《离散数学》电子教案 第4章 二元关系-教案

第四章二元关系一、教学内容及要求授课学时：6教学内容4.1二元关系及其表示序偶、笛卡儿积和二元关系的基本概念；二元关系的三种表示方法；布尔矩阵的运算。4.2关系的运算二元关系的交、并、补、差、复合和求逆运算；二元关系运算的性质。4.3关系的性质关系五个性质的定义，判定方法；关系性质判定定理和关系性质的保守性；关系性质的证明。4.4关系的闭包关系三种闭包的定义及性质，关系闭包的计算方法。4.5关系的应用关系及其表示方法的应用，关系运算的应用。基本要求 1）识记二元关系定义，理解关系是一种特殊的集合。2）能正确使用集合，关系矩阵，关系图表示给定的二元关系。3）掌握关系的各种运算，特别是复合运算和逆运算。4）牢记关系5个性质的定义，对给定A上的关系R，能熟练判断判断该关系R具备的所有性质。5）熟练使用关系性质的定义，关系性质的充要条件证明关系的性质。6）熟记关系性质的保守性性质，掌握反例法判断关系的保守性。7）了解关系闭包的定义及计算方法。8）了解关系的简单应用。能力培养：将关系的知识用于解决实际问题，培养学生的抽象思维能力。二、教学重点、难点及解决办法教学重点：二元关系的概念和表示；关系的复合与逆运算和关系性质的判定与证明。教学难点：笛卡尔积和二元关系都是特殊的集合；复合运算的理解与计算和关系性质的判定与证明。解决办法：1）从集合的角度去分析和理解笛卡尔积和二元关系，特别强调他们与集合的区别在于笛卡尔积和二元关系中的元素都是序偶，在选取其中的任意元素时，其选出来的元素都是序偶，其次，对于A到B的一个二元关系，特别强调它是A×B的一个子集，即它是集合且是A×B的子集，从子集的角度去理解A到B的二元关系。2）对于复合运算的理解与计算，需要从定义着手，反复强调“存在y”的重要性，它是建立x和z的桥梁，没有y，x和z就没有关系。然后再通过实例具体展示“存在y”的重要性。3）对于关系性质的判定，首先让学生明白集合、关系图，关系矩阵都可以用于判断关系的性质，其中自反、反自反、对称和反对称用关系图和关系矩阵判定更容易，传递性则是用“集合表示判定方法”、且从蕴涵联结词“→”真值规定的角度去理解更自然。在遇到具体问题时，要根据具体的情况选择合适的方法进行判定。最后通过具体实例去熟练关系性质的判定。4）对于关系性质的证明，如果按照定义去证明，要通过实例让学生熟悉表4.2展示的框架式证明方法；如果是按定理4.9证明，则要再次强调集合与集合关系的证明方法。三、教学设计在某种意义下，关系可以理解为有联系的一些对象之间的比较行为，在介绍序偶和关系的概念时，可以加入我国历史上著名科学家和他们的重大贡献之间的关系的例子，例如，蔡伦发明造纸术，用序偶<蔡伦，造纸术>表示，魏晋时期著名数学家刘徽的代表作是《九章算术注》可以用四元组<魏晋时期，数学教，刘徽，九章算术注>表示，激发学生的爱国情怀，民族自信和社会责任。介绍二元关系及其表示时，注意强调序偶是两个对象组成的有序偶对，需要特别强调“序”和“偶”，同时将集合的无序性与序偶的有序性进行对比；注意强调从集合的子集角度去理解二元关系；对于关系的表示方法，特别强调它们只是同一对象的不同表示形式。在介绍关系的运算时，注意其与集合运算的关系，因其元素为序偶的特殊形式，对应了两种特殊的运算。对于关系性质的判断，可从多种方面来进行，要举足够多的例子。对于关系闭包的定义，注意强调包含关系，及其“极小性”。在学习完本章内容后，再从思维导图，重点解题方法和重点题型方面进行总结。1）再提思维导图让学生把握整章知识脉络，更好地把握重点和难点。2）判断具体关系的性质时，主要通过关系图和关系矩阵来判定，通常关系的自反、反自反、对称、反对称利用关系图和关系矩阵来判定，而关系的传递性通常使用定义的符号化表示来判定；抽象关系性质的判定通常根据定义直接证明，或者利用判定定理证明。3）判定关系运算的保守性时，如果具有相应性质的保守性，则可根据对应性质的定义或者定理加以证明；如果不具有对应性质的保守性，则需举出反例。4）关系的并、交、补、差，求逆以及幂运算的计算主要按照定义计算，复合运算还可根据关系图和关系矩阵进行计算。5）关系性质的证明采用按照定义的框架式证明方法和按定理4.9证明。6）重点题型主要是关系性质的判定与证明，关系复合及逆运算的计算。本章通过课堂实例和课后实践作业，讲练结合，培养学生解决实际问题和抽象思维能力。四、作业（第130-133页）1.4.（1）（3）8.（1）（3）9.10.（1）（3）13.14.17.21.（1）（3）（5）22.24.25.（1）（3）（5）26.（a）（d）（g）（j）31.（a）（c）（e）五、参考资料见前面课程说明部分的参考书目对应章节。六、教学后记1）思政要素：将我国历史上著名科学家和他们的重大贡献之间的关系的例子作为序偶，n重有序组引入，达到了激发学生的爱国情怀，民族自信和社会责任的目的。2）在判定关系的性质时，用不同的方法进行判定，以及一个关系多种性质的判定，有效培养学生分析思维、综合思维能力，提升了学生思维品质以及解决问题的能