通过勾股定理逆定理的证明谈初中平面几何的结构化教学

摘要： 在△ABC中，AC2BC2AB2．求证：∠ACB＝90°．（请用三种方法证明，其中法一5分，法二5分，法三6分）78△ABCAB=5，AC=4，BC=3，量一量∠C90°吗？勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且求证:△ABC是直角三角形．

a2b2c2证明：如图2，作Rt△DEF，使 =90°，EF=a，DF=b，记DE为

a2b2c'2

a2b2c2，所以

c2c'2c'＞0，c＞0ccBC=a=EF，ACbABC≌△DEF(SSS)C=∠F90ABC是直角三角AEADc2a2，又因为b2c2a2AC2AEAD又因为∠CAE∠DACACE∽△ADC，所以∠ACEBCBE=a，所以∠BCE∠BEC．又因为∠D+∠BEC所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=∠D+∠BEC=90°．即△ABC是直角三角形．DE．则△BDC≌△BDESAS)DCDE，∠BED由角平分线的性质定理得：CD:AD=BC:BA=a:cAD+CD=b，进而可求得：CDDE

ab,AD

ADca

bcc ac

c c2a

AC又因为∠DAE∠BAC，所以△ADE∽△ABC，所以∠AED∠C．2∠C=∠BED+∠AED=180°，即∠C=90°．ABCDEFABC分别是两个三角形，我们ABC上直接构造一个直角三角a2a2证法四.平行四边形法，5a2a2Rt△BCDCD

c，又因为ABc 所以AB=CD，所以四边形ABDC是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)ACBD，所以∠ACB∠CBD90ABC证法五.圆的证法：6A为圆心，ABc为半径作⊙AAC分别相交于点D、E，BC的延长线与⊙AFCD=c+b，CE=c－b，CD·CEcb)c－b)

c2b2a2CF·CBCD·CECF=a=CB，即：DEBF(非直径)DE⊥BF∠ACB=所以△ABC证法六.三角函数法：7，在△ABCAD⊥BCD，Rt△ACD中，AD=b·sin∠C，CD=b·cos∠C，BD=a-b·cos∠C，Rt△ACDAB2AD2BD2,c2b•sinC2ab•cosC2b2sin2Ca22ab•cosCb2cos2sin2Ccos2C1，c2a2b22ab•cosC，c2a2b2，所以2ab•cosC0，cos∠C=0，所以∠C证法七.a2a2

S

p1abcppppapbpcc

bbc2a2a2bc2b22bc2b24b2c2b4b2c2b2c2b2a28所示，假设∠CAAP⊥BCBC在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2AP2BP2 在Rt△ACP中，由勾股定理得：AC2AP2CP2 AB2AC2BP2CP2BPCP•BPCPBC•BPCPa•BPCP由已知可得：AB2AC2c2b2 明显aBPCP，∴③与④矛盾，即假设∠C9所示，假设∠CAAQ⊥BCBC在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AB2AQ2BQ2 在Rt△ACQ中，由勾股定理得：AC2AQ2CQ2 AB2AC2BQ2CQ2BQCQ•BQCQBQCQ•BC