高数3课件知识讲解

第二章极限和连续本章学习的主要内容：第二章极限和连续第一节数列的极限一、数列的概念二、数列的极限的定义三、数列极限的性质一、数列概念来逼近圆的面积A.边形的面积引例（刘徽的“割圆术”）：设有一半径为1的圆，用其内接正先作圆的内接正六边形，其面积记作再作内接正十二边形，其面积记作内接二十四边形的面积记作刘徽计算到边形，利用不等式（图2-1）得到圆的面积图2-1称为一个数列,

记为{xn}.1.定义数列中的每一个数称为数列的一项xn=f(n)

称为数列的通项或一般项数列也称为序列…xnx2x1x0x3…••••••••••01–1x所有的奇数项所有的偶数项x1M3x1xx4x2••••••••••0所有奇数项1xnx3x2x1x0………••••••••••…二、数列的极限的定义001极限描述的是变量的变化趋势.讨论数列当无限增大时的变化趋势.容易看出:当无限增大时,x1x3x2n-1x2nx4x2

x0

((()))*••••••••••••••••••••••••••“n无限增大”

记为n.此时称数列当n时以零为极限,记为：这就是该数列的变化趋势的图上看,从数列x1x3x2n-1x2nx4x2

x0

((()))*••••••••••••••••••••••••••

量化表示：n

时,xn

a.预先任意给定一个正数

>0,不论它的值多么小,当n无限增大时,数列{xn}总会从某一项开始,以后的所有项都落在U(0,

)中.（在U(0,

)外面只有有限项）

010)1(e<--nn其中,是描述点xn与点0无限接近的度量标准,它是预先任意给定的,与{xn}的极限存在与否无关.不存在.由N存在与否判断数列的极限是否存在.

n>N描述n.通过目标不等式来寻找N

>0,N=N(

).不等式称为目标不等式.一般地,如果数列{xn}当n

时,

列{xn}当n

时以a为极限,记为xn可以无限地趋近某个常数a,

则称数此时,也称数列是收敛的.例4001若{xn}当n

时没有极限,则称{xn}发散.若时,使当记为或此时,也称数列{xn}是收敛的.极限描述的是变量的变化趋势数列的项不一定取到它的极限值.数列极限的定义：例5证故取则n>N时,由极限的定义,得例6证成立.由极限的定义可知:放大不等式法例7证通常说成：常数的极限等于其自身.例8证由绝对值不等式,得注意：该例题结论的逆命题不真.例如,{(

1)n}.例9证逆命题成立吗？例10证1.唯一性定理若数列{xn}收敛,则其极限值必唯一.想想,如何证明它？三、数列极限的性质设数列{xn}收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证运用反证法任意性常数由

的任意性,上式矛盾,故a=b.唯一性定理的推论的任何一个子数列都收敛,且均以a为极限.充分必要条件何谓子数列？子数列的概念在数列{xn}:x1,x2,

,xn,

中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在．例11解取子数列：例12解利用函数的周期性,在{xn}中取两个子数列:2.有界性定理

若数列{xn}收敛,则{xn}必有界.证设则由极限定义,取时,即有则由数列有界的定义得：数列{xn}收敛,则必有界.该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛.例如,{(－1)n}.有界性定理的推论：即无界数列的极限不存在.无界数列必发散.例13发散的数列不一定都无界.例如,{(－1)n}.收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界.3.保号性定理证由绝对值不等式的知识,立即得a<0的情形类似可证,由学生自己完成.保号性定理