高考数学一轮复习等差数列选择题专项训练讲义及答案及解析

一、等差数列选择题1.已知等差数列
,且
,则数列
的前13项之和为()A.24 B.39 C.104 D.52解析：D【分析】根据等差数列的性质计算求解.【详解】由题意
,
,∴
．故选:D.2．已知等差数列
中,
,
,则
的值是(）A.15 B.30 C.3 D.64解析：A【分析】设等差数列
的公差为
,根据等差数列的通项公式列方程组,求出
和
的值,
,即可求解.【详解】设等差数列
的公差为
,则
,即
解得：
,所以，所以
的值是
,故选：A3.在数列
中,
,且
,则其通项公式为
()A.
B.
C.
D.
解析：D【分析】先由
得出
,再由累加法计算出
,进而求出
.【详解】解：，，化简得:
,两边同时除以
并整理得:，即
,
,
,…,
,将上述
个式子相加得:
…
…
,即，，又
也满足上式,，.故选:D.【点睛】易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现
,要注意检验首项是否符合.4．已知递减的等差数列
满足
,则数列
的前n项和取最大值时n=()A.4或5 B.5或6 C.4 D.5解析：A【分析】由
,可得
,从而得
,然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解:设递减的等差数列
的公差为
(
),因为
,所以
,化简得
,所以，对称轴为
,因为
,
,所以当
或
时,
取最大值,故选：A5.若等差数列{an}满足a2=20,a5=8,则a1=()A.24 B.23 C.17 D.16解析：A【分析】由题意可得
,再由
可求出
的值【详解】解:根据题意,
,则
,故选:A.6．冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列
,已知
,
,且满足
(
),则该医院30天入院治疗流感的共有()人A.225 B.255 C.365 D.465解析：B【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和【详解】解:当
为奇数时,
,当
为偶数时,
,所以，
是以2为首项,2为公差的等差数列,所以，故选：B7.在等差数列{an}中,已知a5=3,a9=6,则a13=()A.9 B.12 C.15 D.18解析：A【分析】在等差数列{an}中,利用等差中项由
求解.【详解】在等差数列{an}中,a5=3,a9=6,所以，所以，故选：A8.设
是等差数列
(
)的前
项和,且
,则
()A.
B.
C.
D.
解析：C【分析】由题建立关系求出公差,即可求解.【详解】设等差数列
的公差为
,，，，.故选：C9.已知数列
中,
,且满足
,若对于任意
,都有
成立,则实数
的最小值是()A.2 B.4 C.8 D.16解析：A【分析】将
变形为
,由等差数列的定义得出
,从而得出
,求出
的最值,即可得出答案.【详解】因为
时,
,所以
,而
所以数列
是首项为3公差为1的等差数列,故
,从而
.又因为
恒成立,即
恒成立,所以
.由得所以
,所以
,即实数
的最小值是2故选：A10.已知等差数列
中,前
项和
,则使
有最小值的
是()A.7 B.8 C.7或8 D.9解析：C【分析】
看作关于
的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.【详解】，∴数列
的图象是分布在抛物线
上的横坐标为正整数的离散的点.又抛物线开口向上,以
为对称轴,且
|,所以当
时,
有最小值．故选：C11.已知数列
是公差不为零的等差数列,且
,则
()A.
B.
C.3 D.4解析：A【分析】根据数列
是等差数列,且
,求出首项和公差的关系,代入式子求解.【详解】因为，所以，即，所以.故选：A12.等差数列
的前
项和分别为
,若
,则
的值为()A.
B.
C.
D.
解析：C【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可【详解】＝＝＝＝＝.故选C13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则下列判断错误的是()A.S5,S10-S5,S15-S10必成等差数列 B.S2,S4-S2,S6-S4必成等差数列C．S5,S10,S15+S10有可能是等差数列 D．S2,S4+S2,S6+S4必成等差数列解析：D【分析】根据等差数列的性质,可判定A.B正确;当首项与公差均为0时,可判定C正确;当首项为1与公差1时,可判定D错误.【详解】由题意,数列
为等差数列,
为前
项和,根据等差数列的性质,可得而
,和
构成等差数列,所以,所以A,B正确;当首项与公差均为0时,
是等差数列,所以C正确;当首项为1与公差1时,此时
,此时
不构成等差数列,所以D错误.故选:D.14．数列
是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大
,则该数列的项数是()A.8 B.4 C.12 D.16解析：A【分析】设项数为2n,由题意可得
,及
可求解.【详解】设等差数列
的项数为2n,
末项比首项大
,，，．由
,可得
,
,即项数是8,故选:A.15．已知各项不为
的等差数列
满足
,数列
是等比数列,且
,则
()A.1 B.8 C.4 D.2解析：B【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出
,再由等比数列的性质,即可求出结果.【详解】因为各项不为
的等差数列
满足
,所以
,解得
或
(舍);又数列
是等比数列,且
,所以.故选:B.二、等差数列多选题16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列
称为"斐波那契数列",记
为数列
的前n项和,则下列结论正确的是()A.
B.
C.
D.
解析:ABCD【分析】由题意可得数列
满足递推关系
,对照四个选项可得正确答案.【详解】对A,写出数列的前6项为
,故A正确;对B,
,故B正确;对C,由
,
,
,……,
,可得:
.故
是斐波那契数列中的第2020项.对D,斐波那契数列总有
,则
,
,
,……,
,

,故D正确;故选:ABCD.【点睛】本题以"斐波那契数列"为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换.17．已知等差数列
的公差
,前
项和为
,若
,则下列结论中正确的有()A.
B.
C．当
时,
D．当
时,
解析:ABC【分析】因为
是等差数列,由
可得
,利用通项转化为
和
即可判断选项A;利用前
项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B;利用等差数列的性质
即可判断选项C;由
可得
且
,
即可判断选项D,进而得出正确选项.【详解】因为
是等差数列,前
项和为
,由
得:
,即
,即
,对于选项A:由
得
,可得
,故选项A正确;对于选项B:
,故选项B正确;对于选项C:
,若
,则
,故选项C正确;对于选项D:当
时,
,则
,因为
,所以
,
,所以
,故选项D不正确,故选:ABC【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由
得出
,熟记等差数列的前
项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.18.等差数列
的前
项和为
,
,则下列结论一定正确的是()A．
B．
C．当
或
时,
取得最大值 D．
解析:ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得
,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论.【详解】∵等差数列
的前
项和为
,
,∴
,解得
,故
,故A正确;∵
,
,故有
,故B正确;该数列的前
项和
,它的最值,还跟
的值有关,故C错误;由于
,
,故
,故D正确,故选:ABD.【点睛】思路点睛:利用等差数列的通项公式以及前
项和公式进行化简,直接根据性质判断结果.19．已知数列
满足:
,当
时,
,则关于数列
的说法正确的是()A.
B.数列
为递增数列C.
D.数列
为周期数列解析:ABC【分析】由
,变形得到
,再利用等差数列的定义求得
,然后逐项判断.【详解】当
时,由
,得，即
,又
,所以
是以2为首项,以1为公差的等差数列,所以，即
,故C正确;所以
,故A正确;
,所以
为递增数列,故正确;数列
不具有周期性,故D错误;故选:ABC20．已知等差数列
的前n项和为
,公差为d,且
,
,则()A.
B.
C.
D.
解析:BD【分析】由等差数列下标和性质结合前
项和公式,求出
,可判断C,D,由等差数列基本量运算,可得公差,判断出A,B.【详解】因为，所以．因为
,
,所以公差
.故选:BD21.首项为正数,公差不为0的等差数列
,其前
项和为
,则下列4个命题中正确的有()A.若
,则
,
;B.若
,则使
的最大的n为15;C.若
,
,则
中
最大；D．若
,则
.解析:ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案.【详解】对于A:因为正数,公差不为0,且
,所以公差
,所以
,即
,根据等差数列的性质可得
,又
,所以
,
,故A正确;对于B:因为
,则
,所以
,又
,所以，所以
,
,所以使
的最大的n为15,故B正确;对于C:因为
,则
,
,则
,即
,所以则
中
最大,故C错误;对于D:因为
,则
,又
,所以
,即
,故D正确,故选:ABD【点睛】解题的关键是先判断d的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题.22．已知正项数列
的前
项和为
,若对于任意的
,
,都有
,则下列结论正确的是（）A．B．C.若该数列的前三项依次为
,
,
,则
D.数列
为递减的等差数列解析:AC【分析】令
,则
,根据
,可判定A正确;由
,可判定B错误;根据等差数列的性质,可判定C正确;
,根据
,可判定D错误.【详解】令
,则
,因为
,所以
为等差数列且公差
,故A正确;由
,所以
,故B错误;根据等差数列的性质,可得
,所以
,
,故
,故C正确;由
,因为
,所以
是递增的等差数列,故D错误.故选:AC.【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法;1.作差比较法:根据
的符号,判断数列
是递增数列、递减数列或是常数列;2、作商比较法：根据
或
与1的大小关系,进行判定;3.数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断.23．已知等差数列
的公差不为
,其前
项和为
,且
、
、
成等差数列,则下列四个选项中正确的有(）A.
B.
C.
最小 D.
解析:BD【分析】设等差数列
的公差为
,根据条件
、
、
成等差数列可求得
与
的等量关系,可得出
、
的表达式,进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列
的公差为
,则
,
,因为
、
、
成等差数列,则
,即
,解得
,
,
.对于A选项,
,
,A选项错误;对于B选项,
,
,B选项正确;对于C选项,
.若
,则
或
最小;若
,则
或
最大.C选项错误;对于D选项,
,D选项正确.故选:BD.【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量,通过建立方程(组)获得解,另外在求解等差数列前
项和
的最值时,一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.24．无穷数列
的前
项和
,其中
,
,
为实数,则()A.
可能为等差数列B.
可能为等比数列C.
中一定存在连续三项构成等差数列D.
中一定存在连续三项构成等比数列解析:ABC【分析】由
可求得
的表达式,利用定义判定得出答案.【详解】当
时,
.当
时,
.当
时,上式＝
.所以若
是等差数列,则
所以当
时,
是等差数列,
时是等比数列;当
时,
从第二项开始是等差数列．故选:ABC【点睛】本题只要考查等差数列前n项和
与通项公式
的关