理论力学-3平面力系的平衡

第3章平面力系的平衡理论力学平面力系的简化3-1平面力系的平衡方程物体系统的平衡3-23-3引言

本章理论可解决的工程实际问题：（1）物体受力的作用线均在同一平面内（2）物体受力对称于纵向对称面引言引言

本章理论可解决的工程实际问题：（3）物体受力沿纵向均匀分布（例：堤坝）3-1平面力系的简化

平面汇交力系：各力的作用线在同一平面内且汇交于一点。一、平面汇交力系的简化设有n个汇交于刚体上O点的力

根据刚体上“力的可传性”，将所有力滑移到汇交点O根据平行四边形法则，将F1、F2合成，得到依次合成其它力，得到OF1F2FiFnF1iF12FR

结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。OFR写成投影形式则：FRx＝∑Fx

FRy＝∑Fy

二、平面力偶系的简化

平面力偶系:作用在物体上的所有力的作用线都在同一平面内，且两两组成力偶。利用力偶的等效特性，在保持力偶矩不变的前提下，将各个力偶都变成等效的力偶臂都为d的新力偶设有n个力偶M1，M2……Mn组成的平面汇交力系。即二、平面力偶系的简化则

结论：平面力偶系的合成结果为合力偶，大小为各分力偶矩的代数和三、平面任意力系的简化设有n个力

组成的平面任意力系。得到汇交于O的力组成的平面汇交力系，以及相应的附加力偶组成的平面力偶系O

O

利用力的平移定理将力系向点O简化，O称为简化中心。……这些附加力偶的矩为三、平面任意力系的简化进一步简化，得到汇交力系的合力，称为主矢O

因此平面任意力系的简化结果为一个主矢和一个主矩。附加力偶系的合力偶称为主矩三、平面任意力系的简化主矢的计算，与前面的汇交力系合力计算方法相同，写为投影形式

主矢与主矩的特性：主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。

主矢不是合力！主矩不是合力偶！！三、平面任意力系的简化平面任意力系简化结果进一步分析简化结果为合力，作用点在简化中心M＝MO，与简化中心无关简化结果为合力偶，简化结果为合力，作用点……O

三、平面任意力系的简化因此，平面一般力系有三种简化结果：合力，合力偶，平衡。

若MO>0，则正向右侧，位置为由图知：——合力矩定理。平衡O

三、平面任意力系的简化力系简化理论的应用：固定端约束例3-1：求三角形分布荷载的合力及其作用线位置。解：合力利用合力矩定理得到合力作用线位置3-2平面力系的平衡方程根据平衡条件得到平衡方程也可以写为二矩式方程A、B两矩心点连线不得与投影轴x垂直三矩式方程A、B、C三矩心点不能在一直线上通过平面任意力系的平衡方程，可以推出特殊平面力系的平衡方程。一、平面汇交力系选汇交点为矩心，则力矩方程自然满足，所以平衡方程为只能求出两个未知量。二、平面力偶系根据力偶的性质，投影方程自然满足，所以平面力偶系的平衡方程为只能求出一个未知量。三、平面平行力系两个投影方程只有一个独立，所以平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求出两个未知量。求解平衡问题做题步骤：

选取研究对象

取分离体画出受力图

列平衡方程求解

例3-2:电动机重P=5000N，放在水平梁AC的中央。如忽略梁和撑杆的重量，求撑杆BC的内力及铰支座A处的约束力。解得：解法1：按照平面汇交力系解研究整体，受力如图，列方程：解得：解法2：按照平面任意力系解研究整体，受力如图，列方程：

例3-3:在图示结构中，各构件的自重略去不计，在BC上作用一矩为M的力偶，各尺寸如图。求支座A的约束力。解得：解：（1）研究BC，按照平面力偶系解。受力如图，列方程：（2）研究ACD，按照平面汇交力系解。受力如图，列方程：

例3-4:起重机的铅直支柱AB由点B的止推轴承和点A的径向轴承支撑。求在轴承A和B两处的反力。解得：解：研究整体，受力如图，列方程：FBxFByFA

例3-5：起重机自重G=500kN,最大载荷Pmax=210kN,轨距b=3m,e=1.5m,l=10m,a=6m,试设计平衡重Q,且轨道反力不小于50kN。解：研究整体。(1)空载时(2)满载时3-3物体系统的平衡静定与静不定问题（1）静不定问题:通过静力学平衡方程不能确定全部未知量；（2）是否静定是对整个系统而言，而不是针对其中某一个物体；（3）静不定问题有时可以求解部分未知量；（4）静不定问题的求解需要利用其它力学知识，因此理论力学中全部为静定问题。静不定问题举例BACPABP物体系统的平衡：

n个物体组成的系统，可列3n个独立的平衡方程，理论上可以解3n个未知量。平衡问题的解题步骤：（1）选择研究对象；（2）取分离体画受力图；（3）列平衡方程求解。解：（1）研究BC，受力如图，列方程解得：

例3-6：已知：P=10kN，q=10kN/m，M=20kN/m。求固定端A的约束力。（2）研究整体，受力如图，列方程FCFAxFAyMA解得：

例3-7：曲轴冲床由轮I、连杆AB和冲头B组成。已知：OA=R，AB=l，忽略摩擦和自重，当OA在水平位置、冲压力为F时系统处于平衡状态。求（1）作用在轮I上的力偶矩M的大小；（2）轴承O处的约束力；（3）连杆AB受的力；（4）冲头给导轨的侧压力。解：（1）研究冲头，受力如图。为平面汇交力系。列方程解得（2）研究轮I，按照平面任意力系解，受力如图，列方程解得

例3-8：半径为R，重量为Q无底圆筒内放置两个半径均为r，重量均为P的圆球，求圆筒不致翻倒的Qmin。FNCFNEFNDPPDCABEOFNEFNPPQx解：研究A+B研究整体

例3-9：各杆自重不计。已知q、a、M，且M＝qa2。求固定端A的约束力及销钉B对BC杆、AB杆的作用力。解：（1）研究CD解得（2）研究BC（B点不包含销钉）得销钉B对BC杆的作用力（3）研究销钉B得销钉B对AB杆的作用力（4）研究AB（B点不包含销钉）得固定