理论力学 课件汇 徐文涛 0绪论、1静力学概念与基础 -6运动学基础与刚体的简单运动

理论力学（中、少学时）绪

论什么是力学力学与工程力学

与

物理刚体与平衡的概念理论力学的研究对象、内容、研究方法绪

论初识力学

物理（初中、高中、大学）…“力”无处不在人类对自然的省悟，就是从对力的认识开始的。“力学”(希腊文mechanikos)原指：发明、巧思、机械。即包含对自然规律的探讨、机构和工艺的改进等。力学是最古老的学科之一

力学不是物理！

但是力学原本是物理学的一个分支，随着人类生产和工程技术的不断进步，力学按其自身逻辑进一步演化和发展，成为独立的基础学科。

自然科学七大基础学科。力学与数学、物理、化学、天文、地理、生物。绪

论0-2☆

什么是力学力学是一门独立的基础与应用学科是有关力、运动和介质（固体、液体、气体和等离子体）在宏、细、微观

力学性质的学科。力学研究以机械运动为主，所以通常定义力学是研究物体机械运动规律的科学。力学的根本任务

通过实验和观察、分析和数值计算，为一个复杂的客观体系建立数学模型，取得对这个体系力学行为的深刻理解，包括对它们行为作出可靠而精确的预测。在这些认识的基础上，为应用技术提供概念、理论、方法、手段，一方面推动技术的发展（包括新技术的建立），一方面从应用中取得新的知识，进一步发展基础理论。绪

论0-3力学与工程密切相关，是沟通自然科学基础理论与工程技术实践的桥梁

力学是基础科学，又是技术科学。

力学的发展始终与人类社会活动紧密联系，它的发展与完善推动了科学技术和社会的进步。

与力学相关的工程学科有机械、土木、水利、航空航天、交通、能源、化工、材料、环境、船舶、海洋、气象、运输、军工等等。

力学是几乎所有工科专业最重要的基础课程之一。绪

论0-4☆

力学与工程基本模型与研究对象：点

→

点、质点系思维与研究方法：抽象

→

具体研 究 内 容：简单、基本、特殊…

→一般（理论、方法）、复杂，接近实际举例：☆

力学&物理绪

论0-5☆

刚体与平衡的概念一、刚体的概念在力的作用下不发生变形的物体称为刚体。则刚体内任何两点之间的距离保持不变。刚体是一个理想化的模型。实际物体能否简化为刚体，主要取决于所研究问题的性质。二、平衡的概念平衡是指物体相对于惯性参考系保持静止或作惯性运动。质点平衡：相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动。刚体平衡：相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线平移或匀速转动。平衡是相对的，运动是绝对的。地球绪

论0-6理论力学是研究物体机械运动

一般规律的科学。

物体在空间的位置随时间的变化最常见、最简单、最普遍的规律绪

论0-7☆

理论力学的研究内容

理论力学属于经典力学，研究宏观物体，速度远小于光速。其理论基础是牛顿运动定律。

理论力学的研究对象包括点、刚体、质点系。

理论力学的内容一般分为静力学、运动学和动力学。静力学——研究物体的受力分析、力系简化和受力物体的平衡条件。绪

论0-8运动学——从几何的角度研究物体的运动（如轨迹、速度和加速度等），而不研究引起物体运动的原因。绪

论0-9动力学——研究物体的运动与作用力之间的关系。绪

论0-10（1）实践到理论：通过观察和实验，总结、分析、归纳并掌握力学基本规律；（2）理论到模型：对工程实际问题进行分析研究，简化出力学计算模型；（3）理论到实践：利用力学基本规律，对简化出的计算模型进行分析计算，并在工程实践中加以应用和验证。绪

论0-11☆

（理论）力学的研究方法重要概念：刚体、平衡理论力学内容：

静力学、运动学、动力学学习方法：

抛弃物理“

抽象思维”

模式，

建立“严谨、规范”的工程思维模式☆

小

结理论力学第1章

静力学概念与基础力和力的投影力对点的矩和力对轴的矩力偶和力螺旋静力学基本定理

静力学是研究物体在力系作用下的平衡规律的科学。内容包括：物体的受力分析、力系的简化、力系的平衡条件及其应用。1-1力和力的投影

(1)物体的受力分析:分析物体(包括物体系)所受所有力的作用位置和方向，并在物体上画出。

(2)力系的简化:用一个简单力系等效替换复杂力系。

(3)力系的平衡:建立各种力系的平衡条件,并应用这些条件解决静力平衡问题。1-1力和力的投影定义:物体之间的相互机械作用。作用效应:运动（移动、转动）与变形。三要素:大小、方向、作用点。

矢量表示:一、力的概念

力系:作用于物体的一群力;

等效力系:作用效应相同的力系;

合力与分力:一个力（合力）和一个力系（分力）等效……;

平衡力系:使物体保持平衡状态的力系。

分布力与集中力：分布作用在物体一定区域上的力，称为分布力。在物体一定面积上分布作用的力称为面分布力，面分布力的单位是N/m2。分布作用在一条线上的线分布力和分布作用在物体体积内的体分布力，单位分别是N/m和N/m3。当力作用的区域很小以至于可以忽略其大小时，就可以近似地看成作用在一个点上，这就是我们经常分析和讨论的集中力。力是矢量，在直角坐标轴上的投影方法与数学矢量的投影方法相同。二、力的投影1.平面力的投影和数学平面矢量的投影一样x，y轴正交时Fx＝FcosqFy＝Fsinq

注意:在非正交坐标系下，力的投影(X，Y)与力的分力(Fx，Fy)的区别。一般情况

二、力的投影2.空间力的投影（1）一次投影法（直接投影法）若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为a、b、g，则：Fx＝FcosaFy＝FcosbFz＝Fcosg二、力的投影2.空间力的投影（2）二次投影法若已知角g和j，则力F的投影为：Fz=FcosgFxy=Fsing

Fx=Fxycosj

=FsingcosjFy=Fxysinj

=Fsingsinj

力矢量用投影表示为:例1-1：求力F的投影。Fyxzabc解：1-2力对点的矩和力对轴的矩一、平面力对点的矩

力矩：衡量力使物体产生的转动效应的大小。力的三个要素……定义力矩：

O称为矩心，h称为力臂。

平面内，力矩为代数量，一般规定逆时针转向为正。力矩单位：N·m，kN·m在空间，力对点的矩无法用代数量描述，用空间矢量定义力F对矩心O的矩为二、空间力对点的矩

具体计算及矢量指向的判断，和数学中的矢量叉乘一样。力对轴的矩是衡量力使物体绕某轴线转动效应大小的度量。由于物体绕轴线的转动只有两个方向，因此力对轴的矩用代数量表示。三、力对轴的矩以开门为例。Mz(F)＝Mz(Fxy)

＝MO(Fxy)

＝±Fxyh正负号由右手定则确定。力矩为0的情况：力与轴平行或力与轴相交。FzFxyFzxyO则力对轴的矩：大小等于力在垂直于该轴的平面内的投影对此平面与轴的交点的矩。四、空间力对点的矩与力对轴的矩的关系因此力对轴的矩的计算变成了平面内力对点的矩。需要说明的是，上述过程只是力对轴的矩的定义或计算方法，不是完全意义上的公式，因为实际需要计算力矩的轴可以是任意轴，不一定是z轴。如果力系有合力，则合力的矩等于各分力矩之和。五、合力矩定理

例1-2图示三铰拱位于铅垂面内，力F与水平方向夹角为θ，求力F对A、B、C三点的矩。PACBq2ab解：

例1-3求力F对x、y、z轴的矩以及对坐标原点O的矩。解：利用例1-1的结果Fyxzabc1-3力偶和力螺旋一、力偶大小相等、方向相反、作用线互相平行的两个力组成的特殊力系1.力偶的定义力偶臂：力偶中两力之间的距离d力偶的作用面：力偶所在的平面力偶的作用效应：转动二、力偶矩力偶转动效应的度量M＝±Fd方向一般规定逆时针为正力偶矩与矩心无关。三、力偶的性质(1)无合力;不能用一个力等效或平衡;(2)力偶在任意坐标轴上力的投影都等于零;(3)力偶对任意点取矩都等于力偶矩，与矩心无关。四、力偶的等效定理

两力偶只要力偶矩相等，则彼此等效。推论：任一力偶，只要保持力偶矩不变，可以在其作用面内任意移转；也可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变它对刚体的作用效应。☆力偶的表示方法力偶的表示方法也比较灵活，可以使用完整的包含力、力偶臂及转向的方法；也可以使用力偶矩加转向的方法；还可以用力偶矩加转向箭头的方法。五、空间力偶矩矢1.空间力偶的矢量表示如果力偶作用到空间物体上，则力偶的作用面可以是空间任意平面，力偶的作用效应无法象平面力偶矩那样简单地用代数量来表示，而是用力偶矩矢来表示。⊥力偶的作用面指向：右手定则…五、空间力偶矩矢2.力偶的性质力偶的作用面在刚体内可以任意平行移动。

再结合平面力偶的性质可以看出：力偶矩矢是自由矢量。即力偶矩矢在刚体内可以自由搬动。3.力偶的等效条件力偶矩矢相等。六、力螺旋力螺旋是由一个力和一个作用面垂直于该力的力偶组成的特殊力系。力、力偶和力螺旋是力学的三个基本要素，它们两两之间互相不能等效、不能平衡。1-4静力学基本定理

静力学基本定理是研究静力学基础。

作用在

刚体

上的两个力,使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力大小相等、方向相反、且在同一直线上。

（等值、反向、共线）写为数学表达式（“必要”不“充分”）：公理1

二力平衡公理

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点在原作用点，大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。

写为数学表达式：公理2力的平行四边形规则

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。公理3加减平衡力系公理

作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线滑移到刚体内任意其它点，并不改变该力对刚体的作用。推论

力的可传性

这样，作用于刚体上力的三要素可说成：大小、方向、作用线。

力是滑动矢量。

两物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用线相同,同时出现、同时消失,分别作用在两个不同的物体上。(等值、反向、共线)

写为数学表达式（“必要”不“充分”）：公理4作用和反作用定律

变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体变为刚体，其平衡状态保持不变。

逆定理不成立！公理5刚化原理

作用于刚体上不平行的三个相互平衡的力，必在同一平面内，且汇交于同一点。

逆定理不成立！定理1三力平衡汇交定理定理2力的平移定理作用在刚体上A点的力F可以平行移动到任一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。本章小结重点：平衡的概念；力的投影，平面力对点的矩，力对轴的矩，合力矩定理的应用，力偶及其性质，静力学基本公理和定理。难点：空间力的投影，力对轴的矩。静力学基本定理：二力平衡公理、加减平衡力系公理和力的可传性等只适用于刚体，对变形体不成立。而平行四边形法则和作用与反作用定律对刚体和变形体都成立。三力平衡汇交定理对变形体也成立。三力平衡汇交定理和刚化原理的逆定理不成立。理论力学第2章物体的受力分析与受力图约束与约束力受力图1.自由体与非自由体

位移是否受限制……。2.约束与约束力

约束：对非自由体起限制作用的周围物体或限制条件。

约束力：约束对非自由体产生的作用力。

约束力的方向：与约束所阻碍的物体位移、运动或运动趋势方向相反。3.主动力促使物体运动的力。一、约束的概念2-1约束与约束力1．柔索（柔性体）约束包括：柔软的绳索、胶带或链条等。

约束力的方向：沿柔性体轴线背离被约束体。

一般表示为二、几种简单的约束与约束力2.光滑接触面约束

约束力的方向：沿接触点的公法线方向，指向被约束体。一般表示为

FNFN（1）圆柱铰链和固定铰链支座光滑圆柱铰链（销钉、销子…）计算模型符号固定铰支座计算模型符号3．光滑圆柱形铰链约束（1）圆柱铰链和固定铰链支座3．光滑圆柱形铰链约束此类约束的特征和光滑接触面相同。因此约束力：作用在接触点处，沿径向指向轴心——法向约束力。但接触点位置不确定，约束力的作用线不能准确定出。所以通常表示为互相垂直的两个力：（1）圆柱铰链和固定铰链支座3．光滑圆柱形铰链约束（2）向心轴承（径向轴承）此类约束的特征和固定铰链支座类似。因此简化模型及约束力与固定铰链支座完全相同。空间情况3．光滑圆柱形铰链约束约束力：垂直于支撑面，指向被约束体。（3）活动铰链支座（辊轴支座、滚动支座）3．光滑圆柱形铰链约束4.球支座（球铰链）

通过球与球壳将构件连接,构件可以绕球心任意转动,但构件与球心不能有任何移动。

约束力:当忽略摩擦时,球与球座也是光滑接触面约束问题。约束力通过接触点指向球心,但一般不能确定方向,所以用三个正交分力表示。5.止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。约束力：互相垂直的三个力。6.二力构件与链杆约束

构件只受两个力作用（或只在两点受力）且处于平衡状态。受力沿受力点连线方向。约束总结：（1）光滑面约束——法向约束力（2）柔索约束——张力（拉力）（3）光滑铰链——互相垂直的两个力（4）滚动支座——垂直于支承面（5）球铰链和止推轴承——互相垂直的三个空间分力（6）二力构件约束——沿受力点连线方向（受拉或受压）。实际工程结构中的约束通常是比较复杂的，对其进行简化时，要考虑主要因素，忽略次要因素，得出合理的力学模型。

物体受到的每个约束，其约束力分量的数量最多只有6个，确定约束力数量和特性的基本方法是：将被约束物体在空间的总位移分解为沿x、y、z三正交轴的移动和绕此三轴的转动，哪种位移被约束所阻碍，就施加相应的约束力。阻碍移动时施加约束力，阻碍转动时施加约束力偶。三、复杂约束及其约束力三、复杂约束及其约束力光滑平面滚动支座绳索二力杆三、复杂约束及其约束力三、复杂约束及其约束力三、复杂约束及其约束力带销子的夹板导轨三、复杂约束及其约束力空间固定端平面固定端

受力分析：对物体受力的多少、大小、方向等进行分析的过程。

力的分类：主动力与约束力、集中力与分布力。

施力体与受力体：受力体:研究对象施力体:对受力体施加力的物体受力图:表示物体受力情况的简图分离体法画受力图（步骤）：选择研究对象解除与研究对象相连的所有约束，取分离体（单独画出）在分离体上画出所有的主动力和约束力2-3物体的受力分析和受力图画受力图注意的问题：（1）必须取分离体，不要在原图上画（2）先判断二力杆，结构中有二力杆时其约束力必须按二力杆画（3）先画主动力，再画约束力（4）约束力要按约束的特点和性质画，特别是其方向(方位、指向)，不要根据主动力去判断或猜测（5）一个问题中需要画几个受力图时，各图之间的约束力必须满足作用与反作用定律。所标示的符号要统一。

一般将主动力上加上“'”表示反作用力。如：F

和F'例2-1：FFFN平衡？例2-2：例2-3：均质直杆AB重量为P例2-4：FABCCFFACFBC例2-5：例2-6：例2-7：

关于“二力构件”约束：无需单独画出二力构件的受力图；研究对象上解除的约束中是否包含二力构件，不影响所画受力图的总效果。

对于滑块或销钉在滑槽（道）内滑动：按光滑接触面约束分析，由于滑块或销钉与滑槽在哪一侧接触不易判断，因此约束力方向垂直于接触面，而指向可以假设。一定要注意，一般光滑接触面的约束力方向和指向都是不能假设的。FyAFxAFyCFxCFyAFxA例2-8：

关于“铰链”约束：当销钉只连接两个构件且铰链上不受力时，销钉相当于二力构件，研究对象上是否包含销钉，受力图是一样的；当销钉连接三个以上构件或连接两个构件但销钉上受力时，此时销钉不是二力构件，研究对象上是否包含销钉，受力图不一样。例2-9：本章小结1.受力分析和受力图是整个静力学和动力学的基础和重点内容2.熟练掌握各种约束与约束力的画法3.一般情况下，仅按照约束性质画受力图，不考虑平衡等其他因素，更不能凭想象画受力图4.一般不要将力分解，如果分解，分力与合力只能画一种，不能重复画5.正确分析判定二力杆，二力杆的受力图无需单独画出第3章平面力系的平衡理论力学平面力系的简化3-1平面力系的平衡方程物体系统的平衡3-23-3引言

本章理论可解决的工程实际问题：（1）物体受力的作用线均在同一平面内（2）物体受力对称于纵向对称面引言引言

本章理论可解决的工程实际问题：（3）物体受力沿纵向均匀分布（例：堤坝）3-1平面力系的简化

平面汇交力系：各力的作用线在同一平面内且汇交于一点。一、平面汇交力系的简化设有n个汇交于刚体上O点的力

根据刚体上“力的可传性”，将所有力滑移到汇交点O根据平行四边形法则，将F1、F2合成，得到依次合成其它力，得到OF1F2FiFnF1iF12FR

结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。OFR写成投影形式则：FRx＝∑Fx

FRy＝∑Fy

二、平面力偶系的简化

平面力偶系:作用在物体上的所有力的作用线都在同一平面内，且两两组成力偶。利用力偶的等效特性，在保持力偶矩不变的前提下，将各个力偶都变成等效的力偶臂都为d的新力偶设有n个力偶M1，M2……Mn组成的平面汇交力系。即二、平面力偶系的简化则

结论：平面力偶系的合成结果为合力偶，大小为各分力偶矩的代数和三、平面任意力系的简化设有n个力

组成的平面任意力系。得到汇交于O的力组成的平面汇交力系，以及相应的附加力偶组成的平面力偶系O

O

利用力的平移定理将力系向点O简化，O称为简化中心。……这些附加力偶的矩为三、平面任意力系的简化进一步简化，得到汇交力系的合力，称为主矢O

因此平面任意力系的简化结果为一个主矢和一个主矩。附加力偶系的合力偶称为主矩三、平面任意力系的简化主矢的计算，与前面的汇交力系合力计算方法相同，写为投影形式

主矢与主矩的特性：主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。

主矢不是合力！主矩不是合力偶！！三、平面任意力系的简化平面任意力系简化结果进一步分析简化结果为合力，作用点在简化中心M＝MO，与简化中心无关简化结果为合力偶，简化结果为合力，作用点……O

三、平面任意力系的简化因此，平面一般力系有三种简化结果：合力，合力偶，平衡。

若MO>0，则正向右侧，位置为由图知：——合力矩定理。平衡O

三、平面任意力系的简化力系简化理论的应用：固定端约束例3-1：求三角形分布荷载的合力及其作用线位置。解：合力利用合力矩定理得到合力作用线位置3-2平面力系的平衡方程根据平衡条件得到平衡方程也可以写为二矩式方程A、B两矩心点连线不得与投影轴x垂直三矩式方程A、B、C三矩心点不能在一直线上通过平面任意力系的平衡方程，可以推出特殊平面力系的平衡方程。一、平面汇交力系选汇交点为矩心，则力矩方程自然满足，所以平衡方程为只能求出两个未知量。二、平面力偶系根据力偶的性质，投影方程自然满足，所以平面力偶系的平衡方程为只能求出一个未知量。三、平面平行力系两个投影方程只有一个独立，所以平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求出两个未知量。求解平衡问题做题步骤：

选取研究对象

取分离体画出受力图

列平衡方程求解

例3-2:电动机重P=5000N，放在水平梁AC的中央。如忽略梁和撑杆的重量，求撑杆BC的内力及铰支座A处的约束力。解得：解法1：按照平面汇交力系解研究整体，受力如图，列方程：解得：解法2：按照平面任意力系解研究整体，受力如图，列方程：

例3-3:在图示结构中，各构件的自重略去不计，在BC上作用一矩为M的力偶，各尺寸如图。求支座A的约束力。解得：解：（1）研究BC，按照平面力偶系解。受力如图，列方程：（2）研究ACD，按照平面汇交力系解。受力如图，列方程：

例3-4:起重机的铅直支柱AB由点B的止推轴承和点A的径向轴承支撑。求在轴承A和B两处的反力。解得：解：研究整体，受力如图，列方程：FBxFByFA

例3-5：起重机自重G=500kN,最大载荷Pmax=210kN,轨距b=3m,e=1.5m,l=10m,a=6m,试设计平衡重Q,且轨道反力不小于50kN。解：研究整体。(1)空载时(2)满载时3-3物体系统的平衡静定与静不定问题（1）静不定问题:通过静力学平衡方程不能确定全部未知量；（2）是否静定是对整个系统而言，而不是针对其中某一个物体；（3）静不定问题有时可以求解部分未知量；（4）静不定问题的求解需要利用其它力学知识，因此理论力学中全部为静定问题。静不定问题举例BACPABP物体系统的平衡：

n个物体组成的系统，可列3n个独立的平衡方程，理论上可以解3n个未知量。平衡问题的解题步骤：（1）选择研究对象；（2）取分离体画受力图；（3）列平衡方程求解。解：（1）研究BC，受力如图，列方程解得：

例3-6：已知：P=10kN，q=10kN/m，M=20kN/m。求固定端A的约束力。（2）研究整体，受力如图，列方程FCFAxFAyMA解得：

例3-7：曲轴冲床由轮I、连杆AB和冲头B组成。已知：OA=R，AB=l，忽略摩擦和自重，当OA在水平位置、冲压力为F时系统处于平衡状态。求（1）作用在轮I上的力偶矩M的大小；（2）轴承O处的约束力；（3）连杆AB受的力；（4）冲头给导轨的侧压力。解：（1）研究冲头，受力如图。为平面汇交力系。列方程解得（2）研究轮I，按照平面任意力系解，受力如图，列方程解得

例3-8：半径为R，重量为Q无底圆筒内放置两个半径均为r，重量均为P的圆球，求圆筒不致翻倒的Qmin。FNCFNEFNDPPDCABEOFNEFNPPQx解：研究A+B研究整体

例3-9：各杆自重不计。已知q、a、M，且M＝qa2。求固定端A的约束力及销钉B对BC杆、AB杆的作用力。解：（1）研究CD解得（2）研究BC（B点不包含销钉）得销钉B对BC杆的作用力（3）研究销钉B得销钉B对AB杆的作用力（4）研究AB（B点不包含销钉）得固定端A的约束力本章重点：

力系的简化结果——主矢+主矩

→合力、合力偶、平衡

物体系统的平衡问题求解

（整个理论力学的重点）平衡问题做题步骤：

研究对象→受力图→平衡方程小结第4章空间力系的平衡理论力学空间力系的简化4-1空间力系的平衡方程4-2

工程中几乎所有的力系都是空间力系。

本章学习过程中应和平面力系加以对比，帮助理解和掌握。1.力的表示：平面矢量——空间矢量；2.力偶的表示：代数量——空间矢量；3.力对点的矩：代数量——空间矢量；4.增加力对轴的矩；5.力对点的矩与力对轴的矩的关系。注意：画图要规则整齐；认真分析几何关系；空间约束力的画法。4-1空间力系的简化一、

简化——主矢和主矩方法原理同平面一般力系一样。

力系：简化结果主矩:主矢：二、简化结果分析简化结果为合力偶与简化中心无关。简化结果为合力作用点在简化中心。简化结果为合力，合力作用线过O'，这样，我们学习了力学中“力”的三个基本形式：力、力偶和力螺旋。

简化结果为力螺旋,由一个力和一个与之平行的力偶组成。平衡。

和平面力系类似，平衡方程也可以写成四矩式、五矩式、六矩式的形式。平衡条件:

平衡方程:

4-2空间力系的平衡方程一、空间汇交力系的平衡方程平衡条件和平衡方程形式与平面力系类似：可求解三个未知量。二、空间力偶系的平衡方程平衡的必要和充分条件是合力偶矩矢等于零写为投影形式，即为平衡方程可求解三个未知量。三、空间平行力系的平衡方程将空间任意力系平衡方程中的其中两个投影轴选作与力的方向垂直，则这两个投影方程自然满足，另外选与力平行的轴为一个力矩方程的轴，则此力矩方程也自然满足，所以平行力系只有三个独立方程，可以求解三个未知量。平衡方程的形式一般写成一个投影方程两个力矩方程，如假设力与z轴平行，则平衡方程可写为

例4-1：力P在铅垂面CDE内，AB⊥DE⊥CE，AE＝BE，求三杆内力。BPyxzACDEabbg解得：解：研究整体

例4-2：已知：AB＝BC＝AD＝AE；点A、B、D和E等均为球铰链连接，如三角形ABC的投影为AF线，AF与y轴夹角为q，如图。求各杆的内力。qq解：研究C点研究B点求得各力

…

…

例4-3：在三棱柱的三个侧面上各作用一个力偶，设三棱柱横截面的两直角边长相等。已知m1＝100Nm，求平衡时的m2，m3yxzm1m2m3解：所有的力偶矩矢均垂直于z轴，将力偶移到xy面内yxm1m2m3求得：m2…m3

…

例4-4：起重机装在三轮小车ABC上。已知：AD＝DB＝1m，CD＝1.5m，CM＝1m，KL＝4m。机身重P1＝100kN，作用在G点，G点在平面LMNF之内，到机身轴线MN的距离GH＝0.5m，重物P2＝30kN，求当起重机的平面LMN平行于AB时车轮对轨道的压力。解：研究起重机求得：FA＝8.33kN，FB＝78.33kN，FC＝43.33kN

例4-5：图示水平轴放在轴承A和B上，在轴上C处装有轮子，其半径为200mm，在此轮上用细绳挂一重锤P2＝250N。在轴上D处装有杆DE，此杆垂直地固结在轴AB上，杆端套重锤P1＝1000N。在平衡时杆DE与铅直线成30°角，不计轴及轮的重量，求重锤P1的重心E到轴AB的距离l以及轴承A和B的反力。解：研究整体求得：l=0.1m，FAz＝300N，FBz＝950N，FAx＝FBx＝0

例4-6：图示六杆支撑一水平板，在板角处受铅垂力F作用。不计板杆自重，求各杆内力。

xyz解：研究板，假设各杆受拉力求得各力

…

…小结1.本章是静力学难点之一2.力系简化结果——主矢+主矩

→合力、合力偶、力螺旋、平衡3.各种特殊力系的平衡方程4.注意平衡方程形式和顺序的选择第5章平衡理论专题与应用理论力学考虑摩擦时物体的平衡问题5-1物体的重心简单桁架的内力计算5-25-35-1考虑摩擦时物体的平衡问题1.摩擦的存在2.是否考虑摩擦3.研究摩擦的目的4.摩擦的简单分类摩擦滑动摩擦滚动摩擦(阻)静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦(阻)动滚动摩擦(阻)摩擦干摩擦湿摩擦一、滑动摩擦1.概念

互相接触的物体，当其接触表面之间有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此有阻碍相对滑动的机械作用存在，这种机械作用即滑动摩擦，机械作用力称为滑动摩擦力。

摩擦力的方向与相对滑动或相对滑动趋势方向相反。（1）静止状态（相对平衡）按平衡方程计算：Fs＝FT

2.摩擦力的计算fs：静摩擦因数Fmax：最大静摩擦力（2）临界状态2.摩擦力的计算静摩擦定律：（3）滑动状态动摩擦定律：Fd＝fFNFd

——动摩擦力，f——动摩擦因数。

f<fs（对多数材料，通常情况下）1．摩擦角

全约束反力FRA:

FN和Fs的合力。则：

当Fs达到最大值时FN与FRA的夹角j

达到最大值jf，jf称为摩擦角。二、摩擦角和自锁现象2．自锁现象

设物体所受的主动力合力为FR，平衡时，无论FR力大小如何变化，物块都保持静止，即物体是否滑动与主动力的大小无关，这种现象称为自锁。显然自锁条件为：

0≤j≤jf3．自锁条件的应用摩擦因数的测定螺纹的自锁1.概念

滚动摩阻力偶的方向与相对滚动或相对滚动趋势方向相反。三、滚动摩阻的概念2.滚动摩阻力偶的计算（1）平衡状态通过平衡方程求解。

0≤Mf≤Mmax。（2）临界状态和滚动状态滚动摩阻定律Mmax＝dFN

滚动摩阻系数d为长度量刚。讨论：为什么滚动比滑动省力?考虑摩擦时物体的平衡问题，求解方法步骤和不考虑摩擦一样，只是在受力分析时加上摩擦力。

严格区分物体处于临界、非临界状态。

摩擦力的方向：在平衡状态可以假设，当临界状态使用摩擦定律时必须按真实方向画出。因，问题的解一般在一个范围内。四、考虑摩擦时物体的平衡问题

例5-1：P＝980N，f＝0.2，Q＝588N，q＝30°。求摩擦力，物块是否平衡？QPq

解得：Fs＝-98N（向下）FN＝848.7N，Fmax＝169.7N所以物块平衡。解：假设平衡，有下滑趋势FNFsxy

例5-2：凸轮机构。已知摩擦因数为f，滑道宽度为b，求机构不致被卡住的a。解法1：解析法平衡方程摩擦定律解得解法2：几何法例5-3：一圆盘（不计自重或放在水平面内），位于板和倾角为θ的斜面之间，各处的摩擦因数都相同。求自锁时的摩擦因数。OPBCqjj

解：几何法

例5-4：A重500N，轮B重1000N，fA=0.5，fB=0.2，不计滚动摩阻，求系统平衡时重量P的最大值。A先滑动:FsA<=FNAfA

→P<=208.3B先滑动:

FsB<=FNBfB

→P<=384.6FNAFsAFTPAFNBFsBFTPBP解：分别研究A和B

例5-5：已知P、R、q、d。求（1）使系统平衡时的力偶矩MB；（2）圆柱匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的最小值。分析：（1）圆柱有上滚和下滚两种趋势

M

≤δFN（2）匀速纯滚动时：M

=δFN，Fs

≤fsFN

例5-6：A物块重P＝10N，与水平面间的静摩擦因数fs＝0.1。在平行于xoz平面内作用拉力Fl＝1N，在平行于yoz的平面内以力F2拉物块。夹角α＝30°。求能拉动物块的力F2的最小值。

解：研究物块，受力如图，设滑动方向（即摩擦力的反方向）与x轴夹角为θ。平衡时不滑动条件：Fs

≤fsFN联立解得：F2≤0.39N则拉动物块的力：

F2≥0.39N5-2物体的重心一、平行力系的中心即平行力系合力的作用点。平行力系的合力：设力方向的单位矢量为由合力矩定理得：xFRF1FiFnrCrir1rnCyzO则：写成投影形式：即重力合力作用点位置。

重力是特殊的平行力系，则可以利用前面的平行力系中心公式：二、重心若物体均质，则：

若物体为板状结构，则：

若物体为杆状结构，则：

上述结构重心只与物体的形状有关，称为形心。1.积分方法（即前面的理论公式）2.利用对称性3.组合法：分割法和负面积法三、确定物体重心和形心的方法4.实验法悬挂法（原理：二力平衡条件）

图中左右两部分的重量是否相等？4.实验法称重法（原理：平面一般力系）若汽车左右不对称，如何测出重心距左右轮的距离？举例：求形心。2001502020xy解：分割法BA2001502020xy解：负面积法BA例5-7：匀质细铁丝，各个弯折处均为直角。求铁丝的重心坐标。解：分割法例5-8：求图示横截面为L形的匀质物体的重心位置。解：分割法。显然yC=12例5-9：如图所示，在半径为R的大圆内挖去一个半径为r=0.25R的小圆孔。求剩余截面图形形心的x坐标。解：用负面积法。5-3简单桁架的内力计算一、概念桁架：由杆件彼此在两端用铰链连接而成，在受力后几何形状不变的结构。平面桁架：桁架所有的杆件都在同一平面内。节点：桁架中杆件的铰链连接点。实际桁架结构铰结点铆结点焊结点

理想桁架的几点假设:(1)组成桁架的杆件都是直杆；

(2)杆件用光滑的铰链连接；

(3)桁架所受的力(载荷)都作用在节点上，而且在桁架的平面内；

(4)桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。

因此，理想桁架中各杆均是二力杆。

平面简单桁架（无余杆桁架、静定桁架）

由基本三角形演变而成的桁架。节点法：研究对象为节点，因此为平面汇交力系。

一般用于设计初步阶段。截面法：用假想截面将被求内力的杆截断，取分离体，所得力系一般为平面任意力系。一般用于校核。

混合法：即节点法和截面法的结合。

解题注意：①一般将杆内力设为拉力；②零力杆直接判断；③通常先研究整体求支座约束反力；④综合应用节点法和截面法求解部分杆件的内力。

桁架内力计算时可以不画受力图，默认所有杆件受拉力。二、平面简单桁架的计算例：零力杆的判断。1，2均为零力杆12132F1323为零力杆3为零力杆例5-10：求各杆内力。AaaFBCDFNBFxAFyA解：DE为零力杆。研究D：研究C：研究B：CD例5-11：求4,5,7,10杆内力。FNBFxAFyAFNBF6F5F4解：研究整体截取456杆，研究右侧研究D节点例5-12：求1,2,3杆内力。ABCDE333334412PQ3FNBFxAFyABCEQFxCFyCF3FNB解法步骤：（1）研究整体（2）研究BCE（3）研究D小结1.摩擦：

滑动摩擦力的计算

摩擦角与自锁的概念与应用

平面摩擦平衡问题的求解（重点）2.桁架：

基点法和截面法求解平面桁架3.悬索：

不要求第6章运动学基础与刚体的简单运动理论力学点运动的描述6-1刚体的平行移动刚体绕定轴的转动6-26-3运动学研究对象：刚体和点研究内容：研究物体运动的几何性质，不涉及运动产生的原因重点与难点：点的合成运动、刚体的平面运动概念：运动的绝对性和相对性

参考体与参考系

瞬时与时间间隔引言概念：（1）点的运动：点在空间的位置随时间的变化（2）运动方程：描述运动规律的数学方程（含时间t）（3）轨迹方程：运动时经过的路线（不含时间t）（4）路程：点在某时间间隔内点沿运动轨迹走过的路线长度

距离：两位置（点）之间的直线长度

位移：点从起始位置到终止位置的长度矢量

速度：位移随时间的变化率加速度：速度随时间的变化率点运动的研究方法：矢量法、直角坐标法、自然坐标法6-1