药物对治疗肺癌有疗效吗？P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635注：K2=．21．深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．22．请先阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：．（2）对于正整数n≥3，求证：（i）；（ii）；（iii）．

2025-2026学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．35【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数【解答】解：由图知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.03∴身高在[120，130]内的学生人数在样本的频率为0.03×10=0.3故身高在[120，130]内的学生人数为0.3×100=30故选C2．二项式的展开式中x的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．40【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．【解答】解：二项式的展开式的通项为Tr+1=C5rx2（5﹣r）•x﹣r=C5rx10﹣3r；令10﹣3r=1解得r=3∴二项式的展开式中x的系数为C53=10故选B．3．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（）A．100 B．110 C．120 D．180【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，从反面分析，分别求得“10人中任选3人的组队方案”与“没有女生的方案”的方法数，进而由“没有女生的方案”与“至少有一名女生入选的组队方案”互为对立，计算可得答案．【解答】解：10人中任选3人的组队方案有C103=120，没有女生的方案有C53=10，所以符合要求的组队方案数为110种；故选B．4．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）A． B． C． D．【考点】等可能事件的概率；排列数公式的推导．【分析】首先用分步乘法计数原理，分析可得，将5本不同的书全发给4名同学的情况总数，再根据排列组合公式，可得每名同学至少有一本书的分法数，由概率的计算方法可得答案．【解答】解：将5本不同的书全发给4名同学共有4×4×4×4×4=45种分法，其中每名同学至少有一本书的分法有C52A44，故每名同学至少有一本书的概率是P=，故选A．5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15【考点】模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．共5组随机数，∴所求概率为==0.25．故选B．6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元【考点】线性回归方程．【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．7．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C． D．【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩==90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩==88.4+当X=8或9时，≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1﹣=故选C8．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718【考点】正态分布曲线的特点与曲线所表示的意义．【分析】根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P（2＜X≤6）=0.9544，P（3＜X≤5）=0.6826，两个式子相减，根据对称性得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，μ=4，σ=1，∴P（2＜X≤6）=0.9544，P（3＜X≤5）=0.6826，∴P（2＜X≤6﹣P（3＜X≤5）=0.9544﹣0.6826=0.2718，∴P（5＜X＜6）==0.1359故选B．9．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A．9 B．10 C．18 D．20【考点】排列、组合与简单计数问题．【分析】因为lga﹣lgb=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案．【解答】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，因为，，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18．故选C．10．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项．【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5故其常数项为﹣22×C53+23C52=40．故选：D．11．某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为（）A．84 B．88 C．114 D．118【考点】计数原理的应用．【分析】利用间接法，先求出没有限制条件的选择方法，再排除2门没有选的，1门没有的选的种数，问题得以解决．【解答】解：每个学生必须选4门中其中的2门有=216=216种，其中4门课程中有2门没人选的有=6种，4门课程中有1门没人选的有4×（﹣3）=96，故符合题意的有216﹣6﹣96=114，故选C12．已知O点为△ABC所在平面内一点，且满足+2+3=，现将一粒质点随机撒在△ABC内，若质点落在△AOC的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】要求该概率即求S△AOC：S△ABC=的比值．由+2+3=，变形为，3，得到O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，两三角形同底，面积之比转化为概率．【解答】解：以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，则∵+2+3=，∴3，作AB的两个三等分点E，F，则，∴O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，如图∴S△AOC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△AOC内的概率为P=；故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，则n=30．【考点】分层抽样方法．【分析】学生人数比例为2：3：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了6名志愿者，则每份有3人，10份共有30人【解答】解：∵学生人数比例为2：3：5，A高校恰好抽出了6名志愿者，∴n==30，故答案为：30．14．将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有12种．【考点】排列、组合与简单计数问题．【分析】不妨设2名教师为A，B，利用分步计数原理即可求得不同的安排方案种数．【解答】解：设2名教师为A，B，第一步，先分组，与A同组的2名学生公有种，另两名学生与B同组有种方法，第二步，再安排到甲、乙两地参加社会实践活动，有种方法，由分步计数原理可得，共有••=12种，故答案为：12．15．若（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则a1+a2+a3…+a11的值为510．【考点】二项式系数的性质．【分析】用赋值法，在所给的等式中，分别令x=0和1，即可求出对应的值．【解答】解：在（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1x+a2x2+…+a11x11中，令x=0，得（0+1）×（0﹣2）9=a0，即a0=﹣512；令x=1，得（1+1）×（1﹣2）9=a0+a1+a2+…+a11=﹣2，∴a1+a2+a3…+a11=﹣2﹣（﹣512）=510．故答案为：510．16．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=2．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的期望E（X）．【解答】解：由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X0123PE（X）==2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．（Ⅰ）可以组成多少个不同的四位数？（Ⅱ）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？（Ⅲ）将（I）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？【考点】计数原理的应用．【分析】（Ⅰ）用间接法，先分析从6个数中，任取4个组成4位数的情况数目，再计算其中包含0在首位的情况数目，计算可得答案；（Ⅱ）先选一个数排在首位，再选3个数，排在百，十，个位，其中十位数字比个位数字和百位数字都大，则选的3个数中最大的只能在十位，其它任意（Ⅲ）按四位数从小到大的顺序，先计算千位是1的四位数的数目，再计算千位是2，百位是0或1的四位数的数目，与85比较可得答案．【解答】解：（1）用间接法，从6个数中，任取4个组成4位数，有A64种情况，但其中包含0在首位的有A53种情况，依题意可得，有A64﹣A53=300个，（Ⅱ）先选一个数排在首位，再选3个数，排在百，十，个位，其中十位数字比个位数字和百位数字都大，则选的3个数中最大的只能在十位，其它任意，故有A51C53A22=100个，（Ⅲ）千位是1的四位数有A53=60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A42=24个，∴第85项是230118．随机变量X的分布列为X﹣10123P0.16a20.3（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求E（X）；（Ⅲ）若Y=2X﹣3，求E（Y）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）根据概率和为1，列出方程即可求出a的值；（Ⅱ）根据X的分布列，即可计算数学期望值E（X）；（Ⅲ）根据随机变量的数学期望计算公式，计算E（Y）=E（2X﹣3）=2E（X）﹣3．【解答】解：（Ⅰ）根据题意得，0.16++a2++0.3=1，整理得50a2+15a﹣27=0，解得a=0.6或a=﹣0.9（不合题意，舍去），所以a的值为0.6；（Ⅱ）根据X的分布列，得E（X）=﹣1×0.16+0×+1×0.62+2×+3×0.3=1.34；（Ⅲ）当Y=2X﹣3时，E（Y）=E（2X﹣3）=2E（X）﹣3=2×1.34﹣3=0.32．19．甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图的茎叶图所示．（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．（注：样本数据x1，x2，…，xn的方差s2=[++…+]，其中表示样本均值）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】（1）根据茎叶图的数据，利用平均数与方差公式，即可求得结论；（2）求得ξ取值与ξ～（3，），求出相应概率，可得ξ的分布列，从而可求数学期望Eξ．【解答】解：（1）==86…，==86…，==37.6…，==42.4…，因为，＜，所以派甲去更合适…．（2）甲高于80分的频率为，从而每次成绩高于80分的概率P=…，ξ取值为0，1，2，3，ξ～（3，）…，直接计算得P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）==，…，ξ的分布列为ξ0123P所以，Eξ=0×+1×+2×+3×=，…20．“特罗卡”是靶向治疗肺癌的一种药物，为了研究其疗效，医疗专家借助一些肺癌患者，进行人体试验，得到如右丢失一些数据的2×2列联表：疫苗效果试验列感染未感染总计没服用203050服用Xy50总计MN100设从没服用该药物的肺癌患者中任选两人，未感染人数为ξ；从服用该药物的肺癌患者中任选两人，未感染人数为η，研究人员曾计算过得出：P（ξ=0）=P（η=0）．（I）求出列联表中数据x，y，M，N的值．（Ⅱ）能否有97.5%的把握认为该药物对治疗肺癌有疗效吗？P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635注：K2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）依题意，=，由此能求出求出列联表中数据x，y，M，N的值．（2）由题意求出K2≈4.76＜5.024，从而可知不能够以97.5%的把握认为对治疗肺癌有疗效．【解答】解：（Ⅰ）依题意，∵P（ξ=0）=，P（η=0）=，∴=，解得x=10，∴y=40，∴M=30，N=70．（2）由题意K2=≈4.76．由参考数据，3.841＜K2＜5.024，从而可知不能够以97.5%的把握认为对治疗肺癌有疗效．21．深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B．而事件A0B、A1B、A2B