2025中考数学总复习专题知识要点

第一章数与式1考点一实数的相关概念1.实数的分类正无理数正无理数实数零负整数负实数负有理数负分数负整数负无理数2.实数大小的比较(1)在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数①大，左边的点表示的数小.(3)作差法比较两个实数的大小b;若a-b<0,则a③≤b点与④实数一一对应.(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数.互为相反数的两个数，和等于0.(2)乘积是1的两个数互为⑤倒数.(3)一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.5.实数的乘方与开方n是正整数),a⁰=1(a≠0).(2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任意正整数次幂都是0.(3)如果一个数的平方等于正数a,则这个数就叫做a的平根是0,负数没有平方根.正数a的正的平方根叫做算术平方根，0的算术平方根是0.(4)如果一个数的立方等于数a,则这个数就叫做a的立方根.每个实数只有一个立方根.6.二次根式的相关概念(2)被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式.(3)几个二次根式化为⑦最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.(4)二次根式的性质：(Ja)²=a(a≥0);√a²考点二实数的运算1.运算律和运算顺序(1)有理数的运算律在实数中仍然适用，如加法交换律，乘2.二次根式的运算(1)二次根式的加减法运算，先把每个二次根式化为最简二次根式，然后把⑧同类二次根式合并.考点三科学记数法与近似数<10,n为整数.“新定义”问题是指在问题中定义了初中没有学过的一些概并结合已有知识进行推理、迁移的一种题型.表示a,b之间的一种运算.>0,N≠1,M>0).解析25年中考3年模拟中考数学一、用数轴上的点表示数数轴是数形结合的基础，能把数与直线上的点生动形象地联系起来.有了数轴，任何一个实数都可以用数轴上的一个确定的点来表示.例1(2019吉林长春，1,3分A到原点的距离是A.-2解析表示-2的点到原点的距离是2.故选B.针对训练1(2019内蒙古包头，2,3分)实数a、b在数轴上A.a>bB.a>-bC.-a>b解析由数轴可知-3<a<-2,1<b<2,∴2<-a<3,-2<-b<-1,∴-a>b.故选C.二、二次根式的运算如果二次根式的被开方数含有分母，那么可以利用进行化简；如果被开方数中有因数(或因式)能开方开得尽，那么可以利用将这些因数(或因式)开方，从而将二次根式化简例2(2018重庆A卷，7,4分)估计(2A.1和2之间B.2和3之间解析2在2和3之间，故选B.针对训练2(2019内蒙古呼和浩特，17(1),5分)计算：三、实数的混合运算数幂、二次根式的性质等基础知识，运用实例3(2019山西，16(1),5分)计算：针对训练3(2018云南，15,6分)计算：√18-2cos45°+四、用科学记数法表示实数科学记数法就是把一个数写成a×10”的形式，其中1≤lal<10,n为整数.1.当要表示的数的绝对值大于1时，n为非负整数，其值等于原数中整数部分的位数减去1,如1315=1.315×10³.2.当要表示的数的绝对值小于1时，n为负整数，其值等于原数中从左起第一个非零数字前面所有零(包括小数点前的零)例4(2019四川成都，3,3分)2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年.将数据5500万用科学记数法表示A.5500×10⁴B.55×1C.5.5×10⁷D.5.5×1解析5500万=55000000=5.5×10⁷.故选C.针对训练4(2019黑龙江齐齐哈尔，11,3分)预计到2025年我国高铁运营里程将达到38000千米.将数据38000用科学记数法表示为答案3.8×10⁴第一章数与式3考点一代数式◎对应学生用书起始页码7页等都是用基本的运算符号把数或表示或一个字母也是代数式考点二整式及其运算法则所含字母相同，并且相同字母的①指数也相同的项叫同类项.2.合并同类项(1)整式的加减运算实际就是合并同类项.精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代例(2018吉林长春外国语学校期末，18)如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a,DE=b(a>b),CH,BH=FH(1)写出AG的长度(用含字母a,b的代数式表示);(2)观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能否获得一个因式分解公式?请将这个公式写出来；(3)如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16,它们的面积相差960,试利用(2)中的公式，求a,b的值.4.幂的运算性质同底数幂相乘法则幂的乘方法则(a")"=a”“(m,n为整数，a≠0)积的乘方法则(ab)"=a"b"(n为整数，ab≠0)同底数幂相除法则a"÷a"=a”""(m,n为整数，a≠0)乘法公式考点三乘法公式因式分解考点四因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.45年中考3年模拟中考数学一、求代数式的值给出几个字母之间的关系，则整体代入进行计算求值.例1(2019广东，14,4分)已知x=2y+3,则代数式4x-8y+9的值是解析把x=2y+3代入4x-8y+9得，4(2y+3)-8y+9=8y+12-8y+9=21.针对训练1(2018云南昆明，4,3分)若,则m²+二、幂的运算掌握幂的运算法则的特点，选择适当的公式进行运算.注意各运算法则的区别.例2(2018吉林，3,2分)下列计算结果为a⁶的是(A.a²·a³B.a¹²÷a²C.(a²)³解析A的结果是a⁵;B的结果是a¹⁰;C的结果是的针对训练2(2019四川成都，6,3分)下列计算正确的是A.5ab-3a=2bB.(-3a²b)C.(a-1)²=a²-1D.2a²b三、整式的运算在运用公式或运算法则进行运算时，要先判断式子的结构4a(a-1),其中=8a+1.针对训练3(2018江西，13(1),3分)计算：(a+1)(a-1)解析原式=a²-1-(a²-4a+4)=4a-5.四、分解因式平方公式.行因式分解，即如果整式中含有公因式，那么要先提取公因式，再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止式或用公式法进行分解.例4(2019湖北黄冈，11,3分)分解因式：3x²-27y²= 解析3x²-27y²=3(x²-9y²)=3(x+3y)(x-3y).针对训练4(2018湖北黄冈，8,3分)因式分解：x³-9x一解析x³-9x=x(x²-9)=x(x+3)(x-3).第一章数与式53.分式的混合运算顺序考点一3.分式的混合运算顺序考点一分式的有关概念与基本性质2.当②分母等于0时，分式无意义；当分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.3.分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.考点二分式的运算(1)通分的关键是确定几个分式的最简公分母.最简公分母的判断方法：系数取各个分母的系数的③最小(3)异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后加减.(1)约分的关键是确定分子、分母的公因式.公因式的判断方法：系数取分子、分母的系数的④最大公(2)分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.式相乘.考点三分式的化简求值分式通过化简后，代入适当的值解决问题.注意代入的值要使分式的分母不为0.时千万不可任性.总的来说有以下两类：(1)当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0:(2)当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0.还要使除式不为0.例先化简，再求值：,并从-1,0,1,2四个数中选一个合适的数代入求值.解析原65年中考3年模拟中考数学分式的化简求值先分解因式.化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义.其中x是方程x²+3x=0的根.,其中x=√2+1.第二章方程(组)与不等式(组)7第二章方程(组)与不等式(组)考点一一元一次方程及其应用一次方程(组)(ii)把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(iii)解这个一元一次方程；1.定义：只含有①一个未知数，并且未知数的次数是1,这样的整式方程叫做一元一次方程.2.解一元一次方程的主要步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)②合并同类项；(5)未知数的系数化为1.基本数量关系(1)利润=售价-成本；(2)本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)(1)路程=速度x时间；考点二二元一次方程组及其解法数都是1的整式方程.2.把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.3.二元一次方程组的解法(1)用代入法解二元一次方程组的一般步骤(i)从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有⑤另一个未知数的代数式表示出来；(ii)将这个代数式代入另一个方程，消含有另一个未知数的一元一次方程；(iv)将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤(i)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为一个未知数的系数相等或⑥互为相反数；(iv)将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方考点三二元一次方程组的应用问题模型常用等量关系(1)鸡的头数+兔的头数=头的总数；(2)鸡脚的总数+兔脚的总数=脚的总数总收入-总支出=总利润(1)变化前，两位数(或三位数)各数位上的数字之间的大小关系；(2)变化后，新旧两数之间的大小关系国对不定方程的研究已延续数千年，“百鸡问题”“题”等一直流传至今，秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.如果二元一次方程ax+by=c(a、b为互质的整数，c为整数)有整数解那么它有通解(k为整数).例(2019黑龙江齐齐哈尔，8,3分)学校计划购买AB两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元.学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球(两种足球都买),该学校的购买方案共有()解析设恰好用完1500元，可购买a个A品牌足球和个B品牌足球.整理得85年中考3年模拟中考数学一、用适当的方法解方程组程组时要根据系数的特点选择适当的方法.解析②-①,得3x=9,解得x=3.把x=3代入①,得3+y=1,解得y=-2.所以原方程组的解为针对训练1(2019广东广州，17,9分)解方程解析将y=2代入①,得x-2=1,解得x=3,所以方程组的解为二、列二元一次方程组解应用题一般步骤：第二步设，用字母表示未知数；第三步列，用含未知数的代数式表示等量关系中各部分第五步验，检验方程组的解是否符合题意；第六步答，规范写出答语.例2(2018湖北黄冈，16,6分)在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的质量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克.答：A型粽子40千克，B型粽子60千克.针对训练2(2018江西，9,3分)中国的《九章算术》是世牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两.问可列出方程组为2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”,可第二章方程(组)与不等式(组)9§2.2一元二次方程考点一一元二次方程及其解法次数是①2的方程叫做一元二次方程.考点三一元二次方程的应用考点二根的判别式、根与系数之间的关系如果方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x₁,x₂,那么+c=0(a≠0)的根来分解二次三项式ax²+bx105年中考3年模拟中考数学一、解一元二次方程掌握一元二次方程几种解法的特点，理解一元二次方程化为一元一次方程的转化思想；用适当的方法解一元二次方程，一般先考虑直接开平方法和因式分解法，再考虑公式法和配方法.例1(2018黑龙江齐齐哈尔，19,5分)解方程：2(x-3)=3x(x-3).(2分)(3分)针对训练1(2019黑龙江齐齐哈尔，19,5分)解方程：x²+6x=-7.(1分)(2分)(2分)二、根的判别式、根与系数之间的关系1.在用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，有时要先用配方法把b²-4ac的结果写成完全平方式的形式，再利用完全平方式的非负性进行判断.注意区分这个配方法和解一元二次方程的配方法.2.在一元二次方程有根的情况下，利用根的判别式求参数取值(或范围)时，注意二次项系数不为0.在用根与系数的关系求参数取值(或范围)后，要用根的判别式进行所求参数取值(或范围)符合题意；若△<0,则所求参数取值(或例2(2018四川遂宁，19,8分)已知关于x的一元二次方程x²-2x+a=0的两个实数根x₁,x₂满足x₁x₂+x₁+x₂>0,求a的取值范围.解析∵关于x的一元二次方程x²-2x+a=0有两个实又由根与系数的关系可得x₁x₂=a,x₁+x₂=2,针对训练2(2019山东潍坊，10,3分)关于x的一元二次方程x²+2mx+m²+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为解析设x₁,x₂是x²+2mx+m²+m=0的两个实数根，由题意知△=4m²-4(m²+m)=-4m≥0,∴m≤0.又m≤0,∴m=-2.故选A.第二章方程(组)与不等式(组)11考点一分式方程及其解法1.①分母中含有未知数的方程叫做分式方程.代入③最简公分母，若最简公分母的值不为零，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根.4.去分母解分式方程的一般步骤(2)将方程两边同乘最简公分母，约去分母，得到一个整式(3)解这个整式方程；(4)验根.考点二分式方程的应用1.常见题型有行程问题和工程问题在解分式方程时，常常在方程的两边同乘一个含未知数的解的情况.分式方程无解主要有两种情况，一是去分母后的整式方程无解，所以分式方程无解；二是整式方程有解，但是这个解例(2018黑龙江齐齐哈尔，14,3分)若关于x的方程(1)当m+1=0,即m=-1时，5m-答案(答对一个得1分)125年中考3年模拟中考数学一、解分式方程例2(2018内蒙古包头，23,10分)某商店以固定进价一解分式方程应注意以下4点：(1)去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的解分式方程应注意以下4点：(1)去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0,一定要检验；结果销售量增加30件，销售额增加840元.为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，(2)去分母时，方程中的常数项要乘最简公分母；(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元；(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元?解析(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元.例1(2018内蒙古呼和浩特，17(2),5分)解方程：x-3+x-2=-3,解得x=1.针对训练1(2019江苏南京，18,7分)解方程得x(x+1)-(x-1)(x+1)=3.解得x=2.二、利用分式方程解应用题在列方程之前，应先弄清问题中的已知量与未知量以及它们之间的数量关系，用含未知数的式子表示相是所列分式方程的解，又要检验是否符合题意.答：该商店3月份这种商品的售价为40元.(6分)(2)设该商品的进价为a元.4月份的售价：40×0.9=36(元),4月份的利润：(36-25)×90=990(元).答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元.(10分)针对训练2(2018云南曲靖，18,6分)甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件.解析设甲每小时做x个机械零件，则乙每小时做个因此24-4=20(个).答：甲每小时做24个机械零件，乙每小时做20个机械零件.第二章方程(组)与不等式(组)132.4一元一次不等式(组)考点三一元一次不等式(组)的应用列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤考点考点一不等式的性质及一元一次不等式1.不等式的有关概念子叫做不等式.(2)把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.(3)把使不等式成立的未知数的①取值范围叫做不等式2.不等式的基本性质不等式的基本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向②不变.不等式的基本性质2:不等式两边乘(或除以)同一个③正不等式的基本性质3:不等式两边乘(或除以)同一个④负3.一元一次不等式(2)解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变.考点二一元一次不等式组次不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组.这几个不等式所组成的不等式组的解集.4.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情形如下表：(设a<b)图示口诀小小取小中间找大大小小(3)列：根据题中的不等关系列出不等式(组);(4)解：求出所列不等式(组)的解集，并在解集中找出满足题意的解；对于含有参数的不等式(组),常常会给出它的解集情况(如有解、无解等),求参数的取值范围；或者具判断参数的取值范围(或值),常常借助数轴和口诀来判断：3.验证第2步中的端点值是否符合题意；4.写出正确的答案.例1已知关于x的不等式组的解集是3≤x<BB∵原不等式组的解集是3≤x<5,解得例2(2018内蒙古呼和浩特，15,3分)若不等式组的解集中的任意x都能使不等式x-5>0成立，则a的取值范围是解析由不等式组可得解不等式x-5>0得x>5,145年中考3年模拟中考数学一、解一元一次不等式组的方法先求出每个不等式的解集，找到各个不等式解集的公共部例1(2018天津，19,8分)解不等式组(1)解不等式①,得_;(2)解不等式②,得_;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为(2)x≤1.(4)-2≤x≤1.针对训练1(2019四川成都，15(2),6分)解不等式解析解不等式①得x≥-1,解不等式②得x<2.∴原不等式组的解集为-1≤x<2二、用一元一次不等式(组)解应用题用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来.用不等式(组)的知识解答应用题和方案设计型问题.例2(2018四川绵阳，21,11分)有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨.(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨?(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆，全部货物一次运完.其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用?解析(1)设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一解得答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货1.5吨.(2)设货运公司安排大货车m辆，则需要安排小货车(10-解得m≥7.2.∴m可以取8,9,10.当m=8时，该货运公司需花费130×8+2×100=1240元；当m=9时，该货运公司需花费130×9+100=1270元；当m=10时，该货运公司需花费130×10=1300元.∴当该货运公司安排大货车8辆，小货车2辆时花费最少.思路分析(1)设1辆大货车与1辆小货车一次分别可(2)设货运公司安排大货车m辆，则需要安排小货车(10-m)辆，根据(1)的结论可得出不等式4m+1.5(10-m)≥33,进而审题技巧优化方案问题首先要列举出所有可能的方中选择最优.针对训练2(2018贵州贵阳，19,10分)某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵.此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%,乙种树苗的售价保持不变.如果此次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗?解析(1)设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵(2)设他们再次购买乙种树苗y棵，则购买甲种树苗(50-由题意得30×(1-10%)(50-y)+40y≤1500,解得∴他们最多可以购买11棵乙种树苗.第三章变量与函数15第三章变量与函数§3.1位置的确定与变量之间的关系考点一平面直角坐标系内点的坐标特征yⅡ0Ⅲ0(2)将点P(x,y)向右(或向左)平移a(a>0)个单位，得到将点P(x,y)向上(或向下)平移b(b>0)个单位，得到对应考点二函数的概念及三种表示方法 点P(x,y)到x轴的距离为lyl,到y轴的距离为②Ixl,到 x轴上的点纵坐标为0;y轴上的点横坐标为0;原点的坐标为(0,0).(3)平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点的纵坐标相(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为④(-x,y);点P(x,y)关于考点三与函数有关的应用型问题165年中考3年模拟中考数学一、在平面直角坐标系内求点的坐标例1(2019湖北黄冈，5,3分)已知点A的坐标为(2,1),将点A向下平移4个单位长度，得到的点A'A.(6,1)B.(-2,1)C.(2,5)D.(2,-3)解析将点A向下平移4个单位长度可得故选D.答案D针对训练1(2018四川成都，4,3分)在平面直角坐标系A.(3,-5)B.(-3,5)C.(3,5)D.(-3,-5)解析平面直角坐标系中任意一点(x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y),所以点P(-3,-5)关于原点对称的点的坐标是(3,5).故选C.2.从一点向x轴(或y轴)作垂线，结合图形的特征，利用全例2(2017河南，9,3分)我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点0.固定点A,B,把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点A.(√3,1)B.(2,1)C.(1,√3)解析由题意可知在针对训练2(2019福建，14,4分)在平面直角坐标系x0y中，口OABC的三个顶点分别为0(0,0),A(3,0),B(4,2),则其第四个顶点C的坐标是二、函数图象的判断及其应用对于函数图象，(1)要弄清函数图象上一些特殊点的意义，纵坐标表示的意义和单位.例3(2019重庆A卷，17,4分)某公司快递员甲匀速骑车公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲.乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件.甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间忽略不计).则乙回到公司时，甲距公司的路程是米.解析由题意可得v甲=4000÷(12-2-2)=500米/分，v乙=用了4分钟，此时甲离公司的路程为500×(12-2)-500×2+500×4=6000米.针对训练3(2019湖北黄冈，8,3分)已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家再走回家.图中x表示时间，y表示林茂离家的距离.依据图中的A.体育场离林茂家2.5kmB.体育场离文具店1kmC.林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/minD.林茂从文具店回家的平均速度是60m/min解析由题图可知15min时林茂到达体育场，故体育场离到达文具店，路程为2.5-1.5=1km,故B正确；林茂从体育场出发到文具店的平均速度是m/min,故C第三章变量与函数17考点一一次函数的图象与性质5.一次函数图象的平移1.一次函数的定义一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以看作由直线y=kx(k≠一般地，如果y=kx+b(k≠0,k,b是常数),那么y叫做x的一次函数.当b=0时，一次函数y=2.一次函数的图象与性质象限图象经过第四象限象限象限性质y随x的增大而②减小0)向上(下)平移Ib1个单位长度得到.当b>0时，将直线y=kx(k下平移1b1个单位长度.当k₁=k₂,b₁≠b₂时，直线y=k₁x+b₁和直线y=k₂x+b₂平行.考点二一次函数与方程、不等式之间的联系1.一次函数与方程之间的关系(1)一次函数解析式可看作一个二元一次方程.(2)直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点B的横坐标是方程hx[注意]k,b符号的确定方法(1)一次函数图象从左向右看呈上升趋势，k>0;呈下降趋(2)一次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，b>0;在3.直线与坐标轴的交点直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点为,与y轴的交点为③(0,b).4.用待定系数法求函数解析式的二元一次方程组；一次函数解析式.(3)两直线的交点C的坐标是方程组的解.2.一次函数与不等式的关系(1)当函数y=kx+b的函数值y>0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集；当函数y=kx+b变量x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集.(2)如果点C的坐标为(a,c),那么不等式kx+b<k,x+b,的解集是x>a;不等式kx+b>k₁x+b₁的解集是x<a.考点三一次函数的应用问题3.利用一次函数的图象和性质解决行程问题.185年中考3年模拟中考数学一、求一次函数解析式解析(1)4000;100.(2分)确定一次函数的解析式有三种常用方法.一是待定系数法，每确定一个字母系数，就需要一个已知点或条件；把已标代入函数解析式，或者用已知条件列出方的值，写出函数解析式；二是用平移函数图象的方法得到新数；三是实际问题中，根据变量之间的关系直接写出函数关系式，如售价-进价=利润，路程=速度x时间等.例1(2019吉林，23,8分)甲、乙两车分别从A,B两地同y(km)与各自行驶的时间x(h)之间的关系如图所示.(2)求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程.y/kmty/kmtn22解析(1)4;120.(2分)(2)当乙车与甲车相向行驶时，设y关于x的函数解析式为y=kx(0≤x≤2).因为函数图象过(2,120),所以2k=120,解得k=60,所以y关于x的函数解析式为y=60x(0≤x≤2).k₁x+b(2≤x≤4).因为函数图象过(2,120),(4,0)两点，所以y关于x的函数解析式为y=-60x+240(2≤x≤4).(2)∵小东从图书馆到家的时间设CD的解析式为y=kx+b(k≠0),∵图象过和C(0,4000)两点，∴CD的解析式为y=-300x+4000.∴小东离家的路程y关于x∴CD的解析式为y=-300x+4000.∴小东离家的路程y关于x的解析式为(3)设OA的解析式为y=k′x(k′≠0),∵图象过点A(10,2000),二、用一次函数的相关知识解决实际问题用一次函数解决实际问题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用函数性质解决问题；(5)作答.例2(2019山西，19,8分)某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次，选择方式一的总费用为y₁(元),选择方式二的总费用为y₂(元).(1)请分别写出y₁,y₂与x之间的函数表达式；(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.(2)由y₁<y2,(2)由y₁<y2,得30x+200<40x,解得x>20.针对训练2(2017新疆，21,10分)某周日上午8:00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动.11:00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12:00前回到家.他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/时的平均速度快步返回.同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回.设小宇离家x(小时)后，到达离家y(千米)的地方，图中折线OABCD表示y针对训练2(2017新疆，21,10分)某周日上午8:00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动.11:00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12:00前回到家.他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/时的平均速度快步返回.同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回.设小宇离家x(小时)后，到达离家y(千米)的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系.(1)活动中心与小宇家相距千米，小宇在活动中心(1)家与图书馆之间的路程为m,小玲步行的速度(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)求两人相遇的时间.第三章变量与函数19(2)求线段BC所表示的y(千米)与x(小时)之间的函数关系式(不必写出x所表示的范围);(3)根据上述情况(不考虑其他因素),请判断小宇是否能在12:00前回到家，并说明理由.解析(1)22;2;0.4.由题图知活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动的时间为3-1=2小时，小宇从活动中心返家时，步行所用时间为(22-20)÷5=0.4(小时).(2)由(1)知点C的坐标为(3.4,20).把点B(3,22),点C(3.4,20)的坐标代入y=kx+b,∵0.8<1,∴小宇能在12:00前回到家205年中考3年模拟中考数学§3.3反比例函数考点一反比例函数的图象与性质考点二反比例函数与一次函数的综合应用1.如果两个变量x、y之间的关系可以表示为①(k≠0,且k为常数),那么称y是x的反比例函数.它的图象叫双曲线.反比例函数的另两种表示方式：xy=h(k≠0),y=kx⁻¹(k≠0).2.反比例函数的图象与性质k图象3.反比例函数解析式的确定常用待定系数法.于原点的对称点)1.利用函数图象确定不等式或的解集的从图象可以看出，在I、Ⅲ部分，反比例函数图象位于一次以不等式的解集为xg<x<0或x>xA·考点三反比例函数的实际应用实际问题.第三章变量与函数21一、求h的值和反比例函数解析式的方法1.由k的几何意义直接得出反比例函数解析式.2.根据图象特征求出图象上某个点的坐标，然后用待定系数法求反比例函数解析式.特别是当图象上有两个未知坐标的点时，常设一个参数，根据几何图形的特征，用参数的坐标，即可得出反比例函数解析式.例1(2019黑龙江齐齐哈尔，15,3分)如图，矩形的为(-2,0).将线段OC绕点0逆时针旋转60°至线段OD,若反比,,∵反比例函数(k≠0)的图象经过D点，a,点B到直线AC的距离是2b,则,将点A的坐标代入反比例函数表达式可得k=ab=8.二、反比例函数的性质在几何中的应用考查，比如用点的坐标表示线段的长度，结合几何图形的特征，示线段的长度来探究几何图形的某些特征.例2(2018湖北黄冈，19,6分)如图，>0)的图象过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.(1)求k的值与B点的坐标；(2)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标由题意易知点B的横坐标为6,即点B的纵坐标为2.∴点B的坐标为(6,2).(2)如图，以A,B,C,D四点为顶点的平行四边形有3种情质易得D₁(3,2),D₂(3,6),由(1)知线段BC的中点坐标为(6,1),该点是线段AD₃的中点，所以点D₃的坐标为(9,-2).故D针对训练1(2019湖北黄冈，15,3分)如图，一直线经过原点0,且与反比例函数(k>0)相交于点A,点B,过点A作AC⊥y轴，垂足为C.连接BC.若△ABC的面积为8,则k点的坐标为(3,2)或(3,6)或(9,-2).225年中考3年模拟中考数学针对训练2(2019四川成都，19,10分)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数和y=-2x的图象相交于点A,反比例函数的图象经过点A.(1)求反比例函数的表达式；(2)设一次函数：的图象与反比例函数的图象的另一个交点为B,连接OB,求△ABO的面积.解析(1)由解得∴点A的坐标为(-2,4).把(-2,4)代入中，得∴反比例函数的表达式为(2)由解得∴直线BO的解析式为过点A作AC⊥x轴交BO于点C,则第三章变量与函数23考点一二次函数的图象与性质考点二系数a、b、c的作用函数图象开口方向向上向下当当增减性顶点式y=a(x-h)²+k(a≠0)交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0):抛物线与x轴的交点为a向及大小a>0,抛物线开口⑤向上；决定抛物线对称轴对称轴在y轴左侧；,对称轴在y轴右侧c决定抛物线与y轴c>0,抛物线与y轴交于正半轴；c<0,抛物线与y轴交于负半轴决定抛物线与x轴的交点个数b²-4ac=0时，与x轴有唯一交点(顶点);b²-4ac>0时，与x轴有两个不同b²-4ac<0时，与x轴没有交点特殊关系当x=1时，y=a+b+c当x=-1时，y=a-b+c考点三二次函数与方程、不等式之间的关系0)的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0符号来确定.的个数.(3)直线y=mx+n与抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的交点坐标y=ax²+bx+c(a≠0)位于x轴上方的点的横坐标x的取值集合；一元二次不等式ax²+bx+c<0(a≠0)的解集就是抛物线y=ax²+(2)一元二次不等式ax²+bx+c>k(ay=ax²+bx+c(a≠0)在直线y=k上方的点的横坐标x的取值集ax²+bx+c(a≠0)在直线y=(3)一元二次不等式ax²+bx+c>mx+n(a≠0)的解集就物线y=ax²+bx+c(a≠0)在直线y=mx+n上方的点的横坐标x是抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)在直线y=mx+n下方的点的横坐标x的取值集合.245年中考3年模拟中考数学一、用待定系数法求二次函数解析式10,3分)如图，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点10,3分)如图，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a-b=0;②c<0;③-3a+c>0;④4a-2b>at²+bt(t为实数);⑤点由图可知y₂<y₃<y1.故选D.答案D针对训练2(2017黑龙江齐齐哈尔，2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0),其中顶点坐标为(h,k),对称轴为直=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0),其中与x轴的交点坐标为(x₁,0),(x₂,0).解析∵抛物线的对称轴为直线∵4a-b=0,故①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间，∴由抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点在(-1,解析设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)(a≠0),则抛物线的解析式为答案针对训练1(2019河南，8,3分)已知抛物线y=-x²+bx+4A.-2B.-4解析∵抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点，解得故选B.二、利用函数的图象和性质比较大小或判断字母的取值这几个点，由点的上下位置来判断；方法二否在对称轴的同一侧，不在同一侧的，按照抛物线的对称性，找到对称点，然后利用二次函数的增减性比较函数值的大小.符合题意的自变量x的取值范围.例2(2019福建，10,4分)若二次函数的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y₁),C(3-m,n),D(√2,y₂),E(2,y₃),则y,₂,y₃的大小关系是A.y₁<y₂<y₃B.y₁<y₃<y₂解析∵Ial>0,∴抛物线的开口向上.∵抛物线过A(m,n)和C(3-m,n),∴抛物线的对称轴为直线点离对称轴的水平距离越小，函数值越大，∴y₁<y₃<y₂,故⑤错误.故选B.三、二次函数图象的平移规律在判断平移后的函数图象时，用平移规律“次函数解析式化为顶点式，按照顶点坐标的变化写出平移方例3(2017江苏盐城，6,3分)如图，将函数的图象沿y轴向上平移得平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新函数解析∵函数的图象过点A(1,m),B(4,n),),B(4,3),过A作AC//x轴，交B'B的延长线于点C,则∵曲线段AB扫过的面积为9,第三章变量与函数25即将函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一个新函数的图象，∴新函数的表达式是针对训练3(2018新疆乌鲁木齐，13,4分)把抛物线y=2x²-4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ·解析易知y=2x²-4x+3=2(x-1)²+1,则把原抛物线向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为y=2x²+1.265年中考3年模拟中考数学3.5二次函数的综合应用考点一抛物线与距离、面积、角度(3)当线段不平行于坐标轴时，常过线段的端点作坐标轴的EF=√(xʙ-xp)²+(yε-yp)².2.图形的面积(1)如图1,当三角形的底边平行于坐标轴，或者在坐标轴EG//y轴时，作FN⊥y轴，交EG于H,垂足为N,SEFG=(2)用割补法转化为(1)的情况求三角形面积.如图2,作AN⊥BD于N,则xg)(yc-yA).如图3,作CD//y轴，交AB于E,垂足为D,过A作AN⊥CDBM)=③如图4,过三角形的顶点作坐标轴的平行线，构成矩形，则(3)求四边形和多边形的面积时，可以作坐标轴的平行线，如图，作点A关于直线l的对称点C,连接BC交直线l于点出点P的坐标.求值；或者构造全等(或相似)三角形，把角题来解.考点二抛物线与特殊三角形、特殊四边形股定理，平行四边形的对边平行且相等，圆心到切点的距离等于考点三抛物线与全等三角形、相似三角形用顶点的坐标表示图形的边长，利用全等(或相似)三角形的对应边相等(或成比例)解答问题，注意分类讨论思想的应用，不要漏解.知的(或动态的)三角形的边长；3.根据全等(或相似)三角形的性质，利用对应边相等(或成比例)列方程，解方程得出未知数的考点四二次函数在实际生活(生产)中的应用一般步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系(2)确定自变量的取值范围；(3)分析所得函数的性质；(4)解决提出的问题.第三章变量与函数27一、求图形的面积(3)已知F(1,1),若E(x,y)是抛物线上一个动点(其中1<x<2),连接CE,CF,EF,求△CEF面积的最大值及此时点E的(4)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.解析(1)∵抛物线y=ax²+bx+2(a≠0)过A(-1,0),B(3,∴对称轴方程是x=1.(3分)(2)过点D作DG⊥y轴于G,作DH⊥x轴于H.∴点D的坐标是(6分)(3)过点E作EQ⊥y轴于Q,过点F作FR⊥y轴于R,过点E作EP⊥FR于P,∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=90°,∴四边形QRPE是矩形.(9分)(9分)(12分)或(12分)或坐标系中，直线x轴交于点A,与y轴交于点C,抛(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点.②过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在，求点(2)①在285年中考3年模拟中考数学解得x₁=-4,x₂=1,∴B(1,0),连接PC,即即设解得m₁=-2或0(舍去),设解得或0(舍去).二、抛物线与三角形、四边形的综合应用经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点.(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D,若点C′恰好落达式.第三章变量与函数29∴抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3.(2)∵抛物线与x轴的交点为B(-1,0),C(3,0),∴BC=4,抛物线的对称轴为直线x=1.设抛物线的对称轴与x轴交于点H,则H点的坐标为(1,由翻折得C'B=CB=4.在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C'H=√C'B²-BH²=(3)取(2)中的点C',D,连接CC'.∴△C'CB为等边三角形.分类讨论如下：①当点P在x轴上方时，点Q在x轴上方.由翻折可知BD垂直平分CC'.设直线BP的函数表达式为y=kx+b,∴直线BP的函数表达式为设BP与y轴相交于点E.设直线BP的函数表达式为y=k′x+b′,则解得∴直线BP的函数表达式为针对训练2(2017四川广安，26,10分)如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x轴正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1.(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标；(2)动点M从点0出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点0出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.305年中考3年模拟中考数学解析(1)∵抛物线y=-x²+bx+c的对称轴是直线x=1,∵抛物线过点A(0,3),∴c=3,∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3,令y=0,可得-x²+2x+3=0,解得x=-1或x=3,∴B点坐标为(3,0).(2)①由题意可知ON=3t,0M=2t,∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形.∴OA=OB=3,且可求得直线AB的解析式为y=-x+3,由题意可知OM=2t,∴Q(2t,-2t+3).BQ=√(2t1-3)²+(-2t+3)²=√21又由题意可知0<t<1,解得(舍去)或三、利用二次函数的性质解决最优化问题数y=ax²+bx+c(a≠0),当,函数取最方法，把一般式化为顶点式，利用任意一个数的平方大于等于0求出最值.2.利用最值解决实际生活中的最优化问题，应认清变量所例3(2019内蒙古包头，23,10分)某出租公司有若干辆种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨-据季该公司平均每天有10辆货车未租出，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元.(1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?淡季每辆货车的日租金是多少元?(2)经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其他因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高?解析(1)设该出租公司这批对外出租的货车共有x辆.解得x=20.1500÷(20-10)=150(元).答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金是150元.(5分)(2)设当旺季每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为w元.分)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式，并写出x的(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚?请说明理由.解析(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由-10x+300≥0,得x≤30,∴x的取值范围为8≤x≤30.(2)设该品种蜜柚定价为x元/千克时，每天销售获得的利因此，该品种蜜柚定价为19元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润为1210元.(3)不能.由(1)得y=-10×19+300=110,∴该农户不能销售完这批蜜柚第四章图形的认识31对应学生用书起始页码80页2.如果两个角的和等于90°,那么就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等.两个角有一条公共边，它们的另一条边互为两个角互为邻补角：同角或等角的补角①相等.4.如果一个角的两条边与另一个角的两条边互为反向延长考点二相交线和平行线1.两点确定一条直线；两点间线段的长度叫做两点间的距直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离6.平行线的判定方法(4)平行于同一直线的两条直线平行.(5)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线⑧平行.考点三角平分线和线段的垂直平分线角的平分线上的点到角的两边的距离⑨相等；角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的⑩垂325年中考3年模拟中考数学②对应学生用书起始页码80页一、平行线与角平分线、三角形内角和定理的综合应用∠3,△ABC是等腰三角形，利用这个性质，我们可以求某个角和定理.例1(2018河南，9,3分)如图，已知□AOBC的顶点0(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图：①以点0为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心，大于-DE两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G.则点GA.(√5-1,2)B.(√5,2)C.(3-√5,2)D.(J5-2,由作图知OF平分∠AOB,又AC//OB,针对训练1(2019湖北黄冈，13,3分)如图，直线AB//CD,直线EC分别与AB,CD相交于点A,点C.AD平分∠BAC,已二、合理利用角平分线解题角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.合理利用角平分线的性质以及角的轴对称性构造全等三角形，可以判断角或者线段之间的关系.下面是三种常见的辅助线作法.例2(2018黑龙江大庆，9,3分)如图，∠B=∠C=90°,MA.30°B.35°C.4故选B.针对训练2(2018湖南常德，6,3分)如图，已知是3,则CE的长为()A.6B.5答案D故选D.3.三角形的中位线3.三角形的中位线(2)性质：三角形的中位线④平行于第三边，且等于第三边的一半.图形内容有a+b>c,b+c>a,间，线段最短的差小于第有a-b<c,b-c<a,c-a<b应用(1)判断三条线段能否组成三角形.(2)已知三角形的两边，求第三边的取值范围第四章图形的认识334.2三角形及其全等考点一三角形的相关概念5.与三角形有关的角由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形的分类(1)按边分：CC三角形三个内角的和等于⑥180°考点二全等三角形的判定与性质全等三角形的对应边相等，对应角相等.(2)按角分：2.全等三角形的判定判定1:三边分别相等的两个三角形全等(简写“SSS”)(简写成“边角边”或“SAS”)(简写成“角边角”或“ASA”)判定4:两角和其中一个角的对边分别相等的(简写成“角角边”或“AAS”)判定5:斜边和一条直角边分别相等的两个(简写成“斜边、直角边”或“HL”)345年中考3年模拟中考数学一、利用三角形的“三线”的性质解题1.三角形的高的有关结论2.三角形的角平分线的有关结论如图3,BD、CE是△ABC的角平分线，可得∠BOC=90°+3.三角形的中线的有关结论如图6,CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，可得CD=例1(2018湖北黄石，7,3分)如图，△ABC中，AD是BCA.75°B.80°C.85°解析∵AD是BC边上的高，答案A针对训练1(2018浙江湖州，8,3分)如图，已知在△ABCDE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD,则下列结论不一定正确的是()A.AE=EFB.AB=2DEC.△ADF和△ADE的面积相等D.△ADE和△FDE的面积相等答案C解析如图，连接CF,二、合理选择全等三角形的判定方法解题1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少有一个第四章图形的认识35元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边(角)准确地确定要补充的边(角),有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：(1)已知两边已知已知一角(3)已知两角的对边→找另一角→AAS2.若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添例2(2018云南昆明，15,6分)如图，在△ABC和△ADE证明∵∠1=∠2,针对训练2(2017湖北武汉，18,8分)如图，点C,F,E,B解析CD与AB之间的关系为CD=AB,且CD//AB.∴CD//BA.365年中考3年模拟中考数学对应学生用书起始页码92页考点一等腰三角形性质(1)等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴(2)性质1:等腰三角形的两底角相等(简写成“等边底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)考点二直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角互余.(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑥一边c的平方，即⑧a²+b²=c²(1)如果三角形一边上的中线等于这条边的⑨一半，那么这个三角形为直角三角形.一、等腰三角形的性质及相关模型的应用AC,AD是底边上的中线，可得∠B=∠C,AD是底边上的高和顶角的角平分线.2.“手拉手模型”.如图2,等腰△ABC和等腰△ADE,公共顶角α(注α=∠BAC),得到△AFB,连接FD,可得△ADF≌△ADE,DF=DE.2CE,则DE的长为.解析如图，将△ABD沿AD所在直线翻折得△连过点E作EH⊥DF,交DF于点H,过点A作AM⊥BC,交于点M.设CE=2x,即(6-6x)²=(3x)²+(√3x)²,解得(舍去)答案3√3-3连接EF,∴CF=BD.可证△ADE≌△AFE设CE=2x,过点A作AM⊥BC,交BC于点M,即(6-6x)²=(3x)²+(√3x)²,解得(舍去).针对训练1(2018湖北武汉，14,3分)以正方形的边AD为边作等边△ADE,则∠BEC的度数是②当点E在正方形ABCD内时，如图，385年中考3年模拟中考数学二、勾股定理的应用已知直角三角形中两边长求第三边长时，可以直接运用勾股定理计算；对于直角三角形中已知一边长和BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分别以点A、C为圆心，大于点0.若点0是AC的中点，则CD的长为()A.2√2B.4解析连接FC,由作图方法及点0是AC的中点可知，BF垂直平分AC,∴AF=CF,AB=CB,易得∠1=∠2,∵AD//BC,AD-AF=1.在Rt△DCF中，由勾股定理得CD=√FC²-DF²=CC针对训练2(2018江西，12,3分)在正方形ABCD中，AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP,则AP的长为解析∵四边形ABCD是正方形，AB=6,∴AC⊥BD,AC=BD=6√2,0A=OD=3√2.③点P在AB上时，4多边形与平行四边形考点一多边形1.n边形的内角和为①(n-2)×1802.在平面内，各内角都相等，②各边也都做正多边形.的对角线，从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线.这些对对角线.考点二平行四边形(2)表示方法：用“口”表示平行四边形.例如平行四边形(1)边：平行四边形的两组对边分别④平行；平行四边形(3)对角线：平行四边形的对角线⑤互相平分；(4)对称性：平行四边形是⑥中心对称图形，对角线的交(1)两组对边⑦分别相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边⑧平行且相等的四边形是平行四边形；两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离.405年中考3年模拟中考数学一、利用多边形的内角和、外角和定理进行计算求多边形边数或对角线条数可以从两个角度考虑：(1)n边形的内角和为(n-2)·180°,根据条件表示出有关内角的表达例1(2019福建，5,4分)已知正多边形的一个外角是A.12B.10C.8解析设该正多边形的边数为则,故选B.答案B针对训练1(2018内蒙古呼和浩特，3,3分)已知一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形是()A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形答案B解析设该多边形的边数为n,则由题意可得180(n-2)=1080,解得n=8.故选B.二、合理利用平行四边形的判定方法和性质解题平行四边形的性质是证明边角相等的常用工时往往先判定一个四边形是平行四边形，再利用其性质解决问平行四边形判定方法的选择：边角例2(2019山东青岛，21,8分)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,点E,F分别为OB,OD的中点，延长AE到G,使EG=AE,连接CG.(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形?请说明理由.∴AB=CD,AB//CD,OB=OD,0A=0C,(2)当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.同理CF⊥OD,∴OE//CG,∴EF//CG,∴四边形EGCF是平行四边形