分布函数的试题及答案

分布函数的试题及答案

一、单项选择题(每题2分,共10题)1.分布函数\(F(x)\)的值域是(）A.\((0,1)\)B.\([0,1]\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)2.设\(F(x)\)是某随机变量的分布函数,则\(F(-\infty)\)等于()A.0B.1C.0.5D.不存在3.已知\(F(x)\)为分布函数,\(F(a+0)\)表示()A.\(F(a)\)B.\(F(a)\)的左极限C.\(F(a)\)的右极限D.\(F(a)\)的导数4.连续型随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)()A.是连续函数B.是阶梯函数C.是分段函数D.不连续5.离散型随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)是()A.连续函数B.单调递减函数C.单调不减函数D.非单调函数6.设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\),则\(P(X=a)\)等于()A.\(F(a)\)B.\(F(a+0)-F(a)\)C.\(F(a)-F(a-0)\)D.\(F(a+0)-F(a-0)\)7.若\(F_1(x)\)和\(F_2(x)\)都是分布函数,则()也是分布函数A.\(F_1(x)+F_2(x)\)B.\(F_1(x)-F_2(x)\)C.\(0.5F_1(x)+0.5F_2(x)\)D.\(F_1(x)F_2(x)\)8.分布函数\(F(x)\)满足\(F(+\infty)\)等于()A.0B.1C.0.5D.不存在9.设\(X\)是随机变量,\(F(x)\)是其分布函数,若\(x_1\ltx_2\),则\(F(x_1)\)与\(F(x_2)\)的关系是()A.\(F(x_1)\gtF(x_2)\)B.\(F(x_1)=F(x_2)\)C.\(F(x_1)\ltF(x_2)\)D.不确定10.随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)在某点\(x\)处连续,则\(P(X=x)\)等于()A.0B.1C.\(F(x)\)D.\(1-F(x)\)答案:1.B2.A3.C4.A5.C6.C7.C8.B9.C10.A二、多项选择题(每题2分,共10题)1.分布函数\(F(x)\)具有以下哪些性质(）A.单调不减B.\(0\leqF(x)\leq1\)C.\(F(-\infty)=0\)D.\(F(+\infty)=1\)2.下列关于分布函数说法正确的是()A.分布函数右连续B.离散型随机变量分布函数是阶梯函数C.连续型随机变量分布函数是连续函数D.分布函数是单调函数3.设\(F(x)\)是随机变量\(X\)的分布函数,则()A.\(P(X\leqx)=F(x)\)B.\(P(X\ltx)=F(x-0)\)C.\(P(X\gtx)=1-F(x)\)D.\(P(x_1\ltX\leqx_2)=F(x_2)-F(x_1)\)4.若\(F(x)\)为分布函数,下列式子成立的是()A.\(F(x)\)是右连续的B.\(\lim_{x\to-\infty}F(x)=0\)C.\(\lim_{x\to+\infty}F(x)=1\)D.\(F(x)\)单调递增5.下面是分布函数的有()A.\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\0.5,&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)B.\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt-1\\0.3,&-1\leqx\lt2\\0.8,&2\leqx\lt3\\1,&x\geq3\end{cases}\)C.\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\x,&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)D.\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\\sinx,&0\leqx\lt\frac{\pi}{2}\\1,&x\geq\frac{\pi}{2}\end{cases}\)6.分布函数\(F(x)\)可以用来计算()A.\(P(X\leqa)\)B.\(P(X\lta)\)C.\(P(X\geqa)\)D.\(P(a\ltX\ltb)\)7.对于分布函数\(F(x)\),以下说法正确的是()A.它刻画了随机变量取值的概率规律B.不同的随机变量分布函数一定不同C.它是一个普通的实值函数D.可以通过它求随机变量在任意区间的概率8.设\(F_1(x)\)和\(F_2(x)\)是两个分布函数,\(a\),\(b\)满足\(a\geq0\),\(b\geq0\)且\(a+b=1\),则()是分布函数A.\(aF_1(x)+bF_2(x)\)B.\(F_1(x)F_2(x)\)C.\(\frac{F_1(x)}{F_2(x)}\)(\(F_2(x)\neq0\))D.\(F_1(x)+F_2(x)\)9.分布函数\(F(x)\)的间断点(）A.是第一类间断点B.最多有可数个C.一定是跳跃间断点D.可能是连续点10.已知\(F(x)\)为分布函数,\(x_1\ltx_2\ltx_3\),则()A.\(F(x_1)\leqF(x_2)\)B.\(F(x_2)-F(x_1)\geq0\)C.\(F(x_3)-F(x_1)\geqF(x_3)-F(x_2)\)D.\(F(x_1)\ltF(x_2)\)答案:1.ABCD2.ABCD3.ABCD4.ABC5.ABC6.ABCD7.ACD8.AB9.ABC10.ABC三、判断题(每题2分,共10题)1.分布函数\(F(x)\)一定是单调递增函数。()2.若\(F(x)\)是分布函数,则\(F(x)\)在整个实数轴上处处可导。（)3.分布函数\(F(x)\)满足\(F(-\infty)=1\)。()4.连续型随机变量的分布函数是连续且可导的。()5.离散型随机变量的分布函数是连续函数。()6.对于分布函数\(F(x)\),有\(P(X\gtx)=1-F(x)\)。（)7.两个分布函数的和一定是分布函数。()8.分布函数\(F(x)\)的右极限\(F(x+0)=F(x)\)。()9.若\(F(x)\)是分布函数,\(x_1\ltx_2\),则\(F(x_1)\leqF(x_2)\)。（)10.分布函数\(F(x)\)可以唯一确定随机变量\(X\)的概率分布。(）答案:1.×(单调不减)2.×(不一定处处可导)3.×(\(F(-\infty)=0\))4.×(连续但不一定可导)5.×(是阶梯函数,不连续)6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题(每题5分,共4题)1.简述分布函数\(F(x)\)的定义。答案:设\(X\)是一个随机变量,\(x\)是任意实数,函数\(F(x)=P(X\leqx)\)称为\(X\)的分布函数。2.分布函数\(F(x)\)右连续的意义是什么?答案：右连续保证了\(P(X\leqx)\)的计算准确性。对于连续型随机变量,右连续体现其连续性;对于离散型,能正确处理在间断点处的概率取值,使概率计算符合实际情况。3.如何通过分布函数\(F(x)\)求\(P(a\ltX\leqb)\)?答案：根据分布函数性质,\(P(a\ltX\leqb)=F(b)-F(a)\),即\(X\)取值小于等于\(b\)的概率减去\(X\)取值小于等于\(a\)的概率。4.说明分布函数\(F(x)\)单调不减的原因。答案:因为当\(x_1\ltx_2\)时,事件\(\{X\leqx_1\}\)包含于事件\(\{X\leqx_2\}\),根据概率的单调性,\(P(X\leqx_1)\leqP(X\leqx_2)\),即\(F(x_1)\leqF(x_2)\),所以\(F(x)\)单调不减。五、讨论题(每题5分,共4题)1.讨论离散型和连续型随机变量分布函数的特点及区别。答案:离散型随机变量分布函数是阶梯函数,在其可能取值处有跳跃,跳跃值为该点概率;连续型随机变量分布函数是连续函数。区别在于离散型有间断点和跳跃,连续型无间断跳跃,图像平滑,概率通过积分计算,离散型则用各点概率相加。2.若\(F_1(x)\)和\(F_2(x)\)是分布函数,探讨\(aF_1(x)+bF_2(x)\)(\(a+b=1\),\(a\geq0\),\(b\geq0\))成为分布函数的条件合理性。答案:\(aF_1(x)+bF_2(x)\)满足分布函数性质。首先,\(0\leqaF_1(x)+bF_2(x)\leqa+b=1\)；其次,\(\lim_{x\to-\infty}(aF_1(x)+bF_2(x))=0\),\(\lim_{x\to+\infty}(aF_1(x)+bF_2(x))=1\)；且单调不减右连续。\(a\)、\(b\)非负保证概率非负性,和为1保证整体概率归一。3.结合实际例子,说明分布函数在概率计算中的作用。答案：比如在电子产品寿命问题中,设\(X\)为电子产品寿命。分布函数\(F(x)\)能计算不同寿命区间概率。如求寿命不超过\(t\)小时概率\(P(X\leqt)=F(t)\)；求寿命在\(t_1\)到\(t_2\)小时概率\(P(t_1\ltX\leqt_2)=F(t_2)-F(t_1)