动力学基础 课件 5 刚体运动学

2025年7月25日刚体运动学Rigid-BodyKinematics质点运动学：刚体运动学：刚体？自由度？刚体运动与坐标系运动的关系：本课程中完全等价。刚体的运动形式平动（Translation）定轴转动（Rotationaboutafixedaxis）平面运动（Planemotion）定点运动（Rotationaboutafixedpoint）一般运动（Generalmotion）平动刚体上每个质点的位移相同。运动过程中刚体上任意直线与其初始位置平行。→

其上一个点的运动完全可以代表整个刚体的运动定轴转动运动过程中刚体上有一条直线始终固定不动。转轴以外的点都做圆周运动。→

与点的圆周运动没有本质区别平面运动运动过程中刚体上所有的点都始终在一个和固定平面平行的平面内运动。定点运动运动过程中刚体（或者其延拓部分）上有一个点始终固定不动。一般运动刚体在空间中的运动。2025年7月25日刚体运动的向量-矩阵描述刚体一般运动的方程Oxyz–固连坐标系XZYOO0X0Y0Z0zyxO–

基点(Reference)OXYZ–平动坐标系O0X0Y0Z0

–固定坐标系基点位置:坐标轴方向:抽象为固连系的运动。如何描述固连系的运动？相对于O0点的向径：R0相对于OXYZ的方位：A刚体一般运动的运动方程：如何描述任意刚体的运动？刚体一般运动的方程刚体的运动可以用一个向量和一个矩阵描述!—描述基点的运动（平动）—描述刚体相对于基点平动坐标系的转动运动(定点运动)一般运动可以分解为基点平动系的平动和刚体相对于基点平动坐标系的定点运动！坐标变换矩阵？刚体一般运动的方程A是正交矩阵A的九个元素中只有三个独立六个独立的约束条件确定刚体的运动只需要六个独立参数：三个随基点的平动，三个绕基点平动系的转动。刚体一般运动的方程一般运动：平动：定点运动：平面运动：定轴转动：(3+3)(2+1)(0+3)(0+1)(2+0)平动：(3+0)刚体运动学：刚体的速度、加速度？刚体的角速度、角加速度？刚体上一点的速度P点相对O0点的向径为在O0X0Y0Z0中的列阵XZYPOO0X0Y0Z0zyx常数列阵OP在刚体固连坐标系里的列阵vO—基点O的速度；ω

—

刚体的角速度(angularvelocity)讨论刚体一般运动可分解为基点平动系的平动和刚体相对于基点平动坐标系的定点运动刚体上任一点的速度等于基点速度与该点相对于基点平动系的相对速度(ω×r

)之和XZYPOO0X0Y0Z0zyx物理意义？速度投影定理AB在任意时刻刚体上任意两点的速度在这两点的连线上的投影相等物理意义？刚体上一点的加速度角加速度(Angularacceleration)刚体上任意两点的加速度在这两点的连线上的投影是否相等？基点加速度相对于基点平动参考系的加速度刚体的角加速度ε不依赖于基点的选择！特例：刚体的定轴转动取固定轴为固连坐标系的Oz轴，且与固定坐标系的OZ轴重合。试证：由刚体上不共线的任意三个点的速度可以确定刚体上任意点速度。证明：设刚体上的三个点A、B、C不共线，已知它们的速度。P为刚体上任意点。如果P与A、B、C不共面，根据速度投影定理，P点速度沿着PA、PB和PC方向分量分别等于A、B、C三点速度在这三个方向的分量。如果P与A、B、C共面，另取Q点与A、B、C不共面，则Q点速度可以确定。P与A、B、Q不共面，则P点速度可以确定。给定三点速度如何求刚体角速度？例:刚体上任一点速度与不共线三点速度关系给定三点速度如何求刚体角速度？解：设3个点A、B、C的速度分别为设刚体角速度为以A为基点，有取x、y轴沿着AB、AC，z轴按右手法则确定。由于A、B、C不共线，根据本题结论，不妨设∠BAC为直角。由这两个矢量方程(对应几个独立标量方程？)可求出角速度的三个分量。例：已知刚体上两点速度可否求该刚体角速度？设A为坐标原点，D点坐标为x、y、z，则其中其中是对称矩阵，如果满秩，则关于角速度分量的代数方程存在唯一解。当x、y、z均不为零时，JD是否满秩？不然！利用正交(相似)变换可使D点位于新x或y轴，在新坐标系中JD不满秩(其形式如同下面的JB或JC)。根据相似矩阵的性质可知，JD在老坐标系中也不满秩。可以直接验证JD不满秩。将第一、二、三行分别乘以x、y、z后相加，等于零，已知两点速度不可能确定角速度！显然角速度沿着AD的分量无法确定。显然，JB＋JC满秩，关于角速度分量的代数方程存在唯一解。由三点速度确定刚体角速度给定刚体上不共线三点的加速度。试求该刚体的角速度。请分析讨论：利用三轴加速度计和该方法能否测量卫星的角速度？该方法的精度如何？与加速度计测量误差的关系如何？在三个点中，有些点用单轴加速度计是否可以？测量不共线三个点速度来确定卫星角速度如何？有什么工程手段？精度如何？思考题作业本周：4、5、6、8、1、2、3、72025年7月25日刚体平面运动Planekinematics

ofrigidbodies刚体的平面运动平面运动的运动方程刚体平面运动中各点的速度分析基点法瞬心法速度投影定理绝对运动分析刚体平面运动中各点的加速度分析基点法加速度瞬心法运动方程固定平面刚体的平面运动可简化为一平面图形在其平面内的运动。一般取α2平面通过刚体的质心。SO0Y0X0xyXYOθ运动方程刚体上过点A并垂直于平面α2的直线作平动，其上A1、A2、…各点的运动与点A相同。基点法速度分析SO0Y0X0OXYP选O点为基点，则P点的速度为：O点速度vO和P点相对O点的相对速度的矢量和。?速度分析5个变量中已知3个时，方程可解。因此，解方程时要分析清楚已知和未知量。标量方程数：2变量数：5vP— 大小和方向，或水平和竖直方向分量vO— 大小和方向，或水平和竖直方向分量ω

— 大小速度分析矢量多边形图求解方法：标量法矢量法图解法标量方程—将速度投影到适当的方向上。

尽量避免联立求解。例1曲柄滑块机构已知曲柄滑块机构的R，ω，AB。求图示瞬时(位置)的。vBωAB×rABvAvA解：取A点为基点：?✓✓✓?✓竖向投影：水平投影：其他解法？()ODCBAvO已知半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO。求轮缘上A、B、C、D四点的速度。例2ODCBAωvO解

矢量法O点的速度已知，取O点为基点。对A点：对B点：对C点：对D点：注意方向例3

轮系已知行星轮系的固定轮半径为R，行星轮半径为r(只滚不滑),曲柄角速度为ω。求行星轮上M点速度。解：取A为基点对M点：()速度分析

瞬心法考虑某一瞬间速度为0的点OP⊥vO该点可能在刚体上，也可能在它外边。该点叫瞬心。SPO证明这样点的存在性：C刚体三维的一般运动是否一定存在瞬心？反例？速度分析如取瞬心为基点：对于平面运动速度问题，任何瞬间都可以认为是以过瞬心轴的定轴转动。但要注意，每个瞬时这个点可能不同。思考：刚体一般运动中某一瞬时某一点的速度与角速度垂直时，是否所有点的速度都与角速度垂直？(1)

已知一点的速度及刚体的角速度(2)已知两点的速度方向，且互不平行(4)(3)两点速度方向平行且垂直于这两点的连线CCAB确定瞬心的方法AB瞬时平动45°例4

曲柄滑块机构已知曲柄滑块机构的R,ω。求图示瞬时(位置)的

。解：C为AB杆的速度瞬心()延拓刚体ODCBAvO已知半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO。求轮缘上A、B、C、D四点的速度。例5ODCBAvO圆轮与地面接触点A为速度瞬心解

瞬心法如轮子沿曲线轨道纯滚动，

是否成立？()例6

轮系已知行星轮系固定轮半径R,行星轮半径r(只滚不滑),曲柄角速度ω。求行星轮上M点速度。C解：C为行星轮的瞬心定瞬心轨迹和动瞬心轨迹定瞬心轨迹：瞬心在固定坐标系中的轨迹动瞬心轨迹：瞬心在固连坐标系中的轨迹纯滚动的圆盘如何求定瞬心轨迹和动瞬心轨迹的方程？梯子AB长l，一端靠在墙上，如图所示。如将梯子下端A以等速u

向右水平地拖动。求定瞬心轨迹和动瞬心轨迹。例7ABul解ABulxOyC建立固定坐标系Oxy，瞬心C点的坐标为：定瞬心轨迹为以O

为圆心的1/4圆周。建立固联坐标系

，瞬心C的坐标为：动瞬心轨迹为以杆中点为圆心的1/2圆周。动瞬心轨迹沿定瞬心轨迹作纯滚动。速度分析速度投影定理AB如何求角速度？取ρ为的单位方向矢量例8

曲柄滑块机构已知曲柄滑块机构的R,ω。求图示瞬时(位置)的。()ρ解：速度投影定理绝对速度分析绝对运动分析建立物体之间的几何关系

将几何关系对时间求导，得到速度和加速度例9杆AB在图示位置处的角速度为3rad/s（顺时针）。确定此时杆BC的角速度和滑块C的速度。解

绝对运动分析几何关系：加速度分析基点法5个变量：aP、aO、ε。两个标量方程。需要已知三个变量。SO0Y0X0OxyP切向加速度法向加速度例10

曲柄滑块机构解：取A为基点等式两边向BA方向投影向与AB垂直的方向投影()已知：R,ω=const。求图示位置时滑块的加速度。OBAvOaO已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO、加速度为aO。求：轮缘上A、B二点的加速度。例11圆盘的运动εω解：取O点为基点，分析A点的加速度取O点为基点，分析B点的加速度加速度分析加速度瞬心法

瞬时加速度中心

—某瞬时刚体上加速度为零的点 图形上各点加速度的分布如同图形绕C作定轴转动一样P瞬时加速度中心能否总是存在？

已知梯子AB长l，一端靠在墙上，如图所示。梯子下端A以等速u

向右水平地拖动。求夹角

为30o时B点的加速度和杆的角加速度。例12ABulC点为杆的瞬时速度中心：BA